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湖南省长沙市岳麓区湖南师范大学附属中学2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题
一、单选题
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线
C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边
3．若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．某中学为了了解九年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了他们仰卧起坐的次数，制成的频数分布直方图如图所示，已知该校九年级共有600名学生，请据此估计，该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（ ）
A．80 B．100 C．200 D．220
5．如图，在中，已知点D，E，F分别为边，，的中点，，则阴影部分的面积为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．不等式组的解集在数轴上用阴影表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．学校组织社团活动，小萱需要从教室前往社团活动室，两地路程是500米，她从教室出发，先以60米／分钟的速度步行了分钟，后来怕迟到，她以100米／分钟的速度小跑过去，结果在之前到达了活动室．根据题意列出的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
9．若关于x的不等式的解集为，则化简的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
10．如图1，在物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线（法线镜面）都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角（），这就是光的反射定律．如图2，镜子与镜子的夹角，经过两次反射后，入射光线与反射光线平行但方向相反，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．在中，若，则________．
12．等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边长为________．
13．已知，用含x的代数式表示y，得y=______．
14．如图，已知，，以D为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，再以点N为圆心，长为半径画弧，两弧交于点E．则___________度．

15．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝6，BC＝4，DE＝2，则△ABC的面积为______．
16．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1），图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，，．若，则______．
三、解答题
17．解方程组：．
18．解不等式组：
19．解如图，在单位长度为1的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点．根据下列条件，利用网格点和三角尺画图：
(1)补全；
(2)画出边上的中线；
(3)直接写出的面积 ．
20．某校文体艺术节期间，举办“爱我家乡，唱我家乡”文艺晚会．每个班推荐一个节目参加晚会表演，参加晚会表演的节目均获奖，奖项分为一等奖、二等奖、三等奖和优秀奖，嘉淇根据获奖情况绘制了如下两幅尚不完整的统计图．
(1)求参加本次晚会所有班级的数量；
(2)求获得二等奖的班数占参赛总班数的百分比；
(3)计算优秀奖的班级数；
(4)将折线统计图补充完整．
21．如图，点在线段上，点在线段上，，．
(1)请判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若平分，，，求的度数．
22．如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ．
(1)证明：．
(2)若，，求 的长．
23．2026年3月，师大附中数学组策划了首届校园数学节活动，同学们踊跃参加．为了奖励表现优秀的同学，某班学习委员为班级购买奖品后与生活委员的对话如下：
(1)请用二元一次方程组的知识帮助学习委员计算一下，为什么说学习委员搞错了；
(2)学习委员连忙拿出发票，发现的确错了，因为他还买了一个练习本，但练习本的单价已记不清，只能记得单价不足5元，设其中6元水笔的个数为m支．
①用含m的代数式表示练习本的单价为 元．
②求练习本的单价是多少元？
24．定义：若方程（组）的解能使不等式（组）也成立，则称此方程（组）的解为不等式（组）的“理想解”．例如：已知方程与不等式，当时，，同时成立，则称方程的解“”是不等式的“理想解”．
(1)请判断方程的解是以下哪些不等式（组）的“理想解”______（直接填写序号）
①，②，③；
(2)若关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，求a的取值范围；
(3)若关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，且和均为正整数，当仅有唯一一个确定的整数解时，相应的整数的值为，求代数式的值．
25．已知，在平面直角坐标系中有一个直角，两直角边为，且，．
(1)如图①，在平面直角坐标系中，点和点的坐标满足．
请直接写出A、B、C三个点的坐标：A （ ， ）B （ ， ） C （ ， ） ；
(2)如图②，在平面直角坐标系中，点，与y轴交于点M，与x轴交于点N，求；
(3)如图③，在平面直角坐标系中，点C与原点O重合，且，动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标．
参考答案
1．B
解：A.不是整式，该方程不是整式方程，不符合二元一次方程定义，故A错误；
B.方程整理得，含有两个未知数，含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故B正确；
C.项的次数为2，不符合条件，故C错误；
D.方程只含有一个未知数，属于一元一次方程，不符合定义，故D错误.
2．C
解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据．
B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据．
C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形．
D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据．
3．C
解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变，
∴ ，A不成立，不符合题意；
B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，
∴ ，B不成立，不符合题意；
C选项：∵ ，∴ ，
∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，
∴ ，一定成立，符合题意；
D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立，
例如当，时， ， ，
此时 ，不等式不成立，不符合题意．
4．B
解：估计该校九年级学生仰卧起坐次数在之间的人数大约是（人）．
故选：B．
5．A
解：点是的中点，
，
、、分别是、的中点，
，，
∴，
，且，
，
即阴影部分的面积为．
6．A
解：∵是的边上的高
∴
∵
∴若添加条件，
∴，故A符合题意；
若添加条件，无法证明，故B不符合题意；
若添加条件，无法证明，故C不符合题意；
若添加条件，无法证明，故D不符合题意．
7．C
解：
由①得，
由②得，
故该不等式组的解集为，
在数轴上表示该不等式组的解集为：
故选：C．
8．A
解：∵步行距离为米，
∴剩余距离为米，即小跑时间为分钟，
∴总时间为分钟，
又∵在之前到达，即总时间小于8分钟，
∴根据题意列出的不等式为．
故选：A．
9．B
解：原不等式为，解集为，
，即，
，
，
故选：B．
10．B
解：分别过点E、G作，，垂线相交于点D，如图所示：
∵入射角等于反射角，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故选：B．
11．
解：由题意设，则，
根据三角形内角和定理，得
解得
因此，
则．
12．7
解：当3为腰长时，第三边长为3，，不能构成三角形，不符合题意；
当7为腰长时，第三边长为7，，能构成三角形，符合题意；
故第三边长为7；
故答案为：7．
13．
解：∵，
∴，
∴．
14．60
解：∵，，
∴，
由题意得：，
∴，
故答案为：60
15．10
【详解】作，
∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，，
∴，
∴；
故答案为：10．
16．
解：图2弦图是由八个全等的直角三角形拼接而成，令其中一个直角三角形的面积为，则
，
，
由①-②得．
17．
解：
得：，解得：，
将代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
18．．
解：，
解不等式①，得：
解不等式②，得：
∴不等式组的解集是：．
19．(1)观察图形可知，点向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度得到点，根据平移规则将平移后得到，如图，
(2)取的中点，连接，如图，
(3)
【详解】（1）略
（2）略
（3）如图，
的面积长方形的面积的面积的面积，
∵长方形的长，宽，
∴长方形的面积，
∵为直角三角形，底，高，
∴的面积，
∵为直角三角形，底，高，
∴的面积，
∴的面积．
20．(1)
(2)
(3)
(4)如图，折线统计图补充完整，
（1）解：根据折线统计图可知，获得一等奖的班数是个，根据扇形统计图可知获得一等奖占比是
∴参加晚会所有班级数量为个．
（2）解：根据折线统计图可知，获得二等奖的班数是个，由（1）可知共有个班级参加活动
∴获得二等奖的班数占比为．
（3）解：根据扇形统计图可知获得优秀奖的班级数占比为，共有个班级参加活动
∴获得优秀奖的班级数为个．
（4）略
21．(1)，见解析
(2)
【详解】（1）证明：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
22．(1)证明：∵是 的中线，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
(2)
【详解】（1）略
（2）解：由（1），
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
23．(1)解：设元水笔数量是支，元的水笔数量是支，
根据题意列出方程组
整理得
由得，
解得
将代入中得，
解得
∴方程组解为
∵和表示水笔的数量，是整数，计算结果是小数，不符合实际情况
∴学习委员搞错了．
(2)元，元．
【详解】（1）略
（2）解：根据题意可知元水笔的个数为m支，元的水笔个数支，设练习本单价为
∴
根据题意列方程
整理得
答：练习本单价为元．
由知，
∴，
解不等式得，解不等式得，
∴
∵是整数
∴
∴元
答：练习本的单价是元．
24．(1)①③
(2)为任意实数
(3)
【详解】（1）解：，
解得：，
①，
解得：，
∴当时，成立，
∴方程的解“”是不等式的“理想解”；
②，
解得：，
∴当时，不成立，
∴方程的解“”不是不等式的“理想解”；
③，
解得：，
∴当时，成立，
∴方程的解“”是不等式组的“理想解”，
综上所述，方程的解是①③的“理想解”；
（2）解：由方程组中的第二个方程可得：或
∵，
当时，；当时，，
∴无论取任何实数，和的值不能同时满足，
即关于的方程组的解不是不等式的“理想解”，
∴的取值范围是：为任意实数；
（3）解：解方程组，得：，
解不等式组，得：，
∵关于的方程组的解都是关于的不等式组的“理想解”，
∴，
∴，
∵，
又∵，
当时，，
此时不等式组即为，解得：，
∵为正整数，
∴满足的正整数仅有唯一一个，此时；
当时，，
此时不等式组的解集为，
∵为正整数，
∴，
此时满足的正整数不是唯一一个整数；
综上所述，，，
∴．
25．(1)，；，；0，5
(2)8
(3)
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图所示，过点B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点C作轴于点F，轴于点E，
∴；
∵轴，轴，
∴轴，轴，
∴，即，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点M作轴于点T，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．

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