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第二十五章 一元二次方程 单元测试·巩固卷
试卷分析
一、单选题
1 0.95 判断是否是一元二次方程的解
2 0.85 由一元二次方程的定义求参数
3 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)
4 0.77 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
5 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
6 0.65 解分式方程（化为一元二次）；一元二次方程的根与系数的关系；根据一元二次方程根的情况求参数
7 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；因式分解法解一元二次方程；由一元二次方程的解求参数
8 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况
9 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；由一元二次方程的解求参数
10 0.65 解一元二次方程——配方法；黄金分割
二、填空题
11 0.95 一元二次方程的定义
12 0.75 增长率问题(一元二次方程的应用)
13 0.65 一元二次方程的根与系数的关系；提公因式法分解因式
14 0.65 换元法解一元二次方程
15 0.65 根据一元二次方程根的情况求参数；由一元二次方程的定义求参数
16 0.65 解一元二次方程——直接开平方法；新定义下的实数运算
三、解答题
17 0.87 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
18 0.65 根据判别式判断一元二次方程根的情况；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)；列代数式
19 0.65 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
20 0.65 公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系
21 0.65 公式法解一元二次方程；根据一元二次方程根的情况求参数
22 0.6 因式分解法解一元二次方程
23 0.55 公式法解一元二次方程；根据判别式判断一元二次方程根的情况
24 0.62 配方法的应用；运用完全平方公式进行运算；平方差公式分解因式保密★启用前
2026—2027学年九年级数学上学期单元测试卷
第二十五章一元二次方程·巩固卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．已知关于的一元二次方程，若，则它的一个根是（ ）
A． B． C． D．
2．已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（ ）
A．2 B．1或 C．1 D．
3．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（ ）
A．1 B． C．5 D．
6．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（ ）
A．3 B． C．3或1 D．或1
7．若关于的一元二次方程的解也是（）的解，则与满足的数量关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知关于的一元二次方程，下列说法中正确的个数有（ ）
①若，则方程总有实数根；②若，则方程有两个相等的实数根；
③若，则方程无实数根；④若，则方程总有实数根．
A．个 B．个 C．个 D．个
9．已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知点M是线段AB的黄金分割点（），，那么AM的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．一元二次方程的一次项系数是_________．
12．黄河入海，万鸟齐飞．东营黄河口湿地作为“鸟类国际机场”，秋冬观鸟热潮持续升温，东方白鹳主题文创销量节节攀升．某文创店月“东方白鹳”挂件销量为万件，月销量达万件．若每月的增长率相同，则这款挂件销量的月平均增长率为________．
13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．
14．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________．
15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______．
16．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规则，方程的解为____________．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．解方程
(1)；
(2)
18．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽；
(3)能否围成面积为的花圃？请说明理由．
19．西安市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个，9月份到11月份销售量的月增长率相同．
(1)该品牌头盔销售量的月增长率是______；
(2)若此种头盔的进价为40元/个，商家经过调查统计，当售价为50元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到9000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应上涨多少钱？
20．已知关于的一元二次方程（）有两个非零实数根，且其中一个根为另一个根的倒数，则称这样的一元二次方程为“逆根方程”．
(1)一元二次方程是“逆根方程”吗？请说明理由．
(2)若一元二次方程是“逆根方程”，求此方程的两个根．
21．现有三组数值：①，；②，；③，．
从①~③中任选一组，的值代入，得到方程．
(1)淇淇发现，她得到的方程没有实数根．则她选取的是____________（填序号）；
(2)除（1）所选的一组外，从另外两组数值任选一组代入，解出所得方程的解．
22．小明与小颖两位同学解方程的过程如图：
小明： 两边同除以， 得， 解得． 小颖： 移项，得， 提取公因式，得． 或． 解得．
(1)他们的解法正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程；
(2)请结合上述解题过程归纳总结：形如的一元二次方程的一般解法．
23．已知关于的方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．
24．【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题．
例如：分解因式．又如，求代数式的最小值，我们可以通过配方得到：．因为，所以，则，当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：；
(2)当为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
(3)若多项式与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式．
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参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D D A D A B C D B
1．A
解：∵一元二次方程为 ，
把代入方程左边，得，
又∵已知，
∴当时，方程左右两边相等，
∴是该一元二次方程的一个根．
2．D
解：由题意得：，且，
解得：．
3．D
分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项．
解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为，
∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为，
∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类，
∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285，
可得方程，
因此正确选项为D．
4．A
设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程．
解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为，
根据小正方形面积的两种求法可列方程为．
5．D
先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果．
解：∵一元二次方程的两根为，，
∴根据根与系数的关系可得，，
∵一元二次方程的两根为，，
∴两根之积满足，
∴．
6．A
本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解．
解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
解得：或，
经检验，或均为原分式方程的解．
∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
7．B
先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算与的和，得到二者的数量关系．
解：对于方程，
，
对于方程，
变形得 ，
直接开方得 ，
整理得 ，
两个方程的解相同，
，
即．
8．C
结合已知确定根的判别式的符号，即可作出判断．
解：∵一元二次方程的根的判别式为，
①当时，，
若，则，此时方程无实数根，故①错误；
②当时，，此时方程有两个相等的实数根，故②正确；
③当时，，
∵，
∴，
∴，此时方程无实数根，故③正确；
④当时，，
此时方程总有实数根，故④正确；
综上所述，正确的个数有个．
9．D
本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解．
解：由题意，关于x的一元二次方程有解，
解方程得，
∵一元二次方程（）的解是，，
∴，，
∴，
将，代入原方程得，
对于方程，
整理得：，
代入得
，
解得，．
10．B
本题考查黄金分割，根据黄金分割点的性质，较长部分的平方等于整个线段与较短部分的乘积，列出方程，进而即可求解．
解：设，则，
∵ M是黄金分割点且，
∴ ，
即，
解得（负值舍去），
∴ ，
故选：B．
11．1
一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数．
解：在一元二次方程中，
∵一次项为，
∴一次项系数是1．
12．
设月平均增长率为，根据月和月的销量关系列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果．
设这款挂件销量的月平均增长率为，
根据题意列方程得：，
∴，
解得，（舍去），
∴这款挂件销量的月平均增长率为．
13．
根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将所求代数式因式分解后整体代入计算即可．
解：是一元二次方程的两个实数根，
由根与系数的关系可得，， ．
14．，/，
利用换元思路，将所求方程整理为与原方程形式相同的一元二次方程，根据原方程的根得到对应关系式，即可求解．
解：将所求方程移项变形得 ，
∵一元二次方程的两根分别为，，
∴可得或，
解得，，
∴一元二次方程的两根分别为，．
15．
根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可．
解：由题意可知，且，
即且，
∴．
∴原一元二次方程可化为，
∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴．
∴．
16．
根据新定义的运算规则，将原方程转化为一元二次方程，再利用直接开平方法求解即可．
解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得．
17．(1)，
(2)，
（1）解：
或
∴，；
（2）解：
∴，
18．(1)米
(2)花圃的长为9米，宽为5米
(3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下：
当花圃的面积刚好为时，
，
化简得：，
∴，
∴该方程没有实数解，
∴不能围成面积为的花圃．
（1）设花圃的宽长为x米，则米；
（2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案；
（3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案．
（1）解：∵宽米，
∴长（米）；
（2）解：∵花圃的面积刚好为平方米，
∴，
化简得：，
解得：，，
当时，长，不合题意，舍去；
当时，长，符合题意；
答：花圃的长为9米，宽为5米．
（3）略
19．(1)
(2)该品牌头盔每个售价应上涨10元
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售500个，11月份销售720个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润=（售价 进价）×销售量列出方程求解即可．
（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
（2）解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意得，
整理得，
解得，，
因为尽可能让顾客得到实惠，
所以不合题意，舍去．
所以，元．
答：该品牌头盔每个售价应上涨10元．
20．(1)
是，理由如下：
解：
解得，
两个根均为非零实数，且其中是的倒数，符合“逆根方程”的定义
一元二次方程是“逆根方程”；
(2)
方程的两个根为和
（1）先求解给定的一元二次方程，得到两个根后，根据“逆根方程”的定义判断即可；
（2）根据“逆根方程”的定义得到两根乘积为1，利用根与系数的关系求出的值，再代入原方程求解即可得到两个根．
（1）略
（2）解：设方程的两个根为
该方程是“逆根方程”
由一元二次方程根与系数的关系得
，
解得
将代入原方程得：
整理得
由求根公式得
方程的两个根为和．
21．(1)③
(2)选①代入，，；选②代入，，
本题主要考查一元二次方程根的判别式、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
（1）利用一元二次方程根的判别式可作出选择；
（2）利用公式法解方程即可．
（1）解：由题意，，
①，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
②，：，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；
③，：，方程没有实数根，符合题意，
她选取的是：③；
（2）解：选①，代入，得，，，，
∴，
，
解，；
选②，代入，得，，，，
，
，
即，．
22．(1)小明和小颖的解法都不正确．
正确的解答过程：整理得：，
∴，即，
∴，
或，
．
(2)先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
（1）根据因式分解法解一元二次方程的方法和步骤进行分析即可得到答案；
（2）根据因式分解法的一般步骤：移项，提取公因式，因式为零，求解，据此即可解答．
（1）解：小明错误的原因是未考虑的情况，直接除以导致漏解，小颖错误的原因是提取公因式去括号时符号出错，正确的解答过程详见答案．
（2）解：先移项将其整理为的形式，再用提公因式法将等号左边进行因式分解，进而得到两个一元一次方程，分别解之，从而求得一元二次方程的解．
23．(1)证明：，，，
，
∴方程总有两个实数根．
(2)或或
（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根；
（2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值．
（1）略
（2）解：由（1）得：，
∴，
∴，，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴为整数，
为正整数，
∴为4的正约数，
或或．
24．(1)
(2)当时，最大值为7．
(3)、、．
（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果；
（2）将所求式子变形为，结合得出，从而即可得出结果；
（3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果．
（1）解：
；
（2）解：
，
，
，
当时，，取得最大值为7．
（3）解：当，需要加单项式；
当，需要加单项式；
当，需要加单项式．
所以满足条件的单项式为：、、．
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