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1.4.2　充要条件
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分
1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是“B=C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1A.{a|1C.{a|05.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　)
6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是(　　)
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2
7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为B?A的充分不必要条件的是(　　)
A.m∈{0，1} B.m∈
C.m∈ D.m∈{1}
8.“x<0”是“|x|=-x”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
9.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　.
10.(10分)证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a，b，c是△ABC的三条边).
11.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
12.(多选)设全集为S，集合A，B S，下列选项中是A B的充要条件的是(　　)
A.A∪B=B B. SB SA
C.∩A= D.∩B=
13.已知集合A={x∈Z|点(x-1，x-a)不在第一、三象限}，集合B={t|1≤t<3}，若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
14.(12分)在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M；若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A={x|0≤x≤4}，集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　？
15.(15分)已知a，b是正实数，求证：++2=的充要条件是a+b=1.
1.4.2　充要条件
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分
1.“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　C
解析　因为由“三角形的三条边相等”可以得出“三角形为等边三角形”，由“三角形为等边三角形”也可以得出“三角形的三条边相等”，所以“三角形的三条边相等”是“三角形为等边三角形”的充要条件.
2.“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的(　　)
A.必要不充分条件
B.充分不必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由x2+(y-2)2=0，得x=0且y=2，所以x(y-2)=0.反之，由x(y-2)=0，得x=0或y=2，x2+(y-2)2=0不一定成立.所以“x2+(y-2)2=0”是“x(y-2)=0”的充分不必要条件.
3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B=A∩C”是“B=C”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　由A∩B=A∩C，不一定有B=C；
反之，由B=C，一定可得A∩B=A∩C.
所以“A∩B=A∩C”是“B=C”的必要不充分条件.
4.已知a>0，设p：-a≤x≤3a，q：-1A.{a|1C.{a|0答案　C
解析　因为p是q的充分不必要条件，
所以
解得05.设计如图所示的四个电路图，则能表示“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件的一个电路图是(　　)
答案　C
解析　对于A，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充分不必要条件；对于B，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的充要条件；对于C，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的必要不充分条件；对于D，“开关A闭合”是“灯泡B亮”的既不充分也不必要条件.
6.(多选)使“x∈{x|x≤0或x>2}”成立的充分不必要条件可以是(　　)
A.x≥0 B.x<0或x>2
C.x∈{-1，3，5} D.x≤0或x>2
答案　BC
解析　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干中所给集合的真子集，只有B，C满足题意.
7.(多选)设集合A={x|x2+x-6=0}，B={x|mx-2=0}，则下列可作为B?A的充分不必要条件的是(　　)
A.m∈{0，1} B.m∈
C.m∈ D.m∈{1}
答案　ABD
解析　A={x|x2+x-6=0}={2，-3}，
当B?A时，①若B= ，则m=0；②若B≠ ，则B={2}或B={-3}，对应的m=1或m=-
故当B?A时，实数m的取值集合为.
所以满足可作为B?A的充分不必要条件的实数m的取值集合应为的非空真子集.
8.“x<0”是“|x|=-x”的　　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
答案　充分不必要
解析　因为|x|=-x x≤0，{x|x<0}?{x|x≤0}，由此可知“x<0”是“|x|=-x”的充分不必要条件.
9.已知p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，若p是q的必要不充分条件，则实数k的取值范围是　　　　　.
答案　{k|k<-2}
解析　p：2k-1≤x≤3，q：-5≤x≤3，
设集合A={x|2k-1≤x≤3}，B={x|-5≤x≤3}，
因为p是q的必要不充分条件，所以B?A，
所以2k-1<-5，解得k<-2.
所以实数k的取值范围是{k|k<-2}.
10.(10分)证明：△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a，b，c是△ABC的三条边).
证明　①充分性：因为a2+b2+c2=ab+bc+ac，
所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，所以(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.
所以a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c.
所以△ABC是等边三角形.
②必要性：因为△ABC是等边三角形，所以a=b=c，
所以a2+b2+c2-ab-bc-ac=a2+b2+c2-a2-b2-c2=0，所以a2+b2+c2=ab+bc+ac.
综上所述，△ABC是等边三角形的充要条件是a2+b2+c2=ab+bc+ac(其中a，b，c是△ABC的三条边).
11.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1，x2，则“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　B
解析　当x1=1，x2=5时，满足x1·x2>4且x1+x2>4，但得不到x1>2且x2>2，
若x1>2且x2>2，则x1·x2>4且x1+x2>4，
所以“x1·x2>4且x1+x2>4”是“x1>2且x2>2”的必要不充分条件.
12.(多选)设全集为S，集合A，B S，下列选项中是A B的充要条件的是(　　)
A.A∪B=B B. SB SA
C.∩A= D.∩B=
答案　ABC
解析　当A∪B=B时，A B；当A B时，A∪B=B，A满足题意；
当 SB SA时，A B；当A B时， SB SA，B满足题意；
当∩A= 时，A B；当A B时∩A= ，C满足题意；
当∩B= 时，B A，D不满足题意.
13.已知集合A={x∈Z|点(x-1，x-a)不在第一、三象限}，集合B={t|1≤t<3}，若“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
答案　{a|0解析　由“y∈A”是“y∈B”的充分不必要条件，即A?B，
由A中元素为整数，故A只可能为{1}，{2}，{1，2}，
由点(x-1，x-a)不在第一、三象限，得或
即①或②，
当a<1时，由①②得a≤x≤1，
此时A={x∈Z|a≤x≤1}，故A={1}，有0当a≥1时，由①②得1≤x≤a，
此时A={x∈Z|1≤x≤a}，因为1∈A，只需3 A，有1≤a<3.
综上，014.(12分)在①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充要条件这三个条件中任选一个补充在下面问题中，若问题中的a存在，求a的取值集合M；若问题中的a不存在，说明理由.
问题：已知集合A={x|0≤x≤4}，集合B={x|1-a≤x≤1+a}(a>0)，是否存在实数a，使得x∈A是x∈B成立的　　　　？
解　若选①，则A是B的真子集，
所以或
解得a≥3，
所以存在a，a的取值集合M={a|a≥3}.
若选②，则B是A的真子集，
所以或
解得0所以存在a，a的取值集合M={a|0若选③，则A=B，
所以1-a=0且1+a=4，
又a>0，方程组无解，
所以不存在满足条件的a.
15.(15分)已知a，b是正实数，求证：++2=的充要条件是a+b=1.
证明　必要性：若++2=
则=
即a2+a+b2+b+2ab=2，
即(a+b)2+(a+b)-2=0，
即(a+b-1)(a+b+2)=0，
因为a，b是正实数，
所以a+b+2>0，所以a+b-1=0，
即a+b=1.
充分性：若a+b=1，
则++2=
==
==.
故++2=的充要条件是a+b=1.

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