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高二数学暑假作业精讲精练（新人教 A版 2019）
专题 01集合及其运算
基础知识复习
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【知识拓展】
1．若有限集合 A中有 n个元素，则集合 A的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B.
3．A∩( UA)＝ ；A∪( UA)＝U； U( UA)＝A.
典型习题强化
1．已知集合 = 0 < < 4 ， = 2 5 + 6 = 0 ，则 R ∩ =（ ）
A． B． 1 C． 2 D． 2,3
.
2．已知全集 U = > 0 ，集合 = ( 2) < 0 ，则 =（ ）
A． > 2或 < 0 B． ≥ 2或 ≤ 0
C． > 2 D． ≥ 2
3．已知全集为 R，集合 = = log2 + 1 ， =
1 ≥ 1 ，则 ∩ R =（ ）
A． > 1 B． 0 < ≤ 1
C． 1 < ≤ 0或 > 1 D． 1 < < 0或 > 1
4．已知全集 = 0,1,2,3,4,5,6 ，集合 = 0,2,4,5 ，集合 = 2,3,4,6 ，用如图所示的阴影部分表示的集合
为（ ）
A．{2，4} B．{0，3，5，6}
C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}
5．已知集合 = 1 ≤ ≤ 3 ， = ∈ 2 6 + 5 < 0 ，则 =（ ）
A． B．{1,2,3} C．(1,3] D．{2,3}
6．已知集合 = , = 2 ， = , = 2 1 ，则集合 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．已知集合 = { ∈ Z| 2 ≤ < 4}, = |log2 + 1 < 2 ，则 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知集合 = , 2 = 1 ，集合 = , + 2 = 0 ， = ，则 的取值范围是（ ）
1
A． = 1 B． ∈ R且 ≠ 1
C． ∈ R且 ≠ 1 D． ∈ R且 ≠ 1且 ≠ 1

9．设集合 = = 2, > 0 ， = = 1 , > 0 ，则 ∪ =（ ）
2
A．(0,1) B．(0, + ∞) C．(1, + ∞) D．
10．已知集合 = { 3, 2, 1,0,1}, = ∈ ∣ +3 < 0 ，则 =（ ）
1
A．(-3，1) B．[-3，1] C．{-3，-2，-1，0，1}D．{-2，-1，0}
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． ∩ ∪ B． ∩ ∪
C． ∩ D． ∩ ∪ ∩
12．下面说法中，正确的为（ ）
A． + = 1 = + = 1 B． , + = 2 = + = 2
C． > 2 = > 2 D． 1,2 = 2,1
13．已知集合 A，B 均为 R 的子集，若 = ，则（ ）
A． B．
C． = D．( ) ∪ ( ) =
14．已知集合 = ≥ 2, ∈ R ， = = 2 , ∈ R ，则 =_______.
15 +1．集合 = ≤ 0, ∈ R , = 2 1 < 1, ∈ R ，则 ∩ R =_________． 2
16．集合 1,3 = 15满足 , ∈ , ∈ ，则集合 的个数有________个.

17．设全集为 ， = { | 2 + 2 15 = 0}， = { | 1 = 0}.
(1) 1若 = ，求 ∩ ( )；
5
(2)若 ，求实数 的取值组成的集合 .
18．已知集合 = 2 < 2 < 8 ，集合 = 2 < < 5 ．
(1)求 ；
(2)设集合 = |2 < < + 2 ，若 ，求实数 的取值范围．
19．（1）已知全集 = | 5 ≤ ≤ 10, ∈ Z ，集合 ={ |0 ≤ ≤ 7, ∈ Z}， ={ | 2 ≤ < 4, ∈ Z}，
求( ) （分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集 = ∪ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，若集合 = 2,4,6,8 ，求集合 ；
（3）已知集合 = { | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R, ∈ R}，当集合 只有一个元素时，求实数 的值，并求出这
个元素.
20．设集合 为非空数集，定义 + = { | = + ， 、 ∈ }， = { | = | |， 、 ∈ }．
(1)若 = { 1，1}，写出集合 +、 ；
(2)若 = { 1， 2， 2， 4}， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，求证： 1 + 4 = 2 + 3；
(3)若 { |0 2021， ∈ }且 + = ，求集合 元素个数的最大值．高二数学暑假作业精讲精练（新人教 A版 2019）
专题 01集合及其运算
基础知识复习
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或 N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
【知识拓展】
1．若有限集合 A中有 n个元素，则集合 A的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1.
2．A B A∩B＝A A∪B＝B.
3．A∩( UA)＝ ；A∪( UA)＝U； U( UA)＝A.
典型习题强化
1．已知集合 = 0 < < 4 ， = 2 5 + 6 = 0 ，则 R ∩ =（ ）
A． B． 1 C． 2 D． 2,3
.
【答案】A
【解析】
由 2 5 + 6 = 0解得 = 2或 = 3，即 = 2,3 .
又 = | ≤ 0或 ≥ 4 ，所以 = ．
故选：A
2．已知全集 U = > 0 ，集合 = ( 2) < 0 ，则 =（ ）
A． > 2或 < 0 B． ≥ 2或 ≤ 0
C． > 2 D． ≥ 2
【答案】D
【解析】
因为 = { | ( 2) < 0} = { |0 < < 2}，
又全集 U = > 0 ，
所以 U = ≥ 2 .
故选：D.
3 1．已知全集为 R，集合 = = log2 + 1 ， = ≥ 1 ，则 ∩ R =（ ）
A． > 1 B． 0 < ≤ 1
C． 1 < ≤ 0或 > 1 D． 1 < < 0或 > 1
【答案】C
【解析】
由 + 1 > 0，得 > 1，所以 = > 1 ，
1 ≥ 1 1 ≥ 0 (1 ) ≥ 0由 ，得 ，则 ，得 0 < ≤ 1，
≠ 0
所以 = 0 < ≤ 1 ，所以 R = ≤ 0或 > 1 ，
所以 ∩ R = 1 < ≤ 0或 > 1 ，
故选：C
4．已知全集 = 0,1,2,3,4,5,6 ，集合 = 0,2,4,5 ，集合 = 2,3,4,6 ，用如图所示的阴影部分表示的集合
为（ ）
A．{2，4} B．{0，3，5，6}
C．{0，2，3，4，5，6} D．{1，2，4}
【答案】B
【解析】
∩ = {2,4}， ∪ = 0,2,3,4,5,6 ，阴影部分为 0,3,5,6 .
故选：B．
5．已知集合 = 1 ≤ ≤ 3 ， = ∈ 2 6 + 5 < 0 ，则 =（ ）
A． B．{1,2,3} C．(1,3] D．{2,3}
【答案】D
【解析】
由题， = ∈ 1 5 < 0 = 2,3,4 ，故 ∩ = 2,3
故选：D
6．已知集合 = , = 2 ， = , = 2 1 ，则集合 的子集个数为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】
由题意得 = 2 1 = 2 1, ≥ 0 2 1, < 0，
当 ≥ 0 = 2 1 2 = 1 = 1时， 联立 = ，解得 = 1 ；当 < 0时， = 2 1 联立 =
2，解得 = 1 ；
故抛物线 = 2与曲线 = 2| | 1有两个公共点，分别为( 1， 1)，(1， 1)，
则集合 有两个元素，所以 的子集个数为22 = 4，
故选:B．
7．已知集合 = { ∈ Z| 2 ≤ < 4}, = |log2 + 1 < 2 ，则 的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
由题设 = { 2, 1,0,1,2,3}, = { | 1 < < 3}，
所以 ∩ = {0,1,2}，共有 3个元素.
故选：A
8．已知集合 = , 2 = 1 ，集合 = , + 2 = 0 ， = ，则 的取值范围是（ ）
1
A． = 1 B． ∈ R且 ≠ 1
C． ∈ R且 ≠ 1 D． ∈ R且 ≠ 1且 ≠ 1
【答案】C
【解析】
集合 表示直线 2 = 1上去掉点 1,2 所构成的两条射线，
在方程 1 + 2 = 0 1 = 0 = 1中，令 2 = 0可得 = 2，
集合 表示过定点 1,2 且斜率存在的直线，
由 = 得两直线斜率不同，则 ≠ 1，解得 ≠ 1．
故选：C.
9．设集合 = = 2

, > 0 1， = = , > 0 ，则 ∪ =（ ）
2
A．(0,1) B．(0, + ∞) C．(1, + ∞) D．
【答案】B
【解析】
2 1 由 > 0，得 2 > 0，所以 = = , > 0 = > 0 ， = = , > 0 = 0 < < 1 ，所
2
以 ∪ = (0, + ∞).
故选：B
10．已知集合 = { 3, 2, 1,0,1}, = ∈ ∣ +3 < 0 ，则 =（ ）
1
A．(-3，1) B．[-3，1] C．{-3，-2，-1，0，1}D．{-2，-1，0}
【答案】D
【解析】
+3
由不等式 < 0，解得 3 < < 1，所以集合 = 2, 1,0 ，
1
又由 = { 3, 2, 1,0,1}，所以 = { 2, 1,0}.
故选：D.
11．图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． ∩ ∪ B． ∩ ∪
C． ∩ D． ∩ ∪ ∩
【答案】AD
【解析】
在阴影部分区域内任取一个元素 ，则 ∈ 或 ∈ ，
故阴影部分所表示的集合为 ∩ ∪ 或 ∩ ∪ ∩ .
故选：AD.
12．下面说法中，正确的为（ ）
A． + = 1 = + = 1 B． , + = 2 = + = 2
C． > 2 = > 2 D． 1,2 = 2,1
【答案】ACD
【解析】
解：方程 + = 1中 x 的取值范围为 R，所以 + = 1 = R，同理 + = 1 = R，所以 A正确；
, + = 2 表示直线 + = 2上点的集合，而 + = 2 = R，所以 , + = 2 ≠ + =
2 ，所以 B错误；
集合 > 2 ， > 2 都表示大于 2的实数构成的集合，所以 C正确；
由于集合的元素具有无序性，所以 1,2 = 2,1 ，所以 D正确．
故选：ACD．
13．已知集合 A，B 均为 R 的子集，若 = ，则（ ）
A． B．
C． = D．( ) ∪ ( ) =
【答案】AD
【解析】
如图所示
根据图像可得 ,故 A正确；由于 ，故 B错误； ,故 C错误
∪ = ∩ =
故选：AD
14．已知集合 = ≥ 2, ∈ R ， = = 2 , ∈ R ，则 =_______.
【答案】 0, + ∞ .
【解析】
∵ 2 ≥ 0，∴ = 0, + ∞ ；∵ 2 > 0，∴ = 0, + ∞ ；∴ = 0, + ∞ .
故答案为： 0, + ∞ .
15 +1．集合 = ≤ 0, ∈ R , = 2 1 < 1, ∈ R ，则 ∩ R =_________． 2
【答案】 1,2
【解析】
由题意， = [ 1,2), = |2 1 < 20 = ∞,1 , R = [1, + ∞), ∴ ∩ R = [1,2).
故答案为：[1,2).
16．集合 15满足 1,3 = , ∈ , ∈ ，则集合 的个数有________个.

【答案】3
【解析】
因为 1,3 = 15 , ∈ , ∈ ，即 1,3 1,3,5,15 ，所以 = 1,3,5 ， = 1,3,15 ， =

1,3,5,15 ，即集合 的个数有 3个.
故答案为：3.
17．设全集为 ， = { | 2 + 2 15 = 0}， = { | 1 = 0}.
(1)若 = 1，求 ∩ ( )；5
(2)若 ，求实数 的取值组成的集合 .
【答案】(1) 5,3
(2) 1 , 1 , 0
5 3
【解析】
(1)解： = { | 2 + 2 15 = 0} = 5,3 ，
当 = 1，则 = { | 1 = 0} = 5 ，
5
则 ∩ ( ) = 5,3 ；
(2)解：当 = 时， = 0，此时满足 ，
当 ≠ 时， = { 1 }，此时若满足 ，

1 = 5 1 = 3 = 1 1则 或 ，解得 或 ，
5 3
1 1
综上 = , , 0 .
5 3
18．已知集合 = 2 < 2 < 8 ，集合 = 2 < < 5 ．
(1)求 ；
(2)设集合 = |2 < < + 2 ，若 ，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ∪ = { |1 < < 5}；
(2)[ 1 , + ∞).
2
【解析】
(1)由 2 < 2 < 8，得 1 < < 3，所以 ∪ = { |1 < < 5}；
(2)当 = 时：2 ≥ + 2，即 ≥ 2，
2 < + 2
当 ≠ 1时： 2 ≥ 1 ，解得 ≤ < 2，
2
+ 2 ≤ 5
1
综上所述， 的取值范围为[ , + ∞).
2
19．（1）已知全集 = | 5 ≤ ≤ 10, ∈ Z ，集合 ={ |0 ≤ ≤ 7, ∈ Z}， ={ | 2 ≤ < 4, ∈ Z}，
求( ) （分别用描述法和列举法表示结果）；
（2）已知全集 = ∪ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ，若集合 = 2,4,6,8 ，求集合 ；
（3）已知集合 = { | 2 + 2 + 1 = 0, ∈ R, ∈ R}，当集合 只有一个元素时，求实数 的值，并求出这
个元素.
【答案】（1） |4 ≤ ≤ 7, ∈ Z ， 4,5,6,7 ；（2） 0,1,3,5,7,9,10 ；（3） = 1，元素为 1.
【解析】
（1）由 = | 5 ≤ ≤ 10, ∈ Z ， ={ | 2 ≤ < 4, ∈ Z}，
得： = { | 5 ≤ < 2或 4 ≤ ≤ 10, ∈ Z}，而 = { |0 ≤ ≤ 7, ∈ Z}，
所以( ) = |4 ≤ ≤ 7, ∈ Z = 4,5,6,7 .
（2）由 = ∪ = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ， = 2,4,6,8 ，得 = {2,4,6,8}，
所以 = ( ) = 0,1,3,5,7,9,10 .
（3）当 = 0时， = ，不符合题意，
当 ≠ 0时，因集合 P 只有一个元素，则方程 2 + 2 + 1 = 0有等根，Δ = 4 2 4 = 0，
此时 = 1，集合 中的元素为 1，
所以 = 1，这个元素是 1.
20．设集合 为非空数集，定义 + = { | = + ， 、 ∈ }， = { | = | |， 、 ∈ }．
(1)若 = { 1，1}，写出集合 +、 ；
(2)若 = { 1， 2， 2， 4}， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，求证： 1 + 4 = 2 + 3；
(3)若 { |0 2021， ∈ }且 + = ，求集合 元素个数的最大值．
【答案】(1) + = 2,0,2 ， = 0,2 ；
(2)证明见解析；
(3)1348.
【解析】
(1)由题意知， = { 1，1}，
得 + = { 2，0，2}， = {0，2}；
(2)由于集合 = { 1， 2， 3， 4}， 1 < 2 < 3 < 4，且 = ，
所以集合 中有且仅有 4个元素，即 = {0， 2 1， 3 1， 4 1}
剩下的元素满足 2 1 = 3 2 = 4 3，即 1 + 4 = 2 + 3；
(3)设 = { 1， 2， ， }满足题意，其中 1 < 2 < < ，
则 2 1 < 1 + 2 < 1 + 3 < < 1 + < 2 + < 3 + < < 1 + < 2 ，
所以 + ≥ 2 1， 1 1 < 2 1 < 3 1 < < 1，所以 ≥ ，
因为 + = ，由容斥原理， + = + + ≥ 3 1，
+ 最小的元素为 0，最大的元素为 2 ，所以 + ≤ 2 + 1，
所以 3 1 ≤ 2 + 1 ≤ 4043( ∈ )，解得 ≤ 1348，
实际上当 = {674，675， ，2021}时满足题意，证明如下：
设 = { ， + 1， + 2， ，2021}( ∈ )，
则 + = {2 ，2 + 1，2 + 2， ，4042}， = {0，1，2， ，2021 }，
依题意，有 2021 < 2 ，即 > 673 2，所以 m 的最小值为 674，
3
于是当 = 674时，集合 A 中的元素最多，即 = {674，675， ，2021}时满足题意.
综上所述，集合 A 中元素的个数的最大值为 1348.

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