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2025-2026学年湖南省衡阳市衡南县高二（下）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知集合A={-1，0，1，2，4}，B={0，1，3}，则如图所示的阴影部分表示的集合为（　　）
A. {-2，4} B. {0，1，2} C. {-1，2，4} D. {-1，0，1}
2.已知复数Z满足，则Z的实部为（　　）
A. B. 1 C. -1 D.
3.已知a∈R，则“a=1”是“数据a,2a,3a,4a,5a,6a的极差为5”的（　　）
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知，则sin2α等于（　　）
A. B. C. D.
5.在数列{an}中，a1=4，an+1=an+2，若an=24，则n=（　　）
A. 10 B. 11 C. 9 D. 8
6.已知函数f（x）=3sin（ωx+φ），（ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，A，B两点之间的距离为10，且f（3）=0，则f（-1）=（　　）
A. ±3 B. 3 C. -3 D. 0
7.已知实数a＞0，函数的值域为R，则a的取值范围为（　　）
A. （0，+∞） B. [2，+∞） C. （0，1] D. [1，2]
8.如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已知C1，C2互为共轭双曲线，且C1，C2的离心率分别为e1，e2，则的最大值是（　　）
A. 1 B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下列结论正确的是（　　）
A. 随机变量X服从二项分布，Y=2X-1，则
B. 在线性回归分析中，若R2值越小，则模型的拟合效果越好
C. 随机变量X服从正态分布N（6，σ2），且P（2＜x＜6）=a,则
D.
10.已知一个圆锥SO的底面半径为1，高为2，则下列对该圆锥的表述正确的是（　　）
A. 侧面积为
B. 过两条母线的截面面积的最大值为2
C. 圆锥的内切球半径为
D. 设AB是圆锥的底面圆直径，M是底面圆周上一点，若MA=MB，则SA与MB所成角的余弦值为
11.记Sn为数列{an}的前n项和，已知Sn=man-1，m为实数，则（　　）
A. 当m=0时，{an}是等比数列
B. 当m=-1时，则an+an+2＜2an+1
C. 当m=2时，数列{nan}的前n项和为（n-1） 2n+1
D. 当m=3时，数列{}第7项的值最大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复平面内，若复数z满足|z+2|=|2+iz|，则z在复平面内对应点z（x,y）满足的方程为 .
13.已知向量，满足||=2，||=4，＜，＞=，若=+λ，λ∈R，且，分别是在，上的投影向量，则|+|的最小值为 .
14.设A，B是半径为4的球O的表面上两定点，且|AB|=4，球O的表面上一动点P满足，则点P的轨迹长度为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展.将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示.
年份代码 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0
现规定xi表示年份代码i,yi表示年份代码为i的产量，经计算得，，.
（1）求样本（xi，yi）（i=1，2，…，5）的相关系数r；（精确到0.01）
（2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望.
附：相关系数，.
16.(本小题15分)
△ABC内角A，B，C的对边分别为a,b,c,满足.
（1）求证：a2+2b2=3c2；
（2）当角C取得最大值时，△ABC的面积为，求a.
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=ax+x+(a0).
(1) 讨论函数f(x)的单调性;
(2)设g(x)=-++(e=2.718为自然对数的底数),当a=-e时,对任意[1,4],存在[1,e],使g()f(),求实数m的取值范围.
18.(本小题17分)
已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，经过点F1且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中A点在x轴上方）如图1.将平面xOy沿x轴向上折叠，使A点折至A′点位置且y轴正半轴和x轴所确定的半平面（平面A′F1F2）与y轴负半轴和x轴所确定的半平面（平面BF1F2）互相垂直，如图2.
（1）当时，
（ⅰ）求证：A′O⊥BF2；
（ⅱ）求点F2到平面A′BF1的距离；
（2）是否存在，使得折叠后△A′BF2的周长与折叠前△ABF2的周长之比为？若存在，求tanθ的值；若不存在，请说明理由.
19.(本小题17分)
袋子里有编号1～n（n≥2）的n个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出m个，记取出m个小球的最大编号为Xm.
（1）当n=4，m=2时，求X2的分布列；
（2）当m=n-1时，求D（Xn-1）；
（3）求E（Xm）.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】ABD
11.【答案】BCD
12.【答案】x+y=0
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】0.92 随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P

16.【答案】由同角三角函数间的关系可得，
则，
所以bccosA+2accosB=3abcosC，
，
则a2+2b2=3c2
17.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，
①当a＞0时，由f'（x）＞0得x＞2a，即f（x）的单调递增区间是（2a，+∞）；
由f'（x）＜0得0＜x＜2a，即单调递减区间是（0，2a）．
②当a＜0时，由f'（x）＞0得x＞-6a，即f（x）的单调递增区间是（-6a，+∞））；
由f'（x）＜0得0＜x＜-6a，即单调递减区间是（0，-6a）．
（2）当时，由（1）知，函数f（x）在[1，e]上递减，
所以，
对任意x1∈[1，4]，存在x2∈[1，e]，使g（x1）≤f（x2），
即等价为恒成立即可，即2x2-mex≤0，
∴，
设，，
∴h（x）在[1，2]上单调递增，在[2，4]上单调递减，∴，
∴，
故实数m的取值范围是：{m|}．
18.【答案】（ⅰ）证明：由椭圆，得，
则F1（-1，0），F2（1，0），
当时，直线l的方程为，
联立，解得或，
所以，，
如下图，以O为坐标原点，折叠后原y轴负半轴，原x轴，原y轴正半轴所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则折叠后，，F1（0，-1，0），F2（0，1，0），O（0，0，0），
所以，
则=0×+0×+（-）×0=0，
即A′O⊥BF2；（ⅱ） 存在，
19.【答案】
X2 2 3 4
P

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