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1.5.1　全称量词与存在量词
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分
1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2≥0
C. x∈R，x2>0 D. x∈R，x2>0
2.(多选)下列命题中是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　)
A. x∈R，2x+1>0
B.若2x为偶数，则x∈N
C.菱形的四条边都相等
D.π是无理数
4.(多选)下列命题正确的是(　　)
A. x∈R，|x|≥0
B. x∈R，x2+1=0
C. x∈{x|-1≤x≤1}，x2≤4
D. x∈N*，x3-x为奇数
5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. n∈N*，2n2+5n+2能被2整除
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
6.已知命题p： x∈R，x2+2x-a=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-1 B.a<-1
C.a≥-1 D.a≤-1
7.已知不等式x+3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是(　　)
A.{a|a≥-3} B.{a|a>-3}
C.{a|a≤-3} D.{a|a<-3}
8.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为　　　　　　　　　　.
9.若命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
10.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t>0且(2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(2分)
(3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(3分)
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分)
11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A
C. x∈A，x B D. x∈B，x∈A
12.已知集合A={x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
13.已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1”，命题q：“ x∈R，2x2+5x+a=0”，若p，q均是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　.
14.(12分)已知集合A={x|a≤x≤a+3}，集合B={x|x<-1或x>5}，全集U=R.
(1)若A∩B= ，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若命题“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围.(6分)
15.(15分)已知函数y1=y2=-2x2-m，若对 x1∈{x|-1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围.
1.5.1　全称量词与存在量词
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共63分
1.命题“实数的平方不小于零”可以表示为(　　)
A. x∈R，x2≥0 B. x∈R，x2≥0
C. x∈R，x2>0 D. x∈R，x2>0
答案　A
解析　命题“实数的平方不小于零”为全称量词命题，可以表示为 x∈R，x2≥0.
2.(多选)下列命题中是“ x∈R，x2>3”的表述方法的是(　　)
A.有一个x∈R，使得x2>3成立
B.对有些x∈R，x2>3成立
C.任选一个x∈R，都有x2>3成立
D.至少有一个x∈R，使得x2>3成立
答案　ABD
解析　命题“ x∈R，x2>3”中 x∈R表示有些、有一个、存在一个、至少有一个的意思，是存在量词命题，故选项A，B，D正确；
选项C中任选一个x∈R，表示对所有的x∈R，是全称量词命题，故选项C不正确.
3.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是(　　)
A. x∈R，2x+1>0
B.若2x为偶数，则x∈N
C.菱形的四条边都相等
D.π是无理数
答案　C
解析　对A，是全称量词命题，当x=-1时，2x+1=-1<0，所以是假命题，故A不正确；
对B，是全称量词命题，当x=-1时，2x为偶数，但-1 N，所以是假命题，故B不正确；
对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；
对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确.
4.(多选)下列命题正确的是(　　)
A. x∈R，|x|≥0
B. x∈R，x2+1=0
C. x∈{x|-1≤x≤1}，x2≤4
D. x∈N*，x3-x为奇数
答案　AC
解析　对于A，因为 x∈R，|x|≥0，故A正确；
对于B，因为方程x2+1=0的判别式Δ=-4<0，所以方程无实数解，故B错误；
对于C，任意x∈{x|-1≤x≤1}，则0≤x2≤1，所以x2≤4，故C正确；
对于D，因为x3-x=x(x-1)(x+1)，当x∈N*时，x-1，x，x+1是3个连续的整数，且至少有一个是偶数，所以x3-x是偶数，故D错误.
5.以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角
B. n∈N*，2n2+5n+2能被2整除
C.两个无理数的和必是无理数
D.存在一个负数x，使>2
答案　B
解析　A中，锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称量词命题；对于B，令n=2，2n2+5n+2=20，能被2整除，所以B是存在量词命题又是真命题；C中，因为+(-)=0，所以C是假命题；D中，对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题.
6.已知命题p： x∈R，x2+2x-a=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　)
A.a>-1 B.a<-1
C.a≥-1 D.a≤-1
答案　B
解析　依题意得，方程x2+2x-a=0无实根，
所以必有Δ=4+4a<0，解得a<-1.
7.已知不等式x+3≥0的解集是A，则使命题“ a∈M，a A”为真命题的集合M是(　　)
A.{a|a≥-3} B.{a|a>-3}
C.{a|a≤-3} D.{a|a<-3}
答案　D
解析　因为x+3≥0，所以A={x|x≥-3}.又因为对 a∈M，都有a A，所以a<-3.
8.命题“有些负数满足不等式(1+x)(1-9x)2>0”用“ ”写成存在量词命题为　　　　　　　　　　.
答案　 x<0，(1+x)(1-9x)2>0
解析　存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”.
9.若命题“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，则实数a的取值范围是　　　　.
答案　
解析　由题意，“二次函数y=x2-3x+9a的图象恒在x轴上方”为真命题，
根据二次函数的图象与性质，
可得Δ=(-3)2-4×9a<0，解得a>.
10.(10分)判断下列命题哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假性.
(1)对所有的正实数t>0且(2)存在实数x，使得x2-3x-4=0；(2分)
(3)存在实数对(x，y)，使得3x-4y-5>0；(3分)
(4)角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(3分)
解　(1)为全称量词命题，且为假命题，
如取t=1，则(2)为存在量词命题，且为真命题，
因为判别式Δ=b2-4ac=25>0，
所以存在实数x，使得x2-3x-4=0.
(3)为存在量词命题，且为真命题，如取实数对(2，0)，则3x-4y-5>0成立.
(4)为全称量词命题，且为真命题.
11.(多选)已知集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，则下列命题为真命题的是(　　)
A. x∈A，x∈B B. x∈B，x A
C. x∈A，x B D. x∈B，x∈A
答案　AD
解析　因为集合A={x|x≥0}，B={x|x>1}，所以B是A的真子集，所以“ x∈A，x∈B”“ x∈B，x∈A”为真命题.
12.已知集合A={x|1≤x≤2}，命题“ x∈A，x2-a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A.a≥4 B.a≤4
C.a≥5 D.a≤5
答案　C
解析　当该命题是真命题时，a≥(x2)max，因为x∈A={x|1≤x≤2}，又当1≤x≤2时，x2的最大值是4，所以a≥4.因为a≥4a≥5，a≥5 a≥4，故a≥5是该命题为真命题的一个充分不必要条件.
13.已知命题p：“ x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1”，命题q：“ x∈R，2x2+5x+a=0”，若p，q均是真命题，则实数a的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　由 x∈{x|1≤x≤2}，a≥x+1，得a≥3；
由 x∈R，2x2+5x+a=0，即方程2x2+5x+a=0有实根，则Δ=25-8a≥0，解得a≤
又p，q均是真命题，
则3≤a≤所以实数a的取值范围是.
14.(12分)已知集合A={x|a≤x≤a+3}，集合B={x|x<-1或x>5}，全集U=R.
(1)若A∩B= ，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若命题“ x∈A，x∈B”是真命题，求实数a的取值范围.(6分)
解　因为a(1)因为A∩B= ，则解得-1≤a≤2，
所以实数a的取值范围为{a|-1≤a≤2}.
(2)若“ x∈A，x∈B”是真命题，则A B，
则a+3<-1或a>5，所以a<-4或a>5，
即实数a的取值范围为或.
15.(15分)已知函数y1=y2=-2x2-m，若对 x1∈{x|-1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，求实数m的取值范围.
解　因为x1∈{x|-1≤x≤3}，x2∈{x|0≤x≤2}，
所以y1∈{y|0≤y≤9}，
y2∈{y|-4-m≤y≤-m}，
又因为对 x1∈{x|-1≤x≤3}， x2∈{x|0≤x≤2}，使得y1≥y2，
即y1的最小值大于或等于y2的最小值，
即-4-m≤0，所以m≥-4，
所以实数m的取值范围为{m|m≥-4}.

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