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湖南省衡阳市蒸湘区2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．以下是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列正多边形中，能够铺满地面的是（ ）
A．正九边形 B．正五边形 C．正八边形 D．正六边形
3．下列美术字中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．一个不等式的解在数轴上表示如图，则这个不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
5．对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B．
C． D．
6．下列四位同学对方程的变形中，正确的是（ ）
小明：若，则；
佳佳：若，则；
小红：若，则；
丽丽：若，则．
A．小明 B．佳佳 C．小红 D．丽丽
7．已知和都是关于、的二元一次方程的解，则、的值为（ ）.
A．， B．，
C．， D．，
8．坡屋顶，又叫斜屋顶，在建筑中应用较广，主要有单坡式、双坡式、四坡式和折腰式等．如图是一座双坡式房屋的剖面图，其中段与段长度相等，经测量，段的长为，则段的长可能为（ ）
A． B． C． D．
9．阅读材料：整体代入是数学中常用的方法.例如：“已知，求代数式的值.”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是（ ）.
A． B． C． D．
10．如图，在中，，，分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，垂足为点O．下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．不等式组，的解集是_______．
12．空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是______．
13．已知是关于的一元一次方程，则的值为_____．
14．如图，若，，则的长度是________．
15．一次中学生宪法知识竞赛中共有20道题，每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．若小丽答了所有的题，要想获得优胜奖（75分及以上），则她至少要答对 _____道题．
16．如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍．如果搭建正三角形和正六边形共用了2018根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形的个数多7个，那么能连续搭建正三角形的个数是_____．
三、解答题
17．解下列方程：
(1)；
(2)．
18．解方程组：．
19．若一个正多边形的内角和比外角和多．
(1)求这个多边形的边数；
(2)求这个多边形每个角的度数．
20．阅读感悟：
代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知实数x、y满足，证明：．
证明：因为且x，y均为正，
所以______，______．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
所以．（不等式的传递性）
解决问题：
(1)请将上面的证明过程填写完整．
(2)尝试证明：若，则．
21．某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客乘坐出租车千米．
(1)请用关于的代数式表示当时该乘客的付费．
(2)如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？
(3)如果该乘客付费26.2元，他乘坐了多少千米？
22．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
(1)在图1中，图①经过一次　　变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点　　（填“A”或“B”或“C”）；
(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
23．某学校开展数学实验活动，需要购买A、B两种实验器材．已知购进5套A种实验器材和10套B种实验器材共需1750元；购进10套A种实验器材和15套B种实验器材共需3000元．
(1)求购进一套A种实验器材和一套B种实验器材各需多少元？
(2)若学校购买A种实验器材不少于20套，购买A、B两种实验器材共45套所花费用不超过5600元，则有哪几种购买方案？
(3)在（2）的条件下，哪种购买方案需要的总费用最少？最少费用是多少元？
24．【探究】
如图1，在中，的平分线与的平分线相交于点P．
（1）若，求的度数；
（2）与的数量关系为______，并说明理由；
【应用】
（3）如图2，在中，的平分线与的平分线相交于点P．的外角平分线与的外角平分线相交于点Q．直接写出与的数量关系为______．
参考答案
1．B
解：A、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；
B、是一元一次不等式，符合题意；
C、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不符合题意；
D、没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意，
故选：B．
2．D
【详解】A．正九边形每个内角为140°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
B．正五边形每个内角为108°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
C．正八边形每个内角为135°，不能整除360°，所以不能铺满地面；
D．正六边形每个内角为120°，能整除360°，所以能铺满地面；
故选：D．
3．D
解：选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
选项是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
故选：
4．B
【详解】图中数轴表示的解集是x<2．
A选项，解不等式得x>-2，故该选项不符合题意，
B选项，解不等式得x<2，故该选项符合题意，
C选项，解不等式得 ，故该选项不符合题意，
D选项，解不等式得x>2，故该选项不符合题意，
故选：B．
5．B
解：将①式代入②式得，
，
故选B．
6．D
解：小明：∵，
∴，故小明变形错误；
佳佳：∵，
∴，故佳佳变形错误；
小红：∵，
∴，故小红变形错误；
丽丽：∵，
∴，故丽丽变形正确．
7．A
解：和都是二元一次方程的解，
将两组解分别代入方程，得：.
解得.
8．D
解：根据题意得，
∵
∴
∴
∴段的长可能为．
故选：D．
9．A
解：是关于的一元一次方程的解.
把代入方程得.
.
10．C
解：∵，
∴，
∵，
∴，故A正确；

∵、分别是高和角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；故B正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
由A得：，
∴，故C错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故D正确．
故选：C．
11．/
解：，
解①得：，
解②得：，
所以不等式的解集为：；
故答案为：
12．三角形的稳定性
解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形的稳定性，
故答案为：三角形的稳定性．
13．
解：∵是关于的一元一次方程，
∴且，
∴．
故答案为：．
14．
解：，，
．
故答案为：．
15．17
解：设小丽至少答对道题，则
解得：
为正整数，
所以的最小值为17，
答：小丽至少答对道题.
故答案为：17
16．293
【详解】设搭建了x个正三角形，y个正六边形，则搭建正三角形用掉了（2x+1）根火柴棍，搭建正六边形用掉了（5y+1）根火柴棍，
依题意，得：，
解得：．
故答案为293．
17．(1)
(2)
（1）解：，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
18．
解：
法一：由①得③
将③代入②得
解得
将代入③得，
则方程组的解为．
法二：，
①×2得③
③+②得：，
解得：，
将代入①得：，
解得：，
则方程组的解为．
19．(1)
(2)
（1）解：设这个多边形的边数为n．
根据题意得：，解得：．
答：这个多边形的边数为8．
（2）解：这个多边形每个角的度数为：，
答：这个多边形每个角的度数为．
20．(1)
证明：因为且，均为正，
所以，．（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变），
所以（不等式的传递性），
(2)
证明：，
，
．
21．(1)元
(2)乘客坐了8千米，应付费19元
(3)他乘坐了12千米
（1）解：当行程超过3千米即时，收费为：元．
（2）解：当时，（元）．
答：乘客坐了8千米，应付费19元．
（3）解：设他乘坐了千米，
由题意得：，解得．
答：他乘坐了12千米．
22．(1)平移
(2)A
(3)见解析
【详解】（1）图①经过一次平移变换可以得到图②，
故答案为：平移；
（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A，
故答案为：A；
（3）如图．
23．(1)购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元
(2)方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
(3)购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元
（1）解：设购进一套A种实验器材需要元，一套B种实验器材需要元，
依题意可得：，解得：，
答：购进一套A种实验器材需要150元，一套B种实验器材需要100元；
（2）设购买A种实验器材套，则购买B种实验器材套，
依题意可得：，解得，
∵为整数，
∴的值为20，21，22，
则有以下三种购买方案，
方案一：购买A种实验器材20套，购买B种实验器材25套，
方案二：购买A种实验器材21套，购买B种实验器材24套，
方案三：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套；
（3）由（2）可知：
方案一所需费用：元，
方案二所需费用：元，
方案三所需费用：元，
即：购买A种实验器材22套，购买B种实验器材23套费用最少，此时费用为5000元．
24．（1）（2），理由见解析；（3）
解：[探究]
（1）∵，
∴；
∵的平分线与的平分线相交于点P，
．
．
∴；
（2）．
理由如下：
∵分别平分，
．
∵，
．
．
；
故答案为：；
[应用]
（3）解：．理由如下：
的外角平分线与的外角平分线相交于点，
，
，
中，，
又，
；
故答案为：．

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