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1.3《全等三角形的判定》同步练习
一、单选题
1．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（ ）
A．，
B．，，
C．，，
D．，，
2．如图，D是上一点，交于点E，，，若，，则的长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．1
3．如图，小星用高度都相等的10个相同长方体小木块垒了两面与地面垂直的木墙与，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，且等腰直角三角板斜边的两个端点分别与点A，B重合，等腰直角三角板的直角顶点C与点D，E均在水平地面上，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内．已知，，则每个长方体小木块的高度为（ ）
A． B． C． D．
4．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（ ）
A．6 B．10 C．12 D．24
5．已知，其中．点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒．
①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍；
②当两点同时到达点时，；
③若时，与垂直；
④若运动过程中存在与全等，则或．
以上说法正确的选项为（ ）
A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④
二、填空题
6．如图，，要使，只需添加的一个条件是_______．（填一个即可）
7．如图，在中，点D、E分别在边、上，，，．若，则的周长为 ___ cm．
8．如图，已知，以点O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交、于点E、F，再以点E为圆心，的长为半径画弧，交前弧于点D，画射线．若，则的度数为___________．
9．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________．
10．如图的两条高与交于点O，，．F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，则t的值________．
三、解答题
11．如图，点A在线段上，已知，，．
(1)求证：．
(2)若，，求的长．
12．如图，已知点，，，在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
13．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
14.如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F．
(1)和全等吗？请说明理由．
(2)若，试说明：
15.如图，在长方形中，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒：
(1) _______ ．（用t的代数式表示）
(2)当t为何值时，
(3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．
16.如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点．
(1)若，求；
(2)求证：；
(3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：．
17.如图，中，，点D为外一点，，，过点D作于点E，延长交于点
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
18.已知在四边形中，，．
【问题背景】
(1)如图1，连接，若，，求的长；
【类比探究】
(2)如图2，点，分别在线段，上，满足，探究，，之间的数量关系，并证明；
【拓展应用】
(3)如图3，若点在的延长线上，点在的延长线上，满足，请直接写出与的数量关系为_________．
参考答案
一、单选题
1．C
解：A．∵仅给出一个角和一条边，符合条件的三角形有无数个，∴不能画出唯一，不符合要求．
B．∵，，，属于的情况，可以画出两个不同的三角形，∴不能画出唯一，不符合要求．
C．∵，，，符合全等三角形的判定定理，∴能画出唯一，符合要求．
D．∵ ，不满足三角形两边之和大于第三边，∴不能构成三角形，不符合要求．
2．A
解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
3．D
解：由题意，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴10个长方体小木块的高度为，
∴每个长方体小木块的高度为.
4．C
解：由作图可知平分，延长交的延长线于点，
平分，，
∴，
∵，
∴，
，为的中点，
，
，即，
为的中点，
，
在中，，，
当时，的面积最大，最大值为，
的最大值为．
5．B
解：对于①，点以每秒个单位长度的速度，运动时间为秒，
点运动路程为．
若，则点运动路程为，
点运动路程始终是点运动路程的倍，故①符合题意；
对于②，当点到达点时，秒，
，故②符合题意；
对于③，如图所示，
当，时，
点运动的路程为，点运动的路程为．
，，
，．
，
，
，
和不全等，
．
，
，
，
与不垂直，故③不符合题意；
对于④，当时，则，．
，
，
，
，
，
；
当时，则，．
，
，
．
，
，
，
若与全等，则或，故④不符合题意．
综上所述，符合题意的结论为①②．
二、填空题
6．（答案不唯一）
解：由题意可知：
是两个三角形公共边，
，
又已知，
添加条件：
在和中：
，
；
添加条件：
在和中：
，
，
综上，可填：（答案不唯一）．
7．7
解：∵，
∴，，
∴，
∴的周长．
8．
解：如图，连接，通过尺规作图可知，
，
又，
，
∴.
9．
解：延长交于点，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中， ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．
10．或4
解：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，
分情况讨论：
①如图，当点在延长线上时， AOP≌ FCQ．
∵，，
∴，
∵，
∴，
又，
当 AOP≌ FCQ时，有．
，，
，
解得；
②如图，当点在线段上时， AOP≌ FCQ．

同①得，
又，
当 AOP≌ FCQ时，有．
，，
，
解得；
综上，当与全等时，t的值为秒或4秒．
三、解答题
11．(1)证明：∵，
∴，
在和中，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴．
12．(1)证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵，，
∴，
∴，
∴．
13．(1)证明：∵E为中点，
∴，
∵
∴
在和中
，
∴
（2）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
14.(1)解：，理由如下：
∵，
∴，
∵E为的中点，
∴，
又∵，
∴；
(2)由（1）可得，，
∴，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，即．
15.（1）解：由题意知，；
（2）解：当时，，
∵当时，，
，
在和中，
，
；
（3）解：①当时，，
,
∴,
，
即，
解得；
②当时，，
，
,
∴，
解得，
∵,
即，
解得；
综上所述，当/秒或/秒时和全等．
16.（1）解：是边上的中点，
；
(2)分别是边上的中点，
分别是的中线，．
如下图，连接，
，，
．
，
，
；
(3)证明：连接，
是边上的中点，
，
，
平分四边形的面积，
，
，
．
是边上的中点，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
17.(1)证明：∵在中，，于点E，
，
在和中，
，
∴，
(2)证明：连接，
由（1）得：，
，
，
和是直角三角形，
在和中，
，
∴，
；
（3）解：由（1）得：，
∴，
．
18.（1）解：，，
，
，都是直角三角形，
在和中，
，
，
，
，
；
(2)．证明如下：
如图，延长到点，使得，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
，，
（3）如图，延长到点，使得，连接，
，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形的内角和为，
，
，
，
，
，
．

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