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1.4.1　充分条件与必要条件
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共65分
1.(多选)下列是“P Q”的充分条件的是(　　)
A.P∩Q=P B.P∩Q=
C.P∪Q=Q D.P∪Q=P
2.“x>y”是“x>y+1”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
3.使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A.x>4 B.x>0
C.x>2 D.x<2
4.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要条件
B.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
C.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
D.“x2=y2”是“x=y”的充分条件
5.(多选)下列命题中为假命题的是(　　)
A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件
C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件
D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件
6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　)
A.m>0 B.-2C.m>-4 D.m≥1
7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是(　　)
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
8.设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　　条件(填“充分”“必要”).
9.已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
10.(9分)下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3分)
(2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.(6分)
11.“若1≤x<2，则x2-a≤0”为真命题的一个充分条件可以是(　　)
A.a≥3 B.a>4
C.a≥1 D.a>1
12.(多选)设集合S={(△ABC，△DEF)|两个三角形全等}，T={(△ABC，△DEF)|两个三角形对应边相等}，U={(△ABC，△DEF)|两个三角形对应中线相等}，V={(△ABC，△DEF)|两个三角形面积相等}，则下列说法正确的有(　　)
A.由S T，可知“两个三角形全等”是“对应边相等”的充分条件
B.由T S，可知“对应边相等”是“两个三角形全等”的充分条件
C.由S U，可知“两个三角形全等”是“对应中线相等”的必要条件
D.由U不是S的子集，可知“两个三角形对应中线相等”是“全等”的充分条件
13.设p：k≥4，b≤5，q：一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　　条件.(用“充分”“必要”填空)
14.(11分)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？(5分)
(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？(6分)
15.(15分)已知条件p：x<1-a或x>1+a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
1.4.1　充分条件与必要条件
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共65分
1.(多选)下列是“P Q”的充分条件的是(　　)
A.P∩Q=P B.P∩Q=
C.P∪Q=Q D.P∪Q=P
答案　AC
解析　由P∩Q=P，P∪Q=Q可推出“集合P是集合Q的子集”，由P∩Q= ，P∪Q=P推不出“集合P是集合Q的子集”，故A，C正确，B，D错误.
2.“x>y”是“x>y+1”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.既是充分条件也是必要条件
D.既不是充分条件也不是必要条件
答案　B
解析　若x>y+1，因为y+1>y，所以x>y成立，即“x>y”是“x>y+1”的必要条件.
若x>y，取x=3，y=2，则x>y+1不成立，即“x>y”不是“x>y+1”的充分条件.
3.使x>3成立的一个充分条件是(　　)
A.x>4 B.x>0
C.x>2 D.x<2
答案　A
解析　因为“若x>4，则x>3”是真命题，所以x>4是x>3成立的一个充分条件.
4.(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.“A∩B=B”是“B= ”的必要条件
B.“x2-2x-3=0”是“x=3”的必要条件
C.“m是有理数”是“m是实数”的充分条件
D.“x2=y2”是“x=y”的充分条件
答案　ABC
解析　由A∩B=B，得B A，所以“B= ”可以推出“A∩B=B”，A正确；解方程x2-2x-3=0，得x=-1或x=3，则由“x=3”可以推出“x2-2x-3=0”，B正确；由“m是有理数”可以推出“m是实数”，C正确；由“x2=y2”推不出“x=y”，所以“x2=y2”不是“x=y”的充分条件，D错误.
5.(多选)下列命题中为假命题的是(　　)
A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件
B.“a>b”是“a2>b2”的必要条件
C.“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件
D.“x=1”是“x2+2x-3=0”的必要条件
答案　ABD
解析　对于A，不妨设a=0>b=-1，但此时有a2=0b”不是“a2>b2”的充分条件，故A为假命题；对于B，不妨设a=-1，b=0，此时有a2=1>b2=0，但ab”不是“a2>b2”的必要条件，故B为假命题；对于C，由无理数的定义可知“a+3是无理数”是“a是无理数”的充分条件，故C为真命题；对于D，由x2+2x-3=0可以推出x=-3或x=1，所以“x=1”不是“x2+2x-3=0”的必要条件，故D为假命题.
6.(多选)若关于x的方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则它成立的必要条件可以是(　　)
A.m>0 B.-2C.m>-4 D.m≥1
答案　ACD
解析　方程x2+2x+m=0至多有一个实数根，则其判别式Δ≤0，即4-4m≤0，解得m≥1，结合选项可知，选项A，C，D正确.
7.设x，y是两个实数，则p：“x，y中至少有一个数大于1”的一个充分条件是(　　)
A.x+y=2 B.x+y>2
C.x2+y2>2 D.xy>1
答案　B
解析　对于选项A，当x=1，y=1时，满足x+y=2，但p不成立；对于选项C，D，当x=-2，y=-3时，满足x2+y2>2，xy>1，但p不成立，也不符合题意.
8.设A，B是两个非空集合，则“A∩B=A”是“A=B”的　　　　　　　条件(填“充分”“必要”).
答案　必要
解析　由A∩B=A，得A B，但推不出A=B，因此“A∩B=A”不是“A=B”的充分条件；
反过来，由A=B，得A B，能推出A∩B=A，因此“A∩B=A”是“A=B”的必要条件.
9.已知p：x<-2或x>10，q：x<1+a或x>1-a(a<0).若p是q的必要条件，则实数a的取值范围为　　　　　　　.
答案　{a|a≤-9}
解析　∵p是q的必要条件，∴q p，
∴解得a≤-9.
10.(9分)下列各题中，p是q的什么条件？
(1)p：a2+b2=0，q：a+b=0；(3分)
(2)p：(x-1)2+(y-2)2=0，q：(x-1)(y-2)=0.(6分)
解　(1)∵a2+b2=0 a=b=0 a+b=0，
a+b=0a2+b2=0，∴p是q的充分条件.
(2)∵(x-1)2+(y-2)2=0 x=1
且y=2 (x-1)(y-2)=0，
而(x-1)(y-2)=0(x-1)2+(y-2)2=0，
∴p是q的充分条件.
11.“若1≤x<2，则x2-a≤0”为真命题的一个充分条件可以是(　　)
A.a≥3 B.a>4
C.a≥1 D.a>1
答案　B
解析　要使“对任意1≤x<2，x2-a≤0”为真命题，只需要a≥4，所以B正确.
12.(多选)设集合S={(△ABC，△DEF)|两个三角形全等}，T={(△ABC，△DEF)|两个三角形对应边相等}，U={(△ABC，△DEF)|两个三角形对应中线相等}，V={(△ABC，△DEF)|两个三角形面积相等}，则下列说法正确的有(　　)
A.由S T，可知“两个三角形全等”是“对应边相等”的充分条件
B.由T S，可知“对应边相等”是“两个三角形全等”的充分条件
C.由S U，可知“两个三角形全等”是“对应中线相等”的必要条件
D.由U不是S的子集，可知“两个三角形对应中线相等”是“全等”的充分条件
答案　AB
解析　选项A，S T即“全等 对应边相等”，是充分条件，A正确；
选项B，T S即“对应边相等 全等”(SSS判定)，是充分条件，B正确；
选项C，S U表示“全等 对应中线相等”，应是充分条件而非必要条件，C错误；
选项D，U不是S的子集表示“对应中线相等不一定全等”，故不是充分条件，D错误.
13.设p：k≥4，b≤5，q：一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，则p是q的　　　　条件；q是p的　　　　　条件.(用“充分”“必要”填空)
答案　必要　充分
解析　若一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴，
则k>4，b<5，即q p，pq，
所以q是p的充分条件，p是q的必要条件.
14.(11分)(1)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件？(5分)
(2)是否存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件？(6分)
解　(1)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件，
则只要 {x|x<-1或x>3}，
即只需-≤-1，所以m≥2.
故存在实数m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分条件.
(2)欲使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件，
则只要{x|x<-1或x>3} 这是不可能的.
故不存在实数m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要条件.
15.(15分)已知条件p：x<1-a或x>1+a和条件q：x<或x>1，求使p是q的充分条件但不是必要条件的最小正整数a.
解　依题意a>0.
由p：x<1-a或x>1+a，
可设M={x|x<1-a或x>1+a}.
由q：x<或x>1，可设N=.
要使p是q的充分条件但不是必要条件，
即M?N，应有或
解得a≥.
令a=1，则M={x|x<0或x>2}，
N=符合题意，
所以最小正整数a为1.

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