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2025-2026学年四川省眉山市仁寿县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若分式有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x＞1 B. x≠1且x≠-2 C. x＜1 D. x≠1
2.最新研究发现，宇宙中普遍存在的“太空冰”，其内部暗藏纳米级结晶，通过计算机模拟与实验验证，首次捕捉到这些神秘冰体内部存在约0.000000003m宽的微晶体.数据0.000000003用科学记数法表示为（　　）
A. 3×10-9 B. 3×10-8 C. 3×109 D. 3×10-10
3.某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加1分钟跳绳测试，每人10次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个2）如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 205 217 208 217
方差 4.6 4.6 6.9 9.6
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（　　）
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
4.若点A（2，m）在直线y=-3x+1上，则点A关于x轴的对称点A′的坐标为（　　）
A. （-2，5） B. （-2，-5） C. （2，5） D. （2，-5）
5.下列说法正确的是（　　）
A. 一组对边平行且另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C. 对角线互相垂直的四边形是菱形
D. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
6.一次函数y=ax-a与反比例函数y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交BC边于点E，延长AE和DC，相交于点F，若∠F=66°，则∠DAF的度数为（　　）
A. 57°
B. 60°
C. 62°
D. 66°
8.如图，平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE.若DC=10，B C=13，则四边形AEBD的面积为（　　）
A. 60 B. 90 C. 120 D. 240
9.若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（　　）
A. m≥-4且m≠-1 B. m＞-4且m≠-1 C. m≤4且m≠1 D. m＜4且m≠1
10.如图，在Rt△ABE中，∠ABE=90°，AB=BE，将△ABE绕点A逆时针旋转45°，得到△AHD，过点D作DC⊥BE交BE的延长线于点C，连接BH并延长交DC于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①DE平分∠HDC；②H是BF的中点；③CD=HF；④BC-CF=2CE.其中正确结论的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.计算：= .
12.若，则= .
13.如图，点M是△ABC边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N.若AB=8，M N=3，则AC的长为 .
14.如图，矩形ABCD中，点G、E分别在边BC、CD上，连接AG、EG、AE.将△ABG和△ECG分别沿AG、EG折叠，点B，点C恰好落在AE上同一点，记为点F.若CE=3，CG=4，则DE的长为 .
15.如图，在正方形ABCD中作菱形AECF，连接DF，若∠EAF=45°，DF=2，则正方形ABCD的边长为 .
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
16.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中x=2026.
18.(本小题10分)
为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校a名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1) 填空：a的值为 ，图①中m的值为 ，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为 和
(2) 求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数
(3) 根据样本数据，若该校共有1000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的有多少名
19.(本小题10分)
如图，平行四边形ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，交BC于点E，交AD于点F
(1) 求证：四边形AECF为平行四边形
(2) 若已知AB=3，AF=2，求平行四边形ABCD的周长
20.(本小题10分)
如图1，点P从矩形ABCD的点A出发，沿矩形的边AB，BC，对角线CA移动，运动路线为A→B→C→A．设点P经过的路程为x,△APD的面积为y.如图2，反映了y与x的函数关系
(1) 由题意可分析得：AB= ，BC= ，n=
(2) 当x为何值时，△APD的面积为12？
21.(本小题10分)
为丰富校园课外活动，鼓励同学们参与体育锻炼，某中学准备一次性购买若干个篮球和排球，已知用480元购买篮球的数量和用360元购买排球的数量相同，篮球的单价比排球的单价多15元
(1) 求篮球和排球的单价各是多少元？
(2) 根据学校实际情况，需一次性购买篮球和排球共100个，但要求其总费用不超过5000元，那么学校最多可以购买多少个篮球？
22.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b的图象相交于点A（2，3），点B（m,1）
(1) 分别求出反比例函数和一次函数的表达式
(2) 根据图象，直接写出不等式的解集
(3) 点P是x轴上一动点，当PA+PB的值最小时，求点P的坐标
23.(本小题10分)
【模型认识】如图1，等腰直角△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，直线DE经过点A，过C作CD⊥DE于点D，过B作BE⊥DE于点E，易证得△CDA≌△AEB，因直线DE，线段AC，线段AB组成的图形形似字母“K”，所以我们将这个模型称为“K形图”，我们可利用这个模型来解决一些问题：
【模型运用】
(1) 如图1，在等腰Rt△ACB中，∠CAB=90°，AC=AB，以A为原点作平面直角坐标系，DE与x轴重合，点C（-2，1），求点M的坐标
(2) 如图2，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x+2的图象交x轴于点A，交y轴于点B，将点B绕点A顺时针旋转90°得到点B′，B′恰好是反比例函数图象上的一点，求此反比例函数的表达式和直线AB′的函数表达式
(3) 在（2）的条件下，点P是直线AB上的一点，点Q是直线AB′上的一点，连接OP，PQ，OQ，当△OPQ满足∠OPQ=90°，且OP=PQ时，请直接写出此时点P的坐标
24.(本小题10分)
综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次数学活动中的探究过程．
【操作实践】如图1，作△ABC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，取BC边的中点M，连接MA并延长交EG于点H．
【初步猜想】
(1) 通过初步观察、测量，猜想AH与EG的位置关系为 ；
【特例证明】
(2) 如图2，当△ABC为等腰三角形，AB=AC时，试证明上述猜想结论的正确性
(3) 如图3，当△ABC为直角三角形，∠BAC=90°时，试证明上述猜想结论的正确性；
【推理论证】
(4) 如图1，当△ABC为一般三角形时，上述结论是否依然成立？请证明
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】10
12.【答案】
13.【答案】14
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】解：两边乘x-2得到，1+3（x-2）=x-1，
去括号得：1+3x-6=x-1，
解得：x=2，
∵x=2时，x-2=0，
∴x=2是原分式方程的增根，
∴原方程无解．
17.【答案】，．
18.【答案】【小题1】
40
25
4
3
【小题2】
这组数据的平均数是3.2
【小题3】
估计该校学生每月参加志愿服务的时间是4h的人数约为350

19.【答案】【小题1】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴AF∥EC，∠DAE=∠AEB．
又∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴，，
∴∠DAE=∠BCF，
∴∠AEB=∠BCF，
∴AE∥CF．
∴四边形AECF是平行四边形
【小题2】平行四边形ABCD周长为16

20.【答案】【小题1】
6
8
24
【小题2】
3或19

21.【答案】【小题1】篮球的单价是60元，排球的单价是45元
【小题2】学校最多可以购买33个篮球

22.【答案】【小题1】，
【小题2】0＜x≤2或x≥6
【小题3】P（5，0）

23.【答案】【小题1】
【小题2】反比例函数的表达式为，直线AB′的函数表达式为
【小题3】点P的坐标为或

24.【答案】【小题1】
AH⊥EG
【小题2】
∵AB=AC，M是BC边的中点，
∴∠BAM=∠CAM，
∵正方形ABDE和正方形ACFG，
∴AE=AB，AG=AC，∠BAE=90°，∠CAG=90°，
∴AE=AG，∠BAM+∠EAH=90°，∠CAM+∠GAH=90°，
∴∠EAH=∠GAH，
∴AH⊥EG
【小题3】
正方形ABDE和正方形ACFG，
∴AE=AB，AG=AC，∠BAE=90°，∠CAG=90°，
又∠BAC=90°，
∴∠EAG=360°-∠EAB-∠CAG-∠BAC=90°，
∴∠EAG=∠BAC，
∴△EAG≌△BAC（SAS），
∴∠AEG=∠ABC，
∵∠BAC=90°，M是BC边的中点，
∴，
∴∠ABM=∠BAM，
又∠EAH+∠BAM=180°-∠BAE=90°，
∴∠EAH+∠AEG=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AH⊥EG
【小题4】
上述结论依然成立；理由如下：
如图1，延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵M是BC中点，
∴BM=CM，
又∠BMN=∠CMA，
∴△BMN≌△CMA（SAS），
∴∠N=∠CAM，BN=AC=AG，
∵∠EAG+∠BAC=360°-∠BAE-∠CAG=180°，
∴∠EAG=180°-∠BAC=180°-∠BAM-∠CAM，
又∠ABN=180°-∠BAM-∠N，
∴∠ABN=∠EAG，
又AE=AB，AG=BN，
∴△EAG≌△ABN（SAS），
∴∠AEG=∠BAN，
又∠EAH+∠BAM=180°-∠BAE=90°，
∴∠EAH+∠AEG=90°，
∴∠AHE=90°，
∴AH⊥EG

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