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2025-2026学年广东省深圳市南山区麒麟中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若a＜b，则下列结论中正确的是（　　）
A. -3a＜-3b B. a+3＞b+3 C. a-3＜b-3 D. 3a＞3b
2.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A. a（x+y）=ax+ay B. x2-9=（x+9）（x-9）
C. x2-4xy+4y2=（x-2y）2 D. 2a2-4a=2（a2-2a）
3.若分式的值为零，则x等于（　　）
A. 0 B. 2 C. ±2 D. -2
4.如图，函数y1=-2x与y2=kx+3（k≠0）的图象相交于点A（m,2），则关于x的不等式-2x＞kx+3的解集为（　　）
A. x＞2
B. x＜2
C. x＞-1
D. x＜-1
5.某快递公司为提高配送效率，引进甲乙两种型号的分拣机器人，已知甲型号每小时分拣数量比乙型号每小时分拣数量多30件，且甲型号分拣600件与乙型号分拣500件所用时间相同.若设甲型号每小时分拣数量为x件，则可列方程（　　）
A. B. C. D.
6.下列命题是假命题的有（　　）
①若a2=b2，则a=b；
②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；
③用反证法证明命题“在△ABC中，AB=AC，求证：∠B＜90°”时，应先假设∠B＞90°；
④角平分线上的点到角两边的距离相等；
⑤等腰三角形的高线、中线及角平分线重合.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7.如果关于x的分式方程无解，那么实数m的值为（　　）
A. -1 B. 1或0 C. 1 D. 1或-1
8.定义一种新运算：当a＞b时，a*b=ab+b；当a＜b时，a*b=ab-b.若3*（x+2）＞0，则x的取值范围是（　　）
A. -1＜x＜1或x＜-2 B. x＜-2或1＜x＜2
C. -2＜x＜1或x＞1 D. x＜-2或x＞2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.分解因式：2x3-8x= ．
10.已知在一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是 边形.
11.如图，点A，D分别在BE，CE的垂直平分线上，A，E，D三点在同一条直线上，如果AD=5cm,BC=7cm,那么四边形ABCD的周长为 cm.
12.若，则的值为 .
13.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF=4，，则AC= .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
14.解方程：
（1）；
（2）.
四、解答题：本题共6小题，共51分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题6分)
解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
16.(本小题7分)
先化简，再从0，1，2中选择一个合适的数代入并求值.
17.(本小题8分)
如图，在△ABC中，DE垂直平分线段BC
(1) 求作：∠BAC的角平分线AF交DE于点F；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
(2) 在（1）的条件下，分别连接BF，CF，若∠ABF=65°，求∠ACF的度数
18.(本小题9分)
2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”.某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售.
（1）若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资2.5万元.求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？
（2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8a万元.则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值.
19.(本小题9分)
定义：若将多项式A和B分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式A和B为共因多项式，其中该相同因式为同因子.
例如：对于多项式A=xy+y,B=x2-1，将两个多项式因式分解，A=xy+y=y（x+1），B=x2-1=（x+1）（x-1），从因式分解的结果可知都含有因式x+1，所以多项式A和B为共因多项式，其中因式x+1为同因子.
（1）共因多项式9x2-12x+4和9x2-4的同因子是______；
（2）请写出多项式x2-7x+12的一个共因多项式（x2-7x+12除外），要求为二次三项式，并说明理由；
（3）现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙.
①选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼成如图2所示的图形，根据此图，写出一个多项式的因式分解；
②选取甲、乙，丙三种卡片，通过拼图得到①中多项式的一个共因多项式（①中多项式除外），要求为正方形，请画出拼图，并写出此共因多项式的因式分解.
20.(本小题12分)
【问题提出】
(1) 如图1，四边形ABCD中，E在CD边上，AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，连结BE交AC于点．
①求证△DAC≌△EAB；
②若∠BPC=75°，则∠BCD=______；
【问题探究】
(2) 如图2，已知等边三角形ABC，AB=8，P是其外一点，且∠APB=120°，PC=9，求四边形APBC的周长；
【问题解决】
(3) 深圳市园林绿化部门为了提升城市形象，绿化美化环境，拟在某空地上新建一个“口袋公园”，设计师设计形状大致为四边形ABCD，如图3所示．其中AB∥CD，∠C=90°，BC=CD，AD段临街道有足够长度，E是小道AB上某小区的入口（点E不在点B处），且AE=100米，设计人员准备将公园分成△ADE，△BDE与△BCD三大部分，F是△ADE内一标志点，此处将栽植一棵风景大树，设计∠AEF=∠DAF=45°，AF⊥DF，△ADE内部种植三种不同类的草坪，平均每平方米约6元，留出适当大小的△BDE区域作为休闲健身区，其内安装健身器材需36000元，△BCD内部种植月季等花卉，平均每平方米约需8元，请你预算满足上述条件的建设费用大致需多少元？（不考虑其他花费）
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】2x（x+2）（x-2）
10.【答案】六
11.【答案】17
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】解：（1），
3（x-1）=x,
3x-3=x,
解得：，
经检验：是分式方程的解，
∴分式方程的解为；
（2），
1+3（x-2）=x-1，
1+3x-6=x-1，
解得：x=2，
经检验：x=2是分式方程的增根，
∴分式方程无解．

15.【答案】-2≤x＜1，在数轴上表示解集如下：
在数轴上表示解集如下：
．
16.【答案】，2．
17.【答案】【小题1】作图如下：
【小题2】115°

18.【答案】解：（1）设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为x、y万元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲型机器人每台的进价为0.5万元，乙型机器人每台的进价为0.3万元．
（2）若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8a万元．
根据题意得：，
解得：a=0.25，
检验：当a=0.25时，（0.5-a）（0.3-0.8a）≠0，
∴a=0.25是原分式方程的解且符合题意．
答：a的值为0.25．
19.【答案】（3x-2）
x2-5x+4，理由如下：
x2-7x+12=x2-6x-x+9+3=x2-6x+9-x+3=（x-3）（x-4），
x2-5x+4=x2-x-4x+4=（x-1）（x-4），
则x2-7x+12和x2-5x+4的同因子是x-4，
故x2-5x+4是x2-7x+12的共因多项式
①a2+3a+2=（a+2）（a+1）；②如图为所求拼图：
a2+4a+4=（a+2）2
20.【答案】【小题1】①∵AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=40°，
∴∠ADE=∠AED=∠ABC=∠ACB=70°，
∵∠BPC=75°，
∴△BPC中，∠CBP=180°-∠ACB-∠BPC=35°，
又∠ABC=70°，
∴∠ABE=∠ABC-∠CBP=35°，
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAE+∠EAC=∠BAC+∠EAC，
即∠DAC=∠EAB，
∵在△DAC和△EAB中，
，
∴△DAC≌△EAB（SAS）；②105°
【小题2】四边形APBC的周长为25
【小题3】满足条件的建设费用大概需106000元

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