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2025-2026学年江苏省兴化中学高一下学期期末学情调研
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知奇函数的定义域为，且对任意满足时，，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
3. 设，，，则的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知平面向量满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知递增等差数列满足，，则数列的前20项和为（ ）
A. 310 B. 340 C. 370 D. 400
7. 已知直线，，则使得的实数的值为（ ）
A. 或 B. 或 C. D.
8. 已知正数满足，则的最小值为（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数在上单调递增
C. 函数的值域为
D. 不等式的解集为
10. 已知等比数列中，，，则下列结论正确的有（ ）
A. 数列公比
B. 数列通项公式
C. 数列前项和
D. 数列为等比数列
11. 已知圆，直线，则下列说法正确的有（ ）
A. 圆的圆心为，半径为1
B. 直线恒过定点
C. 直线与圆恒相交
D. 直线被圆截得的弦长最大值为2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围为________。
13. 已知向量，，若，则________。
14. 已知分段函数，则满足的的取值范围是________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分） 已知，。
（1）求的值；
（2）求的值。
16.（15分） 已知数列满足，。
（1）证明：数列为等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和。
17.（15分） 已知平面向量，，函数。
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当时，求函数的最大值与最小值；
（3）求函数图像的对称中心坐标。
18.（17分） 已知直线过点，且与轴、轴正半轴分别交于两点。
（1）求面积的最小值及此时直线的方程；
（2）求直线在两坐标轴上截距之和的最小值；
（3）若直线与圆相切，求直线的方程。
19.（17分） 已知函数。
（1）证明：函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）求函数在区间上的值域；
（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围。
参考答案与解析
（一）单项选择题解析
1. 答案：B
解析：先求解集合：，由指数函数单调性得，即，解得或（近似）。再求解集合：，得，解得，故。因此。故选B。
2. 答案：A
解析：由，，变形得。令，则为上的增函数，且为奇函数，故为奇函数。原不等式变形为，即。由单调性得，解得，结合函数性质化简最终解集为。故选A。
3. 答案：B
解析：利用对数、指数函数单调性估值：，，且，故；，因此。故选B。
4. 答案：C
解析：由得，故，。由二倍角公式，解得，。由两角和正弦公式：。故选C。
5. 答案：D
解析：对两边平方得：。代入，，得，解得。由夹角公式，结合向量夹角范围得。故选D。
6. 答案：A
解析：由等差数列性质，结合，且数列递增，得，。公差，首项。前20项和。故选A。
7. 答案：A
解析：两直线垂直满足，代入得，化简得，解得或，代入验证均满足垂直条件。故选A。
8. 答案：C
解析：由，两边同除得。则。由基本不等式，当且仅当时取等号，故最小值为。故选C。
（二）多项选择题解析
9. 答案：ABCD
解析：A选项，定义域，，为奇函数，正确；B选项，，递增，故在上递增，正确；C选项，，得，故，正确；D选项，即，解得，即，正确。
10. 答案：ABC
解析：由得，，，A正确；，通项，B正确；前项和，C正确；，验证前三项不成等比数列，D错误。
11. 答案：ABD
解析：圆方程配方得，圆心，半径，A正确；直线变形为，恒过定点，B正确；定点到圆心距离，定点在圆外，直线与圆可能相离、相切、相交，C错误；圆的最长弦为直径，长度为2，D正确。
（三）填空题解析
12. 解析：，则。函数有且仅有3个零点，即正弦函数在该区间内有3个零点，需满足，解得。
13. 答案：4
解析：，由得，化简得，解得。
14. 解析：分段求解：①时，，即，得，即，结合范围得；②时，，即，解得。综合得解集。
（四）解答题解析
15.（13分）解析
（1）由，，得。（3分）
由两角和正弦公式：
。（7分）
（2）由二倍角公式：，。（10分）
代入原式：。（13分）
16.（15分）解析
（1）证明：由，变形得。（2分）
又，故，数列是以4为首项、2为公比的等比数列。（5分）
（2）由等比数列通项得，故。（8分）
（3），则。（10分）
设，错位相减得。（13分）
又，故。（15分）
17.（15分）解析
（1），化简得：
。（3分）
最小正周期；令，得单调递增区间。（6分）
（2），则。（8分）
当即时，；当即时，。（11分）
（3）令，得，对称中心为。（15分）
18.（17分）解析
（1）设直线方程，过得。（2分）
面积，由基本不等式，得，。（5分）
当且仅当即时取等号，直线方程为。（7分）
（2）截距和，最小值为。（11分）
（3）设直线，即。直线与圆相切，圆心到直线距离。（14分）
解得或，直线方程为或。（17分）
19.（17分）解析
（1）证明：任取，。（2分）
。（4分）
由得，故，函数递减；同理可证时函数递增。（7分）
（2）由单调性可知，在递减，递增。（9分）
最小值，，，故值域为。（12分）
（3）由（1）得时，。（14分）
恒成立等价于，即，解得。（17分）

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