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内蒙古自治区包头市青山区2025-2026学年度第二学期八年级期末教学质量监测试卷 数学
一、单选题
1．包头剪纸，是西口文化的延续，吸收了北方游牧和中原农耕两种截然不同的文化，具有别样的塞上风情．以下剪纸图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（ ）
A．5 B．7 C．10 D．11
5．无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第m天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为)，对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　）
A．2 B．2.5 C．2.4 D．1.2
二、填空题
9．不等式的解集是________
10．《红楼梦》是我国四大名著之一．如图是《红楼梦》的八边形彩色金币，将其抽象为正八边形，延长至点P，则的度数为__________．
11．如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是______米．

12．定义：若一个三角形中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为倍角三角形．如图，在中，，、分别是、上的点，，沿折叠，点的对应点恰好落在上．若是倍角三角形，则________．
三、解答题
13．按要求完成下列各题：
(1)分解因式：；
(2)计算：；
(3)解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
14．先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值．
15．如图，在平面直角坐标系中，和的顶点坐标都是整数，已知点，．
(1)将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，其中点分别与点A，B，C对应，请在图中画出；
(2)将绕D点逆时针旋转，得到，其中点分别与点E，F对应，请在图中画出；
(3)与关于平面内某一点成中心对称，请在图中画出对称中心M，并写出点M的坐标．
16．综合与实践
“文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同．
(1)求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格．
(2)若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？
17．阅读与思考
阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题．
(1)分解因式：______．
(2)若多项式的最小值为1，求出k的值．
(3)已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状．
18．小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，．

(1)请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______．
(2)①证明；
②证明四边形是平行四边形．
(3)当，时，直接写出的度数．
参考答案
1．C
【详解】解：A中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
2．D
【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为．
3．C
【详解】解：A. 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解；
B. 变形是整式乘法，是从积到多项式的转化，不属于因式分解；
C. 是将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解；
D. 右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解.
4．B
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴．
∴的周长为．
5．C
【详解】解：∵设外卖员配送速度为，则无人机速度为，
可得外卖员用时为小时，无人机用时为小时，
∵24分钟小时，无人机比外卖员早到小时，即外卖员用时比无人机多小时，
∴ 可列方程为．
6．B
【详解】解：，阴影部分面积为，
，
，
．
7．A
【详解】解：∵在上，
∴
解得：
根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度.
8．D
【详解】如图，连接，
点、分别是、的中点，
是的中位线，
，
当时，的值最小，此时的值也就最小，
由勾股定理得：，
，
，
．
故选:．
9．
【详解】解：∵ ，
移项得.
不等式两边同时乘，不等号方向改变，
∴ .
10．/45度
【分析】根据正n边形的外角等于，解答即可；
【详解】解：根据题意，得；
11．
【详解】过B点作于点D，如图，

根据题意有：，，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴（米），
故答案为：．
12．或
【详解】解：如图：连接 ，由题意可知 关于轴对称，
，
，
是倍角三角形，
它有一个内角是另一个内角的倍，
当时，
当时，则
综上所述或．
13．(1)
(2)
(3)，在数轴上表示为：
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：解不等式，得，
解不等式，得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示解集：略.
14．，时，原式
【详解】解：原式
．
∵，即，
∴选择代入得：原式．
15．(1)如图，即为所求，
(2)如图，即为所求，
(3)如图，点M即为所求，
点M的坐标为.
【详解】（1）略
（2）略
（3）略
16．(1)乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元
(2)共有三种购买方案，最低费用是5780元
【详解】（1）解：设乙型号的“文房四宝”每套的价格为元，则甲型号的每套为元，根据题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的根，并符合题意，
此时，，
所以，乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元；
（2）解：设购买甲型号“文房四宝”套，则乙型号为套，根据题意得，
解得，
∵取值为正整数，
∴可取26,27,28，
所以有以下三种购买方案：
方案一：当时，即购买甲套，乙套，
此时费用为（元）；
方案二：当时，即购买甲套，乙套，
此时费用为（元）；
方案三：当时，即购买甲套，乙套，
此时费用为（元）；
∵
∴共有三种购买方案，且方案一最省钱，最低费用是5780元．
17．(1)
(2)
(3)是等腰三角形
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵
∵
∴
∴的最小值为
∵多项式有最小值为1，
∴
∴；
（3）解：∵
∴，，，
∴，
∴，
∴是等腰三角形．
18．(1)补全图形见解析；相等；
(2)①见解析；②见解析
(3)
【详解】（1）解：过点E作的垂线并延长，取，则点G是点A关于的对称点，
补全图形如图所示：
点E和点G关于对称，
是线段的垂直平分线，
，，
∴，
是边等三角形，
，
，
故答案为：相等，．
（2）①，，
，
是边等三角形，
，
在和中，
，
．
②，
，，
，
，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
（3）连接，如图所示：
，，
等边三角形，
，
是边等三角形，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
．

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