资源简介

7数上 练技巧
1，有关数轴的探索
1 数轴中的折叠问题
1.如图，在数轴上，点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 ， 是最小的正整数，且 ， 满
足| + 2| + ( 6)2 = 0．
（1） =____， =___， =___．
（2）若将数轴折叠，使得点 与点 重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为___，点 与数_
__对应的点重合，这时若 ， （ 在 的左侧）两点之间的距离为2022，且 ， 两点经折
叠后重合，则点 表示的数是________，点 表示的数是_______.
2. 如图，折叠一数轴，使得表示数 5 与数 1的两点重合，若此时数轴上的 ， 两点也重合，
且 ， 两点之间的距离为 32，则点 表示的数为_________.
3. 在数轴上剪下 8个单位长度（从 1到 9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重
叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1: 1: 2，则折痕与数轴的
交点所表示的数可能是_________.
2 数轴上的循环规律问题
4. 正六边形 在数轴上的位置如图，点 ， 对应的数分别为 0和 1，若正六边形（六条
边相等） 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点 所对应的数为
2，则连续翻转 2021次后，数轴上 2021这个数所对应的点是( )
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
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1
5.在数轴上，点 表示的数是 ，点 ′表示的数是 ，我们称点 ′是点 的“相关点”，已
1
知数轴上点 1的相关点为 2，点 2的相关点为 3，点 3的相关点为 4， ，这样依次得到点 1，
1
2， 3， 4， ， .若点 1在数轴上表示的数是 ，则点 2024在数轴上表示的数是___. 2
3 数轴上数的变化规律问题
6.已知 ， 在数轴上对应的数分别用 ， 表示，且( + 150)2 + | + 10| = 0， 是数轴上的
一个动点.动点 从原点开始第 1次向右移动 1个单位长度，第 2次向左移动 3个单位长度，
第 3次向右移动 5个单位长度，第 4次向左移动 7 个单位长度， ，点 在移动过程中，第__
__次移动后与点 重合.
7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（ 点）出发，按向上、
向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1个单位长度，其移动路线如图所示，第 1
次移动到 1，第 2次移动到 2，第 3次移动到 3， ，第 次移动到 ，则三角形 2 2020的
面积是( )
A.1009 B.505 C.1011 D.506
2 2
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2，含参数的一元一次方程
4 解的关系问题
1 2 + 1
1.已知关于 的方程 (8 ) = 7 + 的解与方程 = + 2 的解互为相反数，求 的
2 2 3 6
值.
5 错解问题
1 2+
2.晶晶在解关于 的方程 + 6 = 时，把 6错写成 1，解得 = 1，并且晶晶在解题中没有
2 3
错误，请你正确求出此方程的解.
6 整数解问题
3.已知 ， 是有理数，单项式 的次数是 3，方程( + 1) 2 + + + 2 = 0是关
于 的一元一次方程，其中 ≠ .
（1）求 ， 的值；
（2）若该方程的解是 = 3，求 的值；
（3）若该方程的解是正整数，求整数 的值.
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7 解的个数问题
4.已知关于 的方程4 + 3 = 2 7有唯一解，关于 的方程2 + = ( + 1) 无解，判断关于
的方程 = 的解的情况.
5.已知关于 的方程( 2) | | 1 + 4 = 0为一元一次方程，且该方程的解与关于 的方程
2 +1
= + 1的解相同.
3 2
（1）求 ， 的值；
（2）若关于 的方程| 1| + = + 1 + 2 有无数个解，求 ， 的值.
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3，方程的应用——动点问题
8 距离问题
1.在数轴上，点 在原点的左侧，点 在原点的右侧，点 距离原点 12个单位长度，点 距离
原点 2个单位长度.
（1）点 对应的数为_____，点 对应的数为___，两点之间的距离为____；
（2）若点 为数轴上一点，且 = 2，求 的长；
（3）若点 ， ， 同时向数轴负方向运动，点 从点 出发，点 从原点出发，点 从点 出
发，且点 的运动速度是每秒 6个单位长度，点 的运动速度是每秒 8个单位长度，点 的运
动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时
三个点对应的数各是多少.
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9 相遇问题
2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间
的距离表示为 = | |.如：点 表示的数为 2，点 表示的数为 3，则 = |2 3| = 1.
（1）问题提出：填空：如图，数轴上点 表示的数为 2，点 表示的数为 13， ， 两点之间
的距离 =____，线段 的中点表示的数为___.
（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点 从点 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为 秒( > 0).
①用含 的式子表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
②求当 为何值时， ， 两点相遇，并写出相遇点所表示的数.
（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果 ， 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自
到达线段 的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段 上做往复运动，那么再经
过多长时间 ， 两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.
10 追及问题
3.如图，已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为 6，0， 4，动点 从 出发，以每秒 6个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点 从 出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，若点 ， 同时出发，则点 运动___秒时，追上点 .
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4，与线段上的中点有关的计算
11 双中点模型
1.如图，点 是线段 上的一点，且 < ， 和 分别是 和 的中点，已知 = 10，
= 7，则线段 的长度是( )
A.3 B.3.5 C.4 D.5
2.如图，点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1）若 = 9cm， = 6cm，求线段 的长.
（2）若 为线段 上任一点（不与 , 重合），满足 + = cm，其他条件不变，你能
猜想出 的长度吗？请说明理由．
（3）若 在线段 的延长线上（不与 重合），且满足 = cm，点 ， 分别为 ，
的中点，你能猜想 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
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3.如图， ， ， ， 四点在同一直线上．
（1）若 = ，
①比较线段的大小： ___ （填“>”“=”或“<”）；
3
②若 = ，且 = 12cm，则 的长为____cm.
4
（2）若 : : = 3: 4: 5，且 的中点 和 的中点 之间的距离是16cm，求 的长．
12 三中点模型
4.如图，点 ， ， 在同一直线上， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，则下列
1 1 1
说法：① = ；② = ( + )；③ = ( )；④ = ( + )，其
2 2 2
中正确的是( )
A.①③ B.②④ C.①④ D.①③④
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5，双角平分线模型
13 两个角无公共部分
1.如图，∠ = ， 1, 1分别是∠ 和∠ 的平分线， 2, 2分别是∠ 1 和
∠ 1的平分线， 3, 3分别是∠ 2 和∠ 2的平分线， ， , 分别是∠ 1
和∠ 1的平分线，则∠ 的度数是( )
A. B. C. D.
2 1 2 2
14 两个角有公共部分
2.（1）如图，若∠ = 120 ，∠ = 40 ， ， 分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的
度数；
（2）若∠ ，∠ 是平面内两个角，∠ = ，∠ = (0 < < < 180)， ，
分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的度数.（用含 ， 的代数式表示）
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3.如图，已知在同一平面内，∠ = 90 ，∠ = 60 .
（1）填空：∠ =______；
（2）如果 平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数；
（3）如果在（2）的条件下将∠ = 60 改为∠ = 2 (0 < < 45 )，其他条件不变，
求∠ 的度数.
15 三个角围成周角
4.如图，∠ = 126 ，射线 在∠ 外，且∠ = 2∠ ，若 平分∠ ， 平
分∠ ，则∠ =______.
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1，有关数轴的探索
1 数轴中的折叠问题
1.如图，在数轴上，点 表示数 ，点 表示数 ，点 表示数 ， 是最小的正整数，且 ， 满
足| + 2| + ( 6)2 = 0．
（1） =____， =___， =___．
解析：因为 是最小的正整数，所以 = 1.因为| + 2| ≥ 0，( 6)2 ≥ 0，且
| + 2| + ( 6)2 = 0，所以| + 2| = 0，( 6)2 = 0，所以 + 2 = 0，
6 = 0，所以 = 2， = 6.
（2）若将数轴折叠，使得点 与点 重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为___，点 与数_
__对应的点重合，这时若 ， （ 在 的左侧）两点之间的距离为2022，且 ， 两点经折
叠后重合，则点 表示的数是________，点 表示的数是_______.
2+6
解析：将数轴折叠，使得点 与点 重合，则 = 2，所以折痕与数轴的交点
2
表示的数是 2.点 到折痕与数轴的交点的距离为 1 个单位长度，则2 + 1 = 3，所以
点 与数 3对应的点重合.设 点表示的数是 ，则 点表示的数是 + 2022，所以
+ +2022
2 = ，则 = 1009， 1009 + 2022 = 1013，所以点 表示的数是
2
1009，点 表示的数是 1013.
数轴中的折叠问题
+
将数轴折叠后，数 与数 对应的点重合，则折痕与数轴的交点所表示的数为 ，若数 与数
2
对应的点也重合，则 + = + .
2. 如图，折叠一数轴，使得表示数 5 与数 1的两点重合，若此时数轴上的 ， 两点也重合，
且 ， 两点之间的距离为 32，则点 表示的数为_________.
解析：因为表示 5的点与表示 1的点重合，所以折痕与数轴的交点表示的数为 2.因为数轴折
叠后，数轴上的 , 两点也重合，且 ， 两点之间的距离为 32，所以两个点到折痕与数轴交
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7数上 练技巧
点的距离均是 16，所以点 表示的数为2 + 16 = 18或2 16 = 14.故答案为 18或 14.
3. 在数轴上剪下 8个单位长度（从 1到 9）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重
叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）.若这三条线段的长度之比为1: 1: 2，则折痕与数轴的
交点所表示的数可能是_________.
解析：因为总的线段长为 8，剪后三条线段的长度之比为1: 1: 2，又因为
8 ÷ (1 + 1 + 2) = 2，所以这三条线段的长度分别为 2，2，4.如图（1），若剪下
的第 1条线段长为 2，第 2条线段长度也为 2，则折痕与数轴的交点表示的数为 4；如
图（2），若剪下的第 1条线段长为 2，第 2条线段长度为 4，则折痕与数轴的交点表
示的数为 5；如图（3），若剪下的第 1条线段长为 4，第 2条线段长度为 2，则折痕
与数轴的交点表示的数为 6.综上，折痕与数轴的交点表示的数为 4或 5或 6，故答案
为 4或 5或 6.
图（1） 图（2）
图（3）
2 数轴上的循环规律问题
4. 正六边形 在数轴上的位置如图，点 ， 对应的数分别为 0和 1，若正六边形（六条
边相等） 绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转 1次后，点 所对应的数为
2，则连续翻转 2021次后，数轴上 2021这个数所对应的点是()
A. 点 B. 点 C. 点 D. 点
解析：正六边形在翻转第一周的过程中，点 ， ， ， ， ， 对应的数分别
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为 1，2，3，4，5，6，翻转 6次为一次循环.因为2021 ÷ 6 = 336 5，所以数
轴上 2021这个数所对应的点是 点.故选 B.
1
5.在数轴上，点 表示的数是 ，点 ′表示的数是 ，我们称点 ′是点 的“相关点”，已
1
知数轴上点 1的相关点为 2，点 2的相关点为 3，点 3的相关点为 4， ，这样依次得到点 1，
1
2， 3， 4， ， .若点 1在数轴上表示的数是 ，则点 2024在数轴上表示的数是___. 2
1 1
解析：点 1在数轴上表示的数是 ，则点 2在数轴上表示的数是 1 = 2，点 2 31
2
1 1 1
在数轴上表示的数是 = 1，点 4在数轴上表示的数是 = ，点 在数轴 1 2 1 ( 1) 2 5
1
上表示的数是 2，点 6在数轴上表示的数是 1， ，由此得 ，2， 1依次循环. 2
因为2024 ÷ 3 = 674 2，所以点 2024在数轴上表示的数是 2.故答案为 2.
3 数轴上数的变化规律问题
6.已知 ， 在数轴上对应的数分别用 ， 表示，且( + 150)2 + | + 10| = 0， 是数轴上的
一个动点.动点 从原点开始第 1次向右移动 1个单位长度，第 2次向左移动 3个单位长度，
第 3次向右移动 5个单位长度，第 4次向左移动 7 个单位长度， ，点 在移动过程中，第__
__次移动后与点 重合.
解析：点 第 1次移动所得的对应点 1表示的数为0 + 1 = 1，点 第 2次移动所得的对应点 2表
示的数为1 3 = 2，点 第 3次移动所得的对应点 3表示的数为 2 + 5 = 3，点 第 4次移动
所得的对应点 4表示的数为3 7 = 4，点 第5次移动所得的对应点 5表示的数为 4 + 9 = 5，
点 第 6次移动所得的对应点 6表示的数为5 11 = 6， ，点 第 次移动所得的对应点 表
示的数为 ( 1) .观
察发现：当 为奇数时，点 对应的数为奇数 ；当 为偶数时，点 对应的数为偶数 .因为(
+ 150)2 ≥ 0，| + 10| ≥ 0，且( + 150)2 + | + 10| = 0，所以
+ 10 = 0，即 = 10， + 150 = 0，即 = 15,所以点 表示的数是 15，点 表示的数是
10.因为当 = 15时，点 15表示的数为 15，所以点 第 15次移动后与点 重合.
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数轴上数的变化规律问题
1.标出序列号.
2.①有的可对每个数同时加上或减去或乘或除以第一个数，成为新数列，再找出规律，并恢复
到原来的数列.
②有的可对每个数同加或减或乘或除以同一个数（一般为 1，2，3， )，成为新数列，然后
找出规律，再恢复到原来的数列.
③观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律.
7.如图，在纸面所在的平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置（ 点）出发，按向上、
向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动 1个单位长度，其移动路线如图所示，第 1
次移动到 1，第 2次移动到 2，第 3次移动到 3， ，第 次移动到 ，则三角形 2 2020的
面积是()
A.1009B.505C.1011D.506
2 2
解析：由题意知， 2 3 = 1，因为 4表示的数为 2， 8表示的数为 4， 12表示的数为 6， ，
所以可推导一般性规律： 4 表示的数为2 ，所以 2020表示的数为1010，所以 2020 = 1010，
1 1
所以 三角形 = × 2020 × 2 3 = × 1010 × 1 = 505，故选 B. 2 2020 2 2
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2，含参数的一元一次方程
4 解的关系问题
1 2 + 1
1.已知关于 的方程 (8 ) = 7 + 的解与方程 = + 2 的解互为相反数，求 的
2 2 3 6
值.
1
解：解方程 (8 ) = 7 + ，得 = 2.
2
1 2 + 1
因为关于 的方程 (8 ) = 7 + 的解与方程 = + 2 的解互为相反数，
2 2 3 6
2 + 1
所以方程 = + 2 的解为 = 2.
2 3 6
4+ 2 1 2 8
把 = 2代入，得 = + 2 ，解得 = .
2 3 6 9
5 错解问题
1 2+
2.晶晶在解关于 的方程 + 6 = 时，把 6错写成 1，解得 = 1，并且晶晶在解题中没有
2 3
错误，请你正确求出此方程的解.
1 2+
解：因为解关于 的方程 + 6 = 时，把 6错写成 1，解得 = 1，
2 3
1 2+
所以把 = 1代入 + 1 = ，解得 = 1，
2 3
1 2+
所以原方程应为 + 6 = ，解得 = 29.
2 3
6 整数解问题
3.已知 ， 是有理数，单项式 的次数是 3，方程( + 1) 2 + + + 2 = 0是关
于 的一元一次方程，其中 ≠ .
（1）求 ， 的值；
解：由题意得 + 1 = 3， + 1 = 0，解得 = 2， = 1.
（2）若该方程的解是 = 3，求 的值；
解：由（1）得 = 2， = 1，所以原方程为 + 4 = 0.将 = 3代入
1
得， 3 3 + 4 = 0，所以 = .
3
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7数上 练技巧
（3）若该方程的解是正整数，求整数 的值.
4
解：因为 = 2， = 1，所以原方程为 + 4 = 0，所以 = .因为 是整数， 是正
+1
整数，所以 + 1 = 1,2,4,所以 = 0,1,3.
7 解的个数问题
4.已知关于 的方程4 + 3 = 2 7有唯一解，关于 的方程2 + = ( + 1) 无解，判断关于
的方程 = 的解的情况.
解：关于 的方程4 + 3 = 2 7可以整理为3 = 2 11.因为关于 的方程4 + 3 = 2
7有唯一解，所以 ≠ 0.关于 的方程2 + = ( + 1) 整理得 = 2.因为关于 的方程2 +

= ( + 1) 无解，所以 = 0，则关于 的方程 = 可解得 = ，所以 = 0,即关于 的方程

= 有唯一解，为 = 0.
解的个数问题
三种形式：
0 = 0，方程有无数个解;
0 =非零的数，方程无解;
非零的数·x=常数，方程有唯一解.
5.已知关于 的方程( 2) | | 1 + 4 = 0为一元一次方程，且该方程的解与关于 的方程
2 +1
= + 1的解相同.
3 2
（1）求 ， 的值；
解：因为关于 的方程( 2) | | 1 + 4 = 0为一元一次方程，所以| | 1 = 1, 2 ≠ 0，解
得 = 2.当 = 2时，方程为 4 + 4 = 0，解得 = .又因为两个方程同解，所以
2 +1
= + 1，解得 = 1.
3 2
（2）若关于 的方程| 1| + = + 1 + 2 有无数个解，求 ， 的值.
解：把 = 2， = 1代入| 1| + = + 1 + 2 ，可得
| 1| + = 1 + 2 ，变形得(| 1| 2) = 1.因为关于 的方程
| 1| + = + 1 + 2 有无数个解，所以| 1| 2 = 0, 1 = 0，所以
= 3或 1， = 1.
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7数上 练技巧
3，方程的应用——动点问题
8 距离问题
1.在数轴上，点 在原点的左侧，点 在原点的右侧，点 距离原点 12个单位长度，点 距离
原点 2个单位长度.
（1）点 对应的数为_____，点 对应的数为___，两点之间的距离为____；
解：因为点 在原点的左侧，距离原点 12个单位长度，所以点 对应的数为 12，
同理可得点 对应的数为 2，所以 ， 两点之间的距离为2 ( 12) = 2 + 12 = 14，
故答案为 12，2，14.
（2）若点 为数轴上一点，且 = 2，求 的长；
解：分两种情况：①当点 在点 的右侧时， = + = 14 + 2 = 16；②
当点 在点 的左侧时， = = 14 2 = 12.综上， 的长是 16 或 12.
（3）若点 ， ， 同时向数轴负方向运动，点 从点 出发，点 从原点出发，点 从点 出
发，且点 的运动速度是每秒 6个单位长度，点 的运动速度是每秒 8个单位长度，点 的运
动速度是每秒 2个单位长度.运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时
三个点对应的数各是多少.
解：设运动的时间为 秒，则动点 ， ， 对应的数分别为 12 6 ， 8 ，
2 2 .分三种情况：①当 = 时， 8 ( 12 6 ) = 2 2 ( 8 )，所
5 5
以 = ，此时，点 对应的数为 12 6 × = 19.5，点 对应的数为
4 4
5 5
8 × = 10，点 对应的数为2 2 × = 0.5.
4 4
②当 = 时， 12 6 ( 8 ) = 2 2 ( 12 6 )，所以 = 13（舍）.
③当 = 时，可得(2 2 ) ( 12 6 ) = (2 2 ) ( 8 )，解得 = 6，
此时 点对应的数为 12 6 × 6 = 48， 点对应的数为 8 × 6 = 48， 点对
应的数为2 2 × 6 = 10.
综上，点 对应的数为 19.5，点 对应的数为 10，点 对应的数为 0.5或点 对
应的数为 48，点 对应的数为 48，点 对应的数为 10.
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7数上 练技巧
距离问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0，终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）.
2.求距离:①相对位置确定时:距离=右边的点表示的数-左边的点表示的数；
②相对位置不确定时:距离= | |（ , 分别表示始点与终点所表示的数）.
3.解方程.
相遇问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0，终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）；
2.求距离:两点同时相向出发，相遇时， 1 + 2 =起始位置之间的距离，即 1 + 2 = | 0 0|；
3.解方程.
9 相遇问题
2.数轴体现了数形结合的数学思想，若数轴上点 ， 表示的数分别为 ， ，则 ， 两点之间
的距离表示为 = | |.如：点 表示的数为 2，点 表示的数为 3，则 = |2 3| = 1.
（1）问题提出：填空：如图，数轴上点 表示的数为 2，点 表示的数为 13， ， 两点之间
的距离 =____，线段 的中点表示的数为___.
解：因为点 表示的数为 2，点 表示的数为 13，所以 = |13 ( 2)| = 15，线段 的中
13 2 11 11
点表示的数为 = .故答案为 15， .
2 2 2
（2）拓展探究：在（1）的条件下，若点 从点 出发，以每秒 3个单位长度的速度沿数轴向
右运动，同时点 从点 出发,以每秒 2 个单位长度的速度向左运动.设运动时间为 秒( > 0).
①用含 的式子表示： 秒后，点 表示的数为________，点 表示的数为________；
解析： 秒后，点 表示的数为 2 + 3 ，点 表示的数为13 2 .故答案为 2 + 3 ，13 2 .
②求当 为何值时， ， 两点相遇，并写出相遇点所表示的数.
解：根据题意得 2 + 3 = 13 2 ，解得 = 3，相遇点所表示的数为 2 + 3 × 3 = 7.
所以当 为 3时， ， 两点相遇，相遇点所表示的数是 7.
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（3）类比延伸：在（2）的条件下，如果 ， 两点相遇后按照原来的速度继续运动，当各自
到达线段 的端点后立即改变运动方向，并以原来的速度在线段 上做往复运动，那么再经
过多长时间 ， 两点第二次相遇？请求出此时相遇点所表示的数.
15
解：由已知得点 运动 5 秒到达点 ，点 运动 秒到达点 ，返回途中，点 表示的数是13 3(
2
15 15
5)，点 表示的数是 2 + 2( ).根据题意得13 3( 5) = 2 + 2( )，解得 = 9，
2 2
所以再经过9 3 = 6（秒）, , 两点第二次相遇，相遇点所表示的数为13 3 × (9 5) = 1.
追及问题
1.表示终点:起点位置表示的数为 0,终点位置表示的数为 0 ± （ 表示运动速度， 表示运
动时间，向右为加，向左为减）；
2.求距离:两点同时同向出发，到达同一位置时， 多 少 =起始位置之间的距离，即| 1 2
| = | 0 0|；
3.解方程.
10 追及问题
3.如图，已知数轴上三点 ， ， 表示的数分别为 6，0， 4，动点 从 出发，以每秒 6个单
位长度的速度沿数轴向左匀速运动.另一动点 从 出发，以每秒 4个单位长度的速度沿数轴向
左匀速运动，若点 ， 同时出发，则点 运动___秒时，追上点 .
解析：设点 运动 秒时，在点 处追上点 ，则 = 6 ， = 4 .因为 = = 10，
所以6 4 = 10，解得 = 5，所以点 运动 5秒时，追上点 .
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4，与线段上的中点有关的计算
11 双中点模型
1.如图，点 是线段 上的一点，且 < ， 和 分别是 和 的中点，已知 = 10，
= 7，则线段 的长度是()
A.3B.3.5C.4D.5
解析：因为 是 的中点，所以 = ，所以 = + 2 = 10 + 14 = 24.因为 是
1
的中点，所以 = = 12，所以 = = 12 7 = 5，故选 D.
2
双中点模型
1, 2的位置 图示 结论
1
1是 的中点, 2是 的中点 1 2 =
2
1
1是 的中点, 2是 的中点 1 2 =
2
1
1是 的中点, 2是 的中点 1 2 =
2
1
1 2 = ×第三条线段 2
特点：1. , , 三点共线，构成线段 , , ；
2.点 1, 2为其中任意两条线段的中点
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2.如图，点 在线段 上，点 ， 分别是 ， 的中点．
（1）若 = 9cm， = 6cm，求线段 的长.
解：因为 = 9cm，点 是 的中点，
1
所以 = = 4.5cm.
2
因为 = 6cm，点 是 的中点，
1
所以 = = 3cm，
2
所以 = + = 7.5cm，
所以线段 的长度为7.5cm.
（2）若 为线段 上任一点（不与 , 重合），满足 + = cm，其他条件不变，你能
猜想出 的长度吗？请说明理由．
1
解：能. = cm.理由：因为 为线段 上任一点（不与 , 重合），且点
2
1 1
， 分别是 ， 的中点，所以 = + = ( + ) = cm.
2 2
（3）若 在线段 的延长线上（不与 重合），且满足 = cm，点 ， 分别为 ，
的中点，你能猜想 的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由．
1
解：能.当点 在线段 的延长线上时，如图， = cm.
2
理由：因为点 是 的中点，
1
所以 = .
2
因为点 是 的中点，
1
所以 = ，
2
1 1
所以 = = ( ) = cm.
2 2
3.如图， ， ， ， 四点在同一直线上．
（1）若 = ，
①比较线段的大小： ___ （填“>”“=”或“<”）；
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解：因为 = ，所以 + = + ，即 = .故答案为=.
3
②若 = ，且 = 12cm，则 的长为____cm.
4
3 3
解析：因为 = ，且 = 12cm，所以 = × 12 = 9(cm)，
4 4
所以 = = = 12 9 = 3(cm)，
所以 = + = 12 + 3 = 15(cm).
故答案为 15.
（2）若 : : = 3: 4: 5，且 的中点 和 的中点 之间的距离是16cm，求 的长．
解：设 = 3 cm， = 4 cm， = 5 cm，则 = 12 cm.
因为点 是 的中点，点 是 的中点，
3 5
所以 = = cm， = = cm.
2 2
又因为 = 16cm，
3 5
所以 + 4 + = 16，
2 2
解得 = 2，所以 = 24cm.
12 三中点模型
4.如图，点 ， ， 在同一直线上， 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，则下列
1 1 1
说法：① = ；② = ( + )；③ = ( )；④ = ( + )，其
2 2 2
中正确的是()
A.①③B.②④C.①④D.①③④
1
解析：因为 为 的中点， 为 的中点， 为 的中点，所以易得 = = ，①正
2
确，②错误；
1 1 1 1 1 1 1
= = ( ) = ( ) = = ( ) =
2 2 2 2 2 2 2
1 1
= ( ) = ( )，③正确；
2 2
1 1 1 1 1 1
= = = ( ) = = ( + ) = ( + )，④正确.
2 2 2 2 2 2
所以①③④正确.故选 D.
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三中点模型
条件：点 是线段 上任意一点，点 1, 2, 3分别是线段 , , 的中点.
1 1
结论： 1 2 = = 3 = 3 ， 2 3 = = 1 = 1 2 2
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5，双角平分线模型
13 两个角无公共部分
1.如图，∠ = ， 1, 1分别是∠ 和∠ 的平分线， 2, 2分别是∠ 1 和
∠ 1的平分线， 3, 3分别是∠ 2 和∠ 2的平分线， ， , 分别是∠ 1
和∠ 1的平分线，则∠ 的度数是()
A. B. C. D.
2 1 2 2
两个角无公共部分
条件：如图，已知 ， 分别平分∠ ，∠ .
1
结论：∠ = ∠ .
2
解析：因为∠ = ， 1， 1分别是∠ 和∠ 的平分线，所以
1 1 1 1
∠ 1 = ∠ ,∠ 1 = ∠ ，所以∠ 1 1 = (∠ +∠ ) = ∠ =2 2 2 2
1 1 1
.因为 2， 2分别是∠ 1 和∠ 2 1的平分线，所以∠ 2 = ∠ 1 ,∠ 2 =2 2
1 1 1 1 1
∠ 1 ，所以∠ 2 2 = (∠ 1 +∠ 1 ) = ∠ 1 1 = × = = .因为 ,2 2 2 2 4 22 3
3分
1 1
别是∠ 2 和∠ 2的平分线，所以∠ 3 = ∠ 2 ,∠ 3 = ∠ 2 ， 2 2
1 1 1
所以∠ 3 3 = (∠ 2 +∠ 2 ) = ∠ 2 2 = = 3， ，由此规律得∠ = .2 2 8 2 2
故选 C.
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14 两个角有公共部分
2.（1）如图，若∠ = 120 ，∠ = 40 ， ， 分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的
度数；
1
解：因为∠ = 120 ， 平分∠ ，所以∠ =∠ = ∠ = 60 .因为 平
2
1
分∠ ，∠ = 40 ,所以∠ = ∠ = 20 ，所以∠ = ∠ ∠ =
2
60 20 = 40 .
（2）若∠ ，∠ 是平面内两个角，∠ = ，∠ = (0 < < < 180)， ，
分别平分∠ ，∠ ，求∠ 的度数.（用含 ， 的代数式表示）
解：若射线 在∠ 的内部，如图（1） .因为∠ = ，
∠ = ， , 分别平分∠ ,∠ ,所以
1 1 1
∠ =∠ ∠ = ∠ ∠ = ( ) .
2 2 2
若射线 在∠ 外部，如图（2） .因为∠ = ，
1 1
∠ = ， , 分别平分∠ ,∠ ,所以∠ =∠ +∠ = ∠ +
2 2
1 1 1
∠ = ( + ) .综上，∠ 的度数为 ( ) 或 ( + ) .
2 2 2
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两个角有公共部分
条件：如图，已知 , 分别平分∠ ,∠ .
1
结论：∠ = ∠ .
2
3.如图，已知在同一平面内，∠ = 90 ，∠ = 60 .
（1）填空：∠ =______；
解析：因为∠ = 90 ，∠ = 60 ，
所以∠ = ∠ +∠ = 150 ，故答案为150 .
（2）如果 平分∠ ， 平分∠ ，求∠ 的度数；
解：由（1）知∠ = 150 .因为 平分∠ ，所以
1
∠ = ∠ = 75 .因为 平分∠ ，∠ = 60 ，所以
2
1
∠ = ∠ = 30 ，所以∠ = ∠ ∠ = 45 .
2
（3）如果在（2）的条件下将∠ = 60 改为∠ = 2 (0 < < 45 )，其他条件不变，
求∠ 的度数.
解：因为∠ = 90 ，∠ = 2 ，所以
∠ = ∠ +∠ = 90 + 2 .因为 平分∠ ，所以
1
∠ = ∠ = 45 + .因为 平分∠ ，∠ = 2 ，所以
2
1
∠ = ∠ = ，所以∠ =∠ ∠ = 45 .
2
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15 三个角围成周角
4.如图，∠ = 126 ，射线 在∠ 外，且∠ = 2∠ ，若 平分∠ ， 平
分∠ ，则∠ =______.
解析：因为∠ +∠ +∠ = 360 ，所以∠ +∠ = 360 ∠ .因为
1 1
平分∠ ， 平分∠ ，所以∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，所以∠ =
2 2
1 1 1 1
∠ +∠ = ∠ + ∠ = (∠ +∠ ) = (360 ∠ ) = 180
2 2 2 2
1 1
∠ = 180 × 126 = 117 ，故答案为117 .
2 2
三个角围成周角
条件：如图，已知∠ +∠ +∠ = 360 , 1平分∠ ， 2平分∠ .
1
结论：∠ 1 2 = 180 ∠ . 2
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