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第一章《特殊平行四边形》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）
1．如图，在矩形中，，把矩形绕点C顺时针旋转得到矩形，当点E落在边上时，的度数为( )°．
A．75 B．60 C．65 D．70
2．平行四边形中经过两条对角线的交点O，分别交于点E、F．在图1，图2，图3中按照如下方法作图得到点M、N，下面关于以点F、M、E、N为顶点的四边形的形状说法正确的是（ ）

以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点M、N 分别作中边上的中线 分别作中的平分线
A．都是矩形 B．都为菱形
C．图1为矩形，图2和图3为平行四边形 D．图1为平行四边形，图2和图3为矩形
3.如图，在菱形中，交于O点，，点P为线段上的一个动点．过点P分别作于点M，作于点N，则的值为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，有一张矩形纸片，点E在上，点F在上，将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，点D的对应点为点G，连接．若，，则的值为（ ）
A．5 B．10 C． D．
5．如图，菱形的边长为4，，过点B作交于点E，连接，F为的中点，连接交于点G，则的长为( )．
A． B． C． D．

6．如图，点O为正方形的对角线的交点，点E，F分别在上运动（不与端点重合）且保持，连接．在点E，F的运动过程中，若，则的最小值是（ ）．
A．m B． C．m D．2m
7．如图，已知菱形的面积为20，边长为5，点、分别是边、上的动点，且，连接、，、和点不重合，则的最小值为（ ）
A． B． C．10 D．
8．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平行四边形中，，点从运动至点，过点作交于点，于点，过点作于点，设，，若关于的一次函数图象如图所示，则下列说法：①；②；③当时，四边形为正方形；④当时，四边形的面积为；正确的是（ ）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
10．如图，正方形的边长为2，G是对角线上的动点，于点E，于点F，连接，给出4种情况：①若G为上任意一点，则；②若G为的中点，则四边形是正方形；③若，则；④若过点G作正方形交边于M，则．其中正确有( )个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
11．如图，菱形的边长为2，，对角线相交于点．过点作的平行线交的延长线于点，连接．则的长为 ．
12．如图，在不锈钢制的矩形框架中，对角线长为，现取上一点N和的中点M进行固定（即用钢材将M、N两点连接），若，则需要的钢材的长度为_______．
13．已知：在正方形中，边长为6个单位，连接，点M为上一个动点，连接，过点M作，交边所在的直线于点，连接，设的中点为点，当点从点向点C运动6个单位时，点Q运动的长为______个单位．
14．如图，四边形是边长为2的菱形，，将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，交于点E，则四边形的面积等于 ．
15．如图，在正方形中，，点E为边上一点，连接，点G在上，以为边作等边，点F落在上，M为中点，连接，则的最小值为_______．
16．如图，把3个相同的矩形填充到菱形中，如果图中阴影部分的周长为22，且小矩形的长与宽之比为，那么菱形的面积为_____________．
17．定义：若三角形中有一个内角是另一个内角的两倍，则称该三角形为“2倍角三角形”．如图，在矩形中，，将沿着过点的直线折叠，恰好使得点落在边上的点处．若为“2倍角三角形”，则的长为__________．
18．已知正方形的边长为，为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点，连接，．
（1）________；（2）若为的中点，则的面积为________．
三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-24题每题10分，25-26题每题11分.）
19．【问题探究】
(1)如图1，在正方形中，点H在对角线上，过点H分别作于点I，作于点J，请判断与的位置关系与数量关系，并说明理由；
【问题解决】(2)如图2，四边形是一座边长为的正方形植物园，对角线为植物园内的观景通道，现计划在的延长线上取一点E，在的延长线上取一点F，连接，将扩建为新的植物园区域．同时，取的中点G，过点G铺设一条垂直于的新观景通道，交于点H．若，，求的长．（观景通道的宽度忽略不计）
20．中，对角线、相交于点O，过点O作的垂线交于点P，点Q是的延长线上一点且．
(1)当四边形是矩形时．①求的度数；②判断线段、和数量关系，并证明：
(2)如图2，当时，若，，求的周长．
21．在中，的平分线交于点E，交的延长线于点F，分别过点E，F作，．
(1)如图1，求证：四边形是菱形；
(2)如图2，当点E是的中点时，连接．若，求的长；
(3)如图3，当是矩形时，连接，交于点O，连接．若，，求的长．
22．综合实践
【概念学习】如果一个矩形的四个顶点分别在一个菱形的四条边上（不与菱形的顶点重合），那么我们称这个矩形为该菱形的菱接矩形．

【特例探究】(1)如图1，已知菱形，点、、、分别为、、、的中点，则四边形_____（是、不是）菱形的菱接矩形．
【一般探究】(2)如图2，已知菱形，点、、、分别在边、、、上，且满足，则四边形是菱形的菱接矩形吗？请说明理由．
【升华应用·实践设计】(3)某社区计划对一块菱形空地进行景观改造，设计为“中心休闲区＋四角花草区”的布局：菱形为整块空地，内部的中心休闲区为菱形的菱接矩形，剩余四个角落的三角形区域为花草种植区，共分为5个区域板块．已知：如图3，该菱形空地的边长为6米，且，点为边上一点．
①请仅用无刻度直尺在图3中作出中心休闲区，使得中心休闲区的其他三个顶点、、分别在菱形空地的边、、上．
②若要让中心休闲区（矩形）的面积最大，花草种植区的总面积最小，则此时的长度应该设计为多少米，并求出该中心休闲区的最大面积．
23．如图1，四边形是正方形，E，F分别是边，上的点，连接，作于点H，延长交边于点 G．
(1)判断与的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，若，连接，判断线段，，的数量关系，并说明理由：
(3)在（2）的条件下，若，，则的长为 ．
24．定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”．
(1)若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______．
(2)如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”．
(3)如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示．
25．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴、轴的正半轴上，点的坐标为，且，满足．一次函数的图象与边，分别交于点，，是线段上的一个动点．(1)求点的坐标；(2)连接，当四边形的面积是三角形面积的倍时，求点的坐标；(3)在轴的上方是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由．
26．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】：（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________
【解决问题】：（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，．
①如图2，当时，求证：平分，写出证明过程；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________；
【迁移应用】：（3）如图4，正方形的边长为是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________；
（4）如图5，在菱形中，是边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，若，求的长并说明理由．
参考答案
一、选择题
1．A
解：设，∵，∴，
在矩形中，，，，由旋转的性质得，，
在中，，∴，∵，∴，
又，∴为等腰三角形，∴ ，
∵，∴．
2．C
解：连接、、、，如图所示：
在中，对角线与交于，，，
在和中，，，，
以点为圆心，以为半径作弧，交于点，，即，
四边形为矩形，即图1为矩形；连接、，如图所示：
在中，对角线与交于，，，，
在和中，，，，
为的中线，，四边形为平行四边形，
即图2为平行四边形；连接、，如图所示：同理得：，，
为的角平分线，∴
，，∴，
四边形为平行四边形，即图3为平行四边形．
3.C
解：如图，连接，∵四边形是菱形，∴与互相垂直平分，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，故选：C．
4．C
解：四边形为矩形，，，，．
．将这张纸片沿所在直线翻折，使得点C与点A重合，
，．．
，．．．如图，作于H，
则．∴四边形为矩形．，．
．．
．
5．C
解：如图，取为的中点，

∵菱形的边长为，∴，
∵为的中点，为的中点，∴是的中位线，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，，
，，
在和中，，，，
在Rt FHG中，由勾股定理定理得：，故答案为：C．
6．B
【详解】解：∵正方形∴，
∵∴∴∴
∴∴∴∴当最小时，最小，
∵当时，最小，如图
∵正方形中，∴
∵∴∴∴的最小值是．故选B
7．D
解：如图，过点作于点，延长到点，使，
四边形是菱形，，，
菱形的面积为20，边长为5，，在中，根据勾股定理得：，
以点为原点，为轴，垂直于方向为轴，建立平面直角坐标系，
，，，，，，，，
在和中，，，，
连接，，，，，，三点共线时，取最小值，
的最小值的最小值．
但是当，，三点共线时，点不在边上，．故选：D．
8．B
解：，，，
，∴，，
在正方形中，，，即，
同理可得，，，即，
，∴，，
，，，
，，
∴，故选：B．
9．D
解：，，，，，，
根据函数图象，得当时，过点D作于点M，根据题意，得，
当时，此时，
根据勾股定理，得，，根据勾股定理，得，
平行四边形，，故①②都正确；
当时，，，，∴，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，，∴四边形为正方形，
过点D作于点M，交于点N，则，四边形是矩形，
设，点D到的距离为，
∴，解得，故当时，四边形为正方形，故③正确；
当时，点E是的中点，设与的交点为N，
设，点D到的距离为，∴，解得，
∴，∴四边形的面积为；故④正确；
10．C
解：四边形是正方形，、、，
在和中，，，，
、，，，四边形是矩形，
，，故①正确；
四边形是正方形，，
G为的中点，，、，，
在和中，，，，
由①知，四边形是矩形，四边形是正方形；故②正确；
四边形是正方形，、，，
，，，，故③错误；
四边形是正方形，、，，
，，
在和中，，，，
，在中，由勾股定理得：，
，故④正确；综上所述，正确的有①②④．故选C.
二、填空题
11．
解：∵菱形的边长为2，，
∴，
∴为等边三角形，∴，，
∵，∴，，
∵，∴四边形为平行四边形，，
∴，∴；故答案为：．
12．
解：如图，连接交于点O，
∵四边形是矩形，∴，，，
∵，∴，即点N是的中点，
∵点M是的中点，∴是的中位线，∴．
13．
解：如图，连接，交于，∵在正方形中，边长为6个单位，
∴，，，，，∴，，
过作于，交于，∴，，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，，
∴，，∴，同理：，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，连接，
∵为的中点，，∴是的中位线，即的运动轨迹；∴.
14．
解：连接，交于点，
∵四边形是边长为2的菱形，，∴，
∴，∴，，，为等边三角形，
∴，∴，∴，
∵将菱形绕点A逆时针旋转，使点B的对应点落在对角线上，
∴，，∴，
∵，∴，∴，，
∴四边形的面积等于；
故答案为：．
15．
解：∵正方形，∴，，
如图，以为边构造等边三角形，连接，，过作于，
∵和是等边三角形，∴，，，
∴，∴，∴，
∵M为中点，∴，∵，，∴，
∴，
∴当点E在上运动时，点M在上运动，当时，最小，
∵，∴最小值，故答案为：．
16．35
解：如图所示，设小矩形的宽为，
∵小矩形的长与宽之比为，∴小矩形的长为， 由题意可知，三个矩形全等，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
又∵图中阴影部分的周长为22，∴，解得，，
∴，，，，
在矩形中，，，
∴，，，
∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，
在中，，，∴是等腰直角三角形，
∴，∴，
∴菱形的面积，故答案为：35．
17．或或8
解：四边形是矩形，，，
由折叠的性质，可得，．
①当时，，此时为“2倍角三角形”，
如图1，则．
②当时，如图2，则，．
③当时，如图3，则，．
综上可知，的长为或或8．
18．
解：（1）四边形是正方形，
将沿对折至
，，，，
在和中
（2）为的中点
设，由（1）知，
在中，由勾股定理得即
整理得解得 ，，
与同高，底边分别为和
．
三、解答题
19．(1)解：，，理由如下：
四边形为正方形，平分，，
，，，，
，四边形为矩形，，即．
（2）解：如图2，连接、，过点H作、垂线，分别交、于点I、J，
同（1）可证四边形为矩形，，四边形为正方形，
，；
点G是的中点，，是的垂直平分线，，
在和中，，，
四边形是正方形，，，
，又，
，解得，，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，．
20．（1）解：①∵四边形是矩形，∴，
∵，∴，∴；
②，理由如下：如图，连接，，
∵矩形，∴，，∵，∴，，
过作交的延长线于，∴∠ABE=90 =∠EQB，
∵，∴∠QBE=45 =∠QEB，∴，，
设，而，∴，
∴，∠BOQ=90 -2ɑ，∴∠OQB=180 -（45 +ɑ）-（90 -2ɑ）=45 +ɑ=∠OBQ，
∴，∴∠OAQ=∠AQO=45 =∠OQC=∠OCQ，
∴∠AOQ=90 =∠BQE，∴，∴ AQB≌ CQE（SAS），
∴，∴．
（2）解：如图，连接，，过作于，作交的延长线于，则∠AGQ=∠CHQ=90 ，∵，∴，∵，∴，
∵，，∴，∴∠QBH=60 =∠ABQ，
∵，，∴，∴Rt AQG≌Rt CQH（HL），
∴，∠QAG=∠QCH，记，的交点为，
∵∠ARQ=∠CRB，∴∠AQC=∠ABC=60 ，∴为等边三角形，∴∠AQO=∠CQO=30 ，
设，则，，
∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，，
∴，∴，，同理可得：，
∴，∴的周长为．
21．（1）证明：∵，，∴四边形是平行四边形，
∵四边形是平行四边形，∴，，，，
∵平分，，，
，∴平行四边形是菱形．
（2）解：由（1）可知，四边形是菱形，，
∵点E是的中点，．
（3）解：如图3，过点O作于点N．
∵四边形是矩形，∠ADC=∠BCD=90 ，，
，∴菱形为正方形，，，，
，是等腰直角三角形，，，
，，，，
，在中，由勾股定理得：．
22．（1）解：四边形是菱形的菱接矩形．
理由如下：连接，如图所示：
∵菱形，∴，∵点、、、分别为、、、的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，∵，∴，
∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形；
(2)四边形是菱形的菱接矩形，理由如下：连接，如图所示：
∵菱形，∴，，，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴，
∴，
∵，∴，∴，
∴，∴四边形为矩形，∴四边形是菱形的菱接矩形；
(3)①如图所示即为所求；②时，中心休闲区的最大面积为
②∵中心休闲区为菱形的菱接矩形，
∴由（1）（2）得，，
∵菱形，∴，，∴，
∵，∴，∴为等边三角形，
∴，，∴，设，
∴，，∴，
∴，∴，
∴矩形的面积为：，
∵，∴，
∴当时，矩形的面积取得最大值为，即时，中心休闲区的最大面积为．
23．(1)，理由如下：∵四边形是正方形，∴，
∵于点H，∴，∴，
∵，∴；
(2)，理由如下：
如图2，作于点I，交的延长线于点L，则，
∵，，∴，
在和 CFL中，，∴，∴，，
∵，∴四边形是矩形，
∵，∴四边形是正方形，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴；
（3）解：如图3，作于点K，连接，则，
∴，∵，，∴，
∵，∴四边形是矩形，∴，，
在和中，，∴，∴，，
∵，，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，，
∴，由（2）得，∴，∴．
24．（1）解：如图1，连接交于P，
∵在菱形中，交于P，，
∴，，，，
在中，，∴，，
∴是等腰直角三角形，∴，∴，即；
∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，
∴是的中位线，∴；
(2)证明：在菱形中，，∴，
，，．，，
又∵，，，，
∴，即，∴，
又∵，∴，，
，即为菱形中关于的“中轴弦”；
（3）解：由题可知，，，∴四边形是梯形，
如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点，则两条平行线与之间的距离，
∵在菱形中，∴，∴，，
∴，，，
∵在梯形中，，，
，整理，得，或，
∵在菱形中，∴，
∴当时，，即，
又∵，∴，∴，，
同理可证，，
∴，∴，即，
又∵，∴四边形为平行四边形，
∵，，∴，∴均为等腰三角形，∴，
又∵，∴，∴，∴，
，，∴，∴，
∵，，∴，四边形为平行四边形，∴，
设，，在中，，
同理可知，在中，，
∵，，即，
∴，
，．
25．（1）解：∵，，，
∴，∴，∴点的坐标为；
（2）解：在中，令，解得，则的坐标是，
∵四边形是矩形，∴轴，∵点的坐标为，∴点的横坐标是,
把代入得，∴的坐标是，
则，
∵四边形的面积是三角形的面积的4倍，，
设的横坐标是，则，解得：，
把代入得．则的坐标是；
（3）解：当四边形是菱形时，如图（1），∵的坐标是，则的纵坐标是，
把代入，得，解得：，
则的坐标是，则的坐标是；
当四边形是菱形时，如图（2），则，
设的横坐标是，则纵坐标是 ，则，解得：或 0 （舍去 ）．
则的坐标是．则的中点是．则的坐标是．
当是菱形时，则，设的横坐标是（），则纵坐标是 ，
则，解得：或（舍去 ）．
则的坐标是．则的中点是．
则（舍去），故的坐标是或．
26．解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，，，
，是等腰直角三角形，，故答案为：45；
（2）①证明：∵，，
∵矩形中，，，平分；
②过点B作于点E，
，，，，
，，，，
又，，，
，，，
，，又，，
， ，故答案为：4；
（3）过点F作交于点H，四边形是正方形，
，，，由旋转得，，
，，
在和中，，
，，，，
，，，，
，是等腰直角三角形，，故答案为：；
（4），理由如下：过点F作，与的延长线交于点H，如图：
四边形是菱形，，，
，由旋转得，，
，，
，，，，
，，，，，
，，是直角三角形，
，，，，，．

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