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1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共65分
1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A.￢p： x∈A，2x∈B
B.￢p： x A，2x B
C.￢p： x A，2x∈B
D.￢p： x∈A，2x B
2.关于命题p“ x∈R，x2-x+1<0”的否定，下列说法正确的是(　　)
A.￢p： x∈R，x2-x+1>0，为假命题
B.￢p： x∈R，x2-x+1>0，为真命题
C.￢p： x∈R，x2-x+1≥0，为假命题
D.￢p： x∈R，x2-x+1≥0，为真命题
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题
B.￢p和q都是真命题
C.p和￢q都是真命题
D.￢p和￢q都是真命题
4.已知命题“存在x∈{x|0A.{m|m≤0或m≥6}
B.{m|m<0或m>6}
C.{m|m<0或m≥6}
D.{m|m≤0或m>6}
5.(多选)下列叙述正确的是(　　)
A. x∈R，x2-3x+3<0
B.命题“ x∈R，12”
C.命题“ x∈R，x2>0”的否定是真命题
D.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件
6.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.￢p： x∈R，x2+1=0
B.￢p： x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，￢p是假命题
D.p是假命题，￢p是真命题
7.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A.等圆的面积相等，周长相等
B. x∈N，x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
8.若命题p： x∈Q，|x|+x>0，则该命题的否定是　　　.
9.已知命题p：“ x≥3，使得2x-110.(10分)写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；(3分)
(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3分)
(3) x∈R，x2+1<0.(4分)
11.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.命题“ x∈R，x2+1>3x”的否定是“ x∈R，x2+1<3x”
B.命题“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“所有五边形的内角和都是540°”的否定为“所有的五边形的内角和都不是540°”
D.命题“对任意x∈R，总有x2>0”是真命题
12.(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A.所有的合数都是偶数
B.有一个实数x，使x2+2x+3=0
C.命题“ x∈R，x+|x|≥0”的否定是“ x∈R，x+|x|<0”
D.命题“ x∈R，x+2≤0”的否定是“ x∈R，x+2>0”
13.已知命题“ x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
14.(10分)已知命题p： x∈R，x2-2x+m=0，命题q： x∈{x|-215.(15分)已知集合A={x|6≤x≤20}，集合B={x|x≤2a}，命题p： x∈A，x∈B，命题q： x∈R，x2+2x-a>0.
(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.(9分)
1.5.2　全称量词命题和存在量词命题的否定
单选题、填空题每小题5分，多选题每小题6分，共65分
1.设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p： x∈A，2x∈B，则(　　)
A.￢p： x∈A，2x∈B
B.￢p： x A，2x B
C.￢p： x A，2x∈B
D.￢p： x∈A，2x B
答案　D
解析　命题p： x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，￢p： x∈A，2x B.
2.关于命题p“ x∈R，x2-x+1<0”的否定，下列说法正确的是(　　)
A.￢p： x∈R，x2-x+1>0，为假命题
B.￢p： x∈R，x2-x+1>0，为真命题
C.￢p： x∈R，x2-x+1≥0，为假命题
D.￢p： x∈R，x2-x+1≥0，为真命题
答案　D
解析　因为x2-x+1=+>0，
故命题p为假命题，则￢p为真命题；
又“ x∈R，x2-x+1<0”的否定为“ x∈R，x2-x+1≥0”.
3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p： x∈R，|x+1|>1；命题q： x>0，x3=x，则(　　)
A.p和q都是真命题
B.￢p和q都是真命题
C.p和￢q都是真命题
D.￢p和￢q都是真命题
答案　B
解析　对于命题p，取x=-1，
则有|x+1|=0<1，
故p是假命题，￢p是真命题，
对于命题q，取x=1，
则有x3=13=1=x，
故q是真命题，￢q是假命题，
综上，￢p和q都是真命题.
4.已知命题“存在x∈{x|0A.{m|m≤0或m≥6}
B.{m|m<0或m>6}
C.{m|m<0或m≥6}
D.{m|m≤0或m>6}
答案　A
解析　命题“存在x∈{x|0即命题“任意x∈{x|0即 {x|0所以≤0或≥3，
解得m≤0或m≥6.
5.(多选)下列叙述正确的是(　　)
A. x∈R，x2-3x+3<0
B.命题“ x∈R，12”
C.命题“ x∈R，x2>0”的否定是真命题
D.设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的必要不充分条件
答案　BC
解析　对于A，因为x2-3x+3=+>0，故A错误；
对于B，命题“ x∈R，12”，故B正确；
对于C，命题“ x∈R，x2>0”的否定为“ x∈R，x2≤0”，显然02=0，
则命题“ x∈R，x2≤0”为真命题，故C正确；
对于D，由“x≥2且y≥2”，得“x2≥4且y2≥4”，可以推出“x2+y2≥8”，
故“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥8”的充分条件，故D错误.
6.(多选)关于命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的叙述，正确的是(　　)
A.￢p： x∈R，x2+1=0
B.￢p： x∈R，x2+1=0
C.p是真命题，￢p是假命题
D.p是假命题，￢p是真命题
答案　AC
解析　命题p：“ x∈R，x2+1≠0”的否定是“ x∈R，x2+1=0”.
所以p是真命题，￢p是假命题.
7.(多选)下列命题的否定是假命题的是(　　)
A.等圆的面积相等，周长相等
B. x∈N，x2≥1
C.任意两个等边三角形都是相似的
D.有些梯形的对角线相等
答案　ACD
解析　A的否定：存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等，假命题；
B的否定： x∈N，x2<1，真命题；
C的否定：有些等边三角形不相似，假命题；
D的否定：所有梯形的对角线都不相等.如等腰梯形的对角线相等，假命题.
8.若命题p： x∈Q，|x|+x>0，则该命题的否定是　　　.
答案　 x∈Q，|x|+x≤0
9.已知命题p：“ x≥3，使得2x-1答案　5
解析　因为命题p：“ x≥3，
使得2x-1所以￢p：“ x≥3，2x-1≥m”是真命题，
故m≤5.
10.(10分)写出下列命题的否定：
(1)有些四边形有外接圆；(3分)
(2)末位数字为9的整数能被3整除；(3分)
(3) x∈R，x2+1<0.(4分)
解　(1)所有的四边形都没有外接圆.
(2)存在一个末位数字为9的整数不能被3整除.
(3) x∈R，x2+1≥0.
11.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.命题“ x∈R，x2+1>3x”的否定是“ x∈R，x2+1<3x”
B.命题“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”
C.命题“所有五边形的内角和都是540°”的否定为“所有的五边形的内角和都不是540°”
D.命题“对任意x∈R，总有x2>0”是真命题
答案　ACD
解析　对于A，命题“ x∈R，x2+1>3x”的否定是“ x∈R，x2+1≤3x”，故A错误；
对于B，命题“ x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“ x，y∈R，x2+y2<0”，故B正确；
对于C，该命题的否定应为“存在一个五边形，它的内角和不是540°”，故C错误；
对于D，当x=0时，x2=0，故D错误.
12.(多选)下列命题是真命题的是(　　)
A.所有的合数都是偶数
B.有一个实数x，使x2+2x+3=0
C.命题“ x∈R，x+|x|≥0”的否定是“ x∈R，x+|x|<0”
D.命题“ x∈R，x+2≤0”的否定是“ x∈R，x+2>0”
答案　CD
解析　对于A，9是一个合数，但9是奇数，所以A是假命题；
对于B，对于方程x2+2x+3=0，其中Δ=22-4×3=-8<0，
所以不存在实数x，使得x2+2x+3=0成立，所以B是假命题；
对于C，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“ x∈R，x+|x|≥0”的否定是“ x∈R，x+|x|<0”，所以C是真命题；
对于D，根据全称量词命题与存在量词命题的关系，可得命题“ x∈R，x+2≤0”的否定是“ x∈R，x+2>0”，所以D是真命题.
13.已知命题“ x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，则实数a的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　∵命题“ x∈R，使4x2+x+(a-2)=0”是假命题，∴命题“ x∈R，4x2+x+(a-2)≠0”是真命题，即判别式Δ=12-4×4×(a-2)<0，即a>.
故实数a的取值范围为.
14.(10分)已知命题p： x∈R，x2-2x+m=0，命题q： x∈{x|-2解　由p是真命题，得Δ=4-4m≥0，所以m≤1，由q是真命题，得m≤-2.
若p为真命题，q为假命题，
则解得-2若p为假命题，q为真命题，则
该不等式组的解集为 ，
所以实数m的取值范围为{m|-215.(15分)已知集合A={x|6≤x≤20}，集合B={x|x≤2a}，命题p： x∈A，x∈B，命题q： x∈R，x2+2x-a>0.
(1)若命题p为假命题，求实数a的取值范围；(6分)
(2)若命题p和命题q至少有一个为真命题，求实数a的取值范围.(9分)
解　(1)若命题p为真命题，则A∩B≠ ，
所以2a≥6，所以a≥3，
所以当命题p为假命题时，实数a的取值范围为{a|a<3}.
(2)当命题q为假命题时，即“ x∈R，x2+2x-a≤0”为真命题，
所以Δ=4+4a≥0，解得a≥-1，
所以实数a的取值范围为{a|a≥-1}，
所以当命题p，q均为假命题时，a的取值范围为
{a|a<3}∩{a|a≥-1}={a|-1≤a<3}，
所以当命题p和命题q至少有一个为真命题时，实数a的取值范围为{a|a<-1或a≥3}.

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