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25.1 一元二次方程的概念 同步练习
1．下列方程中，一元二次方程的个数有（　　）
（1）2x2﹣3＝0；
（2）x2+y2＝5；
（3）x2﹣5x＝0；
（4）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．把一元二次方程（x+2）2＝x化为一般形式，正确的是（　　）
A．x2+3x+2＝0 B．x2+5x+4＝0 C．x2+3x+4＝0 D．x2﹣x+4＝0
3．将一元二次方程3x2＝5x﹣1化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　　）
A．3，5 B．3，1 C．3x2，﹣5x D．3，﹣5
4．若关于x的一元二次方程（k+2）x2+3x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．2或﹣2 D．﹣1或2
5．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程　 　 ．
6．若关于x的方程xm+1﹣2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　 ．
7．已知m是关于x的方程x2+2x﹣3＝0的一个根，则2m2+4m+5＝　 　 ．
8．填表（要求改写后二次项系数为正）：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
2x2＝7x 　 　 　 　 　 　 　 　
5﹣3x2＝6x 　 　 　 　 　 　 　 　
（x+1）（x﹣3）＝3x+4 　 　 　 　 　 　 　 　
9．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根．
（1）x2﹣2＝x（x1＝﹣1，x2＝0，x3＝2）；
（2）．
10．关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0，
（1）当k满足什么条件时，该方程是一元二次方程；
（2）当k满足什么条件时，该方程是一元一次方程．
11．先化简．再求值：．其中a是方程x2+x﹣2＝0的解．
12．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．如果x＝﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由．
13．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值．
（3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
14．阅读下列材料：
问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以，把代入已知方程，得．化简，得y2+2y﹣4＝0．故所求方程为y2+2y﹣4＝0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程x2+3x﹣2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数；
（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c为常数，a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案：
1. B． 2.C． 3.D． 4.B． 5. x2﹣x＝0（答案不唯一）． 6. 1． 7. 11．
8．填表（要求改写后二次项系数为正）：
方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项
2x2＝7x 　2x2﹣7x＝0　 　2　 　﹣7　 　0　
5﹣3x2＝6x 　3x2+6x﹣5＝0　 　3　 　6　 　﹣5　
（x+1）（x﹣3）＝3x+4 x2﹣5x﹣7＝0　 　1　 　﹣5　 　﹣7　
9解：（1）当x1＝﹣1时，x2﹣2＝（﹣1）2﹣2＝﹣1，则x2﹣2＝x，所以x1＝﹣1是方程x2﹣2＝x的根；
当x2＝0时，x2﹣2＝02﹣2＝﹣2，则x2﹣2≠x，所以x2＝0不是方程x2﹣2＝x的根；
当x3＝2时，x2﹣2＝22﹣2＝2，则x2﹣2＝x，所以x3＝2是方程x2﹣2＝x的根．
∴x1＝﹣1，x3＝2是方程x2﹣2＝x的根，x2＝0不是方程x2﹣2＝x的根．
（2）当x1＝﹣1时，2x2+x﹣1＝2﹣1﹣1＝0；
当x2＝1时，2x2+x﹣1＝2+1﹣1＝2≠0；
当x3时，2x2+x﹣1＝21＝0，
∴x1＝﹣1，x3是2x2+x﹣1＝0的根，x2＝1不是2x2+x﹣1＝0的根．
10．解：（1）∵关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程，
∴k2﹣1≠0，
∴k≠±1，
所以k≠±1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元二次方程；
（2）关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程，
∴k2﹣1＝0且k﹣1≠0，
∴k＝﹣1，
∴k＝﹣1时关于x的方程（k2﹣1）x2+2（k﹣1）x+2k+2＝0是一元一次方程．
11.解：原式
；
∵a是方程x2+x﹣2＝0的解，
∴a2+a﹣2＝0，即a2+a＝2，
∴原式．
12．解：△ABC为等腰三角形．理由如下：
把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
13．解：（1）①x2＝1是黄金方程，理由：
∵x2＝1，
∴x2﹣1＝0，
∴a＝1，b＝0，c＝﹣1
∴a﹣b+c＝1﹣0﹣1＝0，
∴x2＝1是黄金方程；
②（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程，理由：
∵（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x2+x﹣2＝0，
∴a＝1，b＝1，c＝﹣2，
∴a﹣b+c＝1﹣1﹣2＝﹣2≠0，
故（x﹣1）（x+2）＝0不是黄金方程；
③x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3，
∴a﹣b+c＝1﹣（﹣2）﹣3＝1+2﹣3＝0，
∴x2﹣2x﹣3＝0是黄金方程，
故答案为：①③；
（2）由条件可知3+b﹣（﹣a）＝0，
∴b＝﹣a﹣3，
∴原方程为3x2﹣ax﹣a﹣3＝0，
∵a是此黄金方程的一个根，
∴3a2﹣a2﹣a﹣3＝0，即2a2﹣a﹣3＝0，
∴（a+1）（2a﹣3）＝0，
解得a＝﹣1或；
（3）由条件可知2﹣b+c＝0，
∴c＝b﹣2，
∴b2﹣2c+1＝b2﹣2（b﹣2）+1＝b2﹣2b+1+4＝（b﹣1）2+4，
∵（b﹣1）2≥0，
∴（b﹣1）2+4≥4，
∴b2﹣2c+1的最小值为4．
14．解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y．
把x＝﹣y代入已知方程得：y2﹣3y﹣2＝0，
故所求方程为y2﹣3y﹣2＝0．
（2）设所求方程的根为y（y≠0），则，
所以．
由条件可得．
去分母得a+by+cy2＝0．
若c＝0，则有ax2+bx＝0，即x（ax+b）＝0，
可得有一个解为x＝0，因为要求方程ax2+bx+c＝0有两个不为0的根，所以不符合题意．
故c≠0，故所求方程为cy2+by+a＝0（c≠0，a≠0）．

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