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第1章《三角形》单元自测卷
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。）
1．如图所示各选项中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（ ）
A．4.5 B．4 C．3.5 D．3
3．如图，是中边上的中线，、分别是、的中点，若的面积为，则的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句中，是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角
B．对于直线a，b，c，如果，，那么
C．若，则
D．同旁内角互补
5．如图，在中，的垂直平分线分别交于点D，E．的周长为23，，则的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
6．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当的长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点． 则为（ ）
A． B． C． D．
7．若，，是的三边，化简：（ ）
A．0 B． C． D．
8．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，摆放一副三角板（，，），其中，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，，下列四个结论：①；②；③；④若，则．则下列结论中正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，，添加一个条件_________，使．（不添加字母和辅助线）
12．如图，在中，是的垂直平分线，，的周长为，则的周长为___．
13．如图，在中，以顶点A为圆心，以适当长为半径画弧，分别交于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，作于点E，若，，的面积为13，则的长为 __________
14．如图，将三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形的外部时，测量得，，则为______．
15．如图，，则__________．
16．如图，在中，已知，点为内一点，且，其中平分，平分，平分，平分，平分，平分，…，以此类推，则，________．
三、解答题（本题共8小题，第17-21题每题8分，第22-23题每题10分，第24题12分，共72分）
17．如图，D、C、F、B四点在一条直线上，，，，垂足分别为点C、点F，．求证：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点F，E，，是的一条角平分线．
(1)与垂直吗？请说明理由．
(2)若的周长为26，，求的长．
19．如图，在中，平分，平分．
(1)若，，求的度数；
(2)若于点E，，，求的面积．
20．如图，，点在边上（不与点，重合）与交于点．
(1)若，，求的度数；
(2)若，，求与的周长和．
21．如图，已知直线，点为直线上一定点，点为直线上的一个动点，连接．在直线、之间找点使，，设，．
(1)当时，求的度数．
(2)与有怎样的数量关系？并给出证明．
(3)设的角平分线与交于点，当时，求．
22．综合实践：
定义：三角形三条中线的交点叫三角形的重心．
发现：如图①，将一块质地均匀的三角形纸板，用一根细线绳从重心处悬吊起来，发现纸板处于水平状态．
探究：关于三角形的重心还有哪些性质呢？
(1)如图②，是的中线，则与的面积关系为：_______（填>、<或=）；
(2)如图③，点是的重心，猜想与的面积之间的关系，并说明理由；
(3)如图③，点是的重心，三条中线、、分别交、、于点、、，求的值；
(4)如图④，点是的重心，且，若，，求四边形的面积．
23．综合与实践：
(1)【基础巩固】如图①，已知与相交于点，．是的中点，求证：．
(2)【深入探究】如图②，在（1）的条件下，过点，分别作于点，于点，若．当时，求的长．
(3)【拓展探究】如图③，要测量河流的长，因为无法测河流附近的点，可以在外任取一点，在的延长线上任取一点，连结，并且延长到点，使；延长到点，使，连结并延长到点，使三点在同一条直线上．若测量出，则河流，请说明理由．
24．【初步认识】
(1)如图1，在中，平分，平分，若，则_____；_____；
【继续探索】
(2)如图2，，的平分线，相交于点，若，，求的度数；
【拓展应用】
(3)如图3，在中，平分，平分，平分外角，平分外角，延长，交于点．在中，有一个内角为，直接写出的度数．
参考答案
一、选择题
1．B
A项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意；
B项：两图形形状、大小相同，能够完全重合，符合题意；
C项：两图形大小不同，不能重合，不符合题意；
D项：两图形形状不同，不能重合，不符合题意．
2．D
解：过点D作，交于点E，
∵平分，，
∴，
所以点D到的距离是3．
3．B
解：∵是中边上的中线，的面积为，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
∵点F是线段的中点，
∴．
4．B
解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等，但不是对顶角，因此A是假命题；
B. 根据平行线的基本性质，平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，则，因此B是真命题；
C. 若，则或，例如，满足但，因此C是假命题；
D. 只有两直线平行时，同旁内角才互补，选项缺少前提条件，因此D是假命题．
5．D
解：∵垂直平分，
∴，，
∵的周长为23，
∴，
∴，
∴的周长．
6．B
解：由作法得平分，
．
7．B
解：∵是的三边，
∴，，
∴，，
∴，
，
∴原式
．
8．C
根据题意整理已知条件：
由 ，，可得 ，
∵ ，，
且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边，
满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据．
9．C
解：如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
10．C
解；∵，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故③正确；
如图所示，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∴，
∴，故④正确；
根据现有条件无法证明，故②错误；
故结论中正确的有①③④．
二、填空题
11．（答案不唯一）
解：∵在和中，，（公共边），
∴添加，利用可使．
12．19
解：是的垂直平分线，
，
，
的周长为，
，
，
．
13．5
解：过点作于点，
由作图痕迹可知，平分，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
14．
解：∵，
，
∵将三角形纸片沿折叠，
，
，
，
，
故答案为：．
15．
解：如图，
根据三角形外角的性质可知，，，，
∴，
即．
16．
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴
，
同理可得
，
归纳类推得，其中n为正整数，
∴．
三、解答题
17．(1)证明：∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在和中
，
∴；
(2)证明：∵，
∴，
∴．
18．(1)垂直，理由如下：
∵垂直平分
∴
∵
∴
∵是的一条角平分线
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵
∴
由题意得，，
由（1）可得，
∵的周长为26
∴
∴
∴．
19．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点D作于F，
∵平分，，
∴，
∴．
20．（1）解：，
，即，
，
∵∠CAD=110 ，，
，
，
（2）解：，
，，
与的周长和为．
21．（1）解：过点作，如图，
∴，
∵，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
(2)
证明：过点作，如图，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴，
如图，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
由（2）可知，
∴．
22．（1）解：是三角形的中线，
，
和的底边分别是和，它们共用同一个顶点，
它们的高相等，设为，
．
(2)，理由如下：
点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
同理得，
∴，
，
∴；
（3）解：点是的重心，
，
和同高，设高为，
，
，
∴，
同理：等底同高，等底同高，
，，
∴，
∴．
（4）解：如图，连接交于点，
是的重心，
由（3）可得出，，，，
设，，
∴，
同理得，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
同高，
设它们的高为，
，，且，
，
、和同高，设高为，
，，，
，
，
，
，
，
同理可得，，
∴．
23．(1)证明：∵是的中点，
∴,
在和中，
，
∴；
（2）解：在（1）的条件下，，，
∴S AEG=S BFG，
∵，，
∴S AEG=ED AG=S BFG= CF BG，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
(3)若测量出，则河流，理由如下：
∵，，，
∴ HGE≌ CGF（SAS），
∴，，
∵，，，
∴∴ AGE≌ BGF（ASA），
∴，
∴，
∴,
∴若测量出，则河流．
24．（1）解：∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，的平分线，相交于点，
∴，
∴；
（3）解：∵平分，平分外角，，
∴，即，
因此只能是或．
根据三角形外角的性质得到，
∵平分外角，平分外角，
∴，
∴，即，
∴，
分情况讨论：
若，则，解得；
若，则，解得；
综上所述，的度数为或．

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