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山东省东营市部分学校联考2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列函数中y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知反比例函数y＝的图象在第二、四象限，则m的取值范围是(　 　)
A．m≥5 B．m>5 C．m≤5 D．m<5
3．已知反比例函数，下列结论中，错误的是（ ）
A．其图象经过点 B．其图象位于第一、三象限
C．当时，y随x的增大而减小 D．关于x轴对称
4．一斜坡的坡度是，则此斜坡的坡角是（ ）
A． B． C． D．
5．对于反比例函数，下列说法正确的个数是（ ）
①函数图象位于第一、三象限；②函数值 y 随 x 的增大而减小；③若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则 <<；④P 为图象上任一点，过 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，则△OPQ 的面积是定值．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6．已知一次函数与反比例函数，则两个函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A在函数的图象上，点B在函数的图象上，轴于点C．若，则k的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
8．如图，菱形在平面直角坐标系中，，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，A，B，C三点都在格点上，（ ）
A．2 B． C． D．
10．如图，一座厂房屋顶人字架的跨度，上弦，．若用科学计算器求上弦的长，则下列按键顺序正确的是（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．若是反比例函数，则的值为______．
12．已知是锐角，若，则的值为______．
13．如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是，且与x轴正半轴的夹角α的正切值是，则的值为______．
14．如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是____米（结果保留根号）.
15．如图，已知直线，相邻两条平行直线间的距离都是2，若正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上，则=______．
16．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．
17．如图，是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，使，为轴上任意一点，连接，，若，则______．
18．如图，在反比例函数的图象上，有点，，，…，，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2026．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，…，，则______．
三、解答题
19．（1）计算：
（2）计算：．
20．如图，在中，，，．
(1)求的面积；
(2)求的长．
21．已知：如图在中，是边上的高，为边的中点，，，．求：
(1)线段的长；
(2)的值．
22．风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在某地安装了一批风力发电机，如图（1）某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图（2）为测量示意图（点，，，均在同一平面内，）．已知斜坡长为20米，斜坡的坡角为，在斜坡顶部处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，坡底与塔杆底的距离米，求该风力发电机塔杆的高度．
（结果精确到个位；参考数据：，，，）

23．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题：
(1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？
(3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由．
24．已知反比例函数的图象与直线相交于点，．
(1)求直线与反比例函数解析式；
(2)求的面积；
(3)根据图象，直接写出当时自变量x的取值范围；
(4)若在x轴上有一点P，使得的面积是18，求P点坐标．
25．在学习完锐角三角函数后，老师提出一个这样的问题：如图1，在中，，求（用含的式子表示）．
聪明的小雯同学是这样考虑的：如图2，取的中点，连接，过点作于点，则，然后利用锐角三角函数在中表示出，在中表示出，则可以求出．
阅读以上内容，回答下列问题：在中，．
(1)如图③ ，若，则__，_____；．
(2)请你参考阅读材料中的推导思路，求出的表达式．（用含的式子表示）
参考答案
1．C
解：根据反比例函数的形式得，
A. ，该选项是正比例函数，不符合题意；
B. ，该选项是正比例函数，不符合题意；
C. ，该选项是反比例函数，符合题意；
D. ，该选项是关于的反比例函数，不符合题意；
故选：C．
2．D
【详解】因为，反比例函数y＝的图象在第二、四象限
所以，m-5<0
所以，m<5
故选D
3．D
解：A．当时，，该选项正确，不符合题意；
B． 由得，其图象位于第一、三象限，该选项正确，不符合题意；
C． 由得，当时，y随x的增大而减小，该选项正确，不符合题意；
D． 反比例函数关于原点对称，该选项错误，符合题意．
故选D．
4．D
解：∵斜坡的坡度是，斜坡的坡角，
∴，
∴．
故选D．
5．B
【详解】中,＞0，∴函数图象位于第一、三象限，①正确；
函数在各象限中，y随x的增大而减小，故②错误；
若 A(-1， ），B（2，），C(1，)是图象上三个点，则<<，故③错误；
④P 为图象上任一点，过P作PQ⊥y轴于点Q，则△OPQ的面积等于，为定值，故④正确．
故选：B．
6．B
解：①当时，一次函数的图象经过一、三、四象限，反比例函数的图象经过一、三象限，选项B符合；
②当时，一次函数的图象经过二、三、四象限，反比例函数的图象经过二、四象限，选项都不符合．
故选：B．
7．C
解：设A的横坐标为a，则纵坐标为，
∵，轴，
∴B的横坐标为，轴，
∴，
∵点B在函数的图象上，
∴，
故选：C．
8．C
解：如图，作轴于点，
四边形是菱形，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
故选：C．
9．C
解：连接，
，
，
，
，
故选：C．
10．B
解：过B点作于D，

∵，，，
∴，
在中，，
∴，
即按键顺序正确的是 ，
故选：B．
11．
解：由题意知，，
解得：．
故答案为：．
12．/
解：∵，
∴，即，
∴．
故答案为：．
13．/
解：过点P作轴于点A，
根据P是第一象限内的点，其坐标是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．(15+15)
【详解】过点B作BE⊥AC，垂足为E，
则∠ABE=30°，∠CBE=45°，四边形CDBE是正方形，
∴BE=CD=15，
∵∠CEB=90°，
∴∠ECB=90°-∠CBE=45°=∠CBE，
∴CE=BE=15，
在Rt△ABE中，tan∠ABE=，
即，
∴AE=15，
∴AC=AE+CE=15+15，
即教学楼AC的高度是(15+15)米，
故答案为(15+15).
15．
解：如下图，过D作，交于E，交于F，
，
和的夹角都是，即与都垂直，
相邻两条平行直线间的距离都是2，
，
四边形是正方形，
，
，
又，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
16．/
解：将，，分别代入，
得：，，，
解得：，，，
∴．
故答案为：．
17．
【详解】如图，连接，

∵，
∴，
设点的坐标为，
∵点在第二象限，
∴，，
∴，
∴，
∵是反比例函数的图象上一点，
∴，
故答案为：．
18．
解：当时，的纵坐标为2，
当时，的纵坐标为1，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
当时，的纵坐标为，
…
当时，的纵坐标为，
则；
；
；
；
…
；
，
故答案为：．
19．（1）8；（2）
解：（1）
；
（2）
．
20．(1)
(2)
【详解】（1）过点作的垂线交的延长线于点，则，
，
．
．
，
根据勾股定理得：
．
．
（2）在中，，
，，，
．
21．(1)5
(2)
（1）解：∵是边上的高，和是，
在中，
∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：在中，
∵E为斜边的中点，
∴，
∴，
∴．
22．32m
解：过点作于点，作于点

由题意得：，
在中，
，
，
，
四边形为矩形，
，，
，
在中.
，
答：该风力发电机塔杆的高度为.
23．(1)，
(2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室
(3)有效，理由见解析
（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，
将点代入中得：
解得：
∴反比例函数的表达式为
把代入中得：，
解得：
∴
反比例函数的表达式为，
将点代入得：，
解得：
∴正比例函数的表达式为
（2）解：将代入中得：，
解得：，
∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室．
（3）解：有效，
理由：把将代入中得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
∴，
∴此次消毒有效．
24．(1)直线的解析式为，反比例函数解析式为；
(2)的面积为；
(3)当时，自变量x的取值范围是或；
(4)P点坐标为或．
（1）解：将点代入中，
得，
∴
∴反比例函数解析式为，
将点代入中得
∴
将点和分别代入中，
得，
∴，
∴一次函数的解析式为，
∴直线的解析式为，反比例函数解析式为．
（2）解：设直线与x轴交于点，
令，则，
∴，
∴，
∴，
∵ ， ，
∴
．
∴的面积为；
（3）解：由图象可知，当时，或．
（4）解：设，
∵
∴
∴
，
∵，
∴，
∴或，
∴或，
∴点坐标为或．
25．(1)；；
(2)
【详解】（1）由勾股定理可得：
由三角函数的定义可得，
由材料可得：
故答案为；；
（2）取的中点，连接，过点作于点，如下图：
则，，，
在中，，
在中，，
在中，，
则
则
故答案为．

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