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课时规范练9　函数的奇偶性、周期性
(分值:71分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·山西晋中模拟)已知函数f(x)是奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+log3x,则f(-3)=(　　)
A.10 B.9
C.-9 D.-10
2.(2026·河北唐山模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(x+4)=f(x),则f(2 026)=(　　)
A.0 B.1 C.2 D.-2
3.(2025·江西赣州二模)已知函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)=(　　)
A.-5 B.0
C.2 D.5
4.(2025·湖南岳阳一模)若函数f(x)=k+为奇函数,则k=(　　)
A.- B.
C.-e D.e
5.(2024·天津,4)下列函数是偶函数的是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·福建厦门模拟)已知函数f(x)=(ex+e-x)sin x-2在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N=(　　)
A.-4 B.0
C.2 D.4
7.(多选题)(2025·湖南名校联合体模拟)若函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,且f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,则下列选项正确的有(　　)
A.f(x2)是偶函数
B.|f(x)|是偶函数
C.g[f(x)]是奇函数
D.f(x)h(|x|)是奇函数
8.(2025·江苏苏锡常镇一模)请写出一个同时满足以下三个条件的函数f(x)=　　　　　.
①f(-x)+f(x)=0,②f(x+π)=f(x),③f(x)不是常数函数.
9.(2025·浙江北斗星盟三模)已知函数f(x)=且f(x)为奇函数,则a+b=　　　　　.
综合提升练
10.(2025·山东泰安模拟)已知f(x)=x2g(x)为定义在R上的偶函数,则函数g(x)的解析式可以为(　　)
A.g(x)=ln
B.g(x)=1-
C.g(x)=
D.g(x)=|x-2|-|x+2|
11.(2026·山东烟台高三期中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(1-x),且当0A.-3 B.-
C. D.3
12.(2025·河北张家口一模)已知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件:①f(1+x)=f(1-x);②f(3+x)+f(3-x)=0;③f(5)=1.则f(1)+f(2)+…+f(2 025)=(　　)
A.-1 B.0
C.1 D.2
13.(2025·河北唐山期末)已知函数f(x)=x2+3x+3-x,若f(2m)14.(2025·贵州遵义模拟)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=f(4-x),当-2≤x≤0时,f(x)=3x-2x+1,则当x∈[8,10]时,f(x)=　　　　　.
参考答案
课时规范练9　函数的奇偶性、周期性
1.D　解析 由奇函数的定义得f(-3)=-f(3)=-9-1=-10.
2.A　解析 由已知可得,函数f(x)为R上的奇函数,且f(x)的一个周期为4,则f(2 026)=f(506×4+2)=f(2)=f(-2).
又f(-2)=-f(2),所以f(2)=0,则f(2 026)=f(2)=0.
3.B　解析 因为函数f(x)是定义在R上且周期为2的奇函数,则f(-5)=f(-5+4)=f(-1).又因为f(-5)=f(-5+6)=f(1),所以f(1)=f(-1)=-f(1),
故f(1)=0,即f(-5)=f(1)=0.
4.B　解析 令ex-1≠0,可得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0},若函数f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0,可得f(x)+f(-x)=k++k+=2k+=2k-e=0,所以k=.
5.B　解析 对于A,设f(x)=,则f(x)的定义域为R,由f(-1)=,f(1)=,得f(-1)≠f(1),所以f(x)不是偶函数,A不符合;对于B,设g(x)=,则g(x)的定义域为R,且g(-x)==g(x),所以g(x)为偶函数,B符合;对于C,设h(x)=,则h(x)的定义域为{x|x≠-1},显然定义域不关于原点对称,所以h(x)不是偶函数,C不符合;对于D,设φ(x)=,则φ(x)的定义域为R,由φ(-1)=,φ(1)=,得φ(-1)≠φ(1),所以φ(x)不是偶函数,D不符合.故选B.
6.A　解析 令g(x)=(ex+e-x)sin x,其定义域为R,因为g(-x)=(e-x+ex)·sin(-x)=-(e-x+ex)sin x=-g(x),所以g(x)为奇函数,设其在区间[-2,2]上的最大值和最小值分别为A,B,则A+B=0.又f(x)=g(x)-2,所以M=A-2,N=B-2,于是M+N=A+B-4=-4.故选A.
7.ABD　解析 函数f(x),g(x),h(x)的定义域都为R,因为f((-x)2)=f(x2),所以f(x2)是偶函数,故A正确;因为f(x)为奇函数,所以|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数,故B正确;因为g(x)为偶函数,则g[f(-x)]=g[-f(x)]=g[f(x)],即g[f(x)]是偶函数,故C错误;因为h(|-x|)=h(|x|),则h(|x|)为偶函数,又因为f(x)为奇函数,则f(x)h(|x|)是奇函数,故D正确.
8.sin 2x(答案不唯一)　解析 分析函数的性质,条件①f(-x)+f(x)=0,函数f(x)为奇函数,条件②f(x+π)=f(x),函数f(x)的一个周期为π,可考虑三角函数,函数解析式可以为f(x)=sin 2x(答案不唯一).
9.-3　解析 因为函数f(x)=为奇函数,所以当x<0时,-x>0,f(-x)=e-x-a=-f(x)=-be-x+2,所以a=-2,b=-1,
所以a+b=-3.
10.C　解析 因为f(x)=x2g(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x),即g(-x)=g(x),所以g(x)是定义在R上的偶函数.对于选项A,因为>0,所以1-x2>0,所以函数g(x)的定义域为(-1,1),不符合题意;对于选项B,函数g(x)=1-定义域为R,g(-x)==-g(x),g(x)是奇函数,不符合题意;对于选项C,函数g(x)=定义域为R,当x>0时,-x<0,g(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=g(x),当x<0时,-x>0,g(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x=g(x),且g(0)=g(-0)=0,所以g(x)为偶函数,符合题意;对于选项D,函数g(x)=|x-2|-|x+2|定义域为R,g(-x)=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-g(x),g(x)为奇函数,不符合题意.故选C.
11.B　解析 由f(x+1)=f(1-x),则f(x)=f(2-x),因为f(x)是R上的奇函数,则f(-x)=-f(x),所以f(-x)=-f(2-x),即f(x)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x+4),所以f(x)=f(x+4),即f(x)的一个周期为4,由f(log2)=f(5-log23)=f(1-log23)=-f(log23-1),而012.A　解析 由①f(1+x)=f(1-x)可得f(x)=f(2-x),由②f(3+x)+f(3-x)=0可得f(x)=-f(6-x),因此f(x)=f(2-x)=-f(x+4)=f(x+8),所以f(x)的一个周期为8,f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(-1)+f(0)=[f(1)+f(5)]+[f(2)+f(4)]+[f(6)+f(0)]+f(3)+f(-1)=f(3)+f(-1)=2f(3),由于f(3)=-f(6-3),即f(3)=0,f(1)+f(2)+…+f(2 025)=f(1)+253[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7)+f(8)]=-f(5)=-1.
13.(-1,)　解析 依题意,函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=(-x)2+3-x+3-(-x)=x2+3x+3-x=f(x),所以函数f(x)是偶函数.
又当x>0时,y=x2单调递增,令g(x)=3x+3-x,则g'(x)=3x·ln 3-3-x·ln 3=ln 3(3x-3-x)>0,所以g(x)在x>0时也单调递增,因此f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
又f(2m)故实数m的取值范围是(-1,).
14.38-x+2x-15　解析 令0≤x≤2,则-2≤-x≤0,因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)=f(-x)=3-x-2(-x)+1=3-x+2x+1.又因为f(x)=f(4-x),所以f(-x)=f(4+x),所以f(x)=f(4+x),所以4为函数f(x)的一个周期,当x∈[8,10]时,x-8∈[0,2],由题意可得f(x)=f(x-8)=38-x+2(x-8)+1=38-x+2x-15.课时规范练8　函数的单调性与最值
(分值:85分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·北京西城期末)下列函数在其定义域上单调递减的是(　　)
A.y= B.y=-|x| C.y=(x-1)3 D.y=
2.函数f(x)=x2-4|x|+3的单调递增区间是(　　)
A.(-∞,-2) B.(-∞,-2)和(0,2) C.(-2,2) D.(-2,0)和(2,+∞)
3.(2025·辽宁沈阳期末)函数f(x)=的最小值为(　　)
A.0 B.4 C. D.2
4.已知对f(x)定义域内的任意实数x1,x2,且x1≠x2,[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0恒成立,设a=f(-),b=f(3),c=f(5),则(　　)
A.b5.(2025·江苏南通模拟)已知函数f(x)=在区间(-1,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,+∞) B.[0,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞)
6.(2025·广东茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(-∞,1] B.(-∞,3] C.[3,+∞) D.[5,+∞)
7.(2026·江西吉安模拟)设函数f(x)=则满足f(k-1)8.(2025·河北保定模拟)若函数f(x)=loga(x2-x+2)在区间[0,2]上的最大值为2,则实数a=　　　　　.
9.(13分)已知函数f(x)=-.
(1)求证:函数f(x)在区间[2,3]上单调递增;
(2)求f(x)在区间[2,3]上的最大值和最小值.
综合提升练
10.(2025·山东济宁二模)若函数f(x)=(在区间[1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,2] B.[2,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞)
11.(多选题)(2026·安徽皖江名校高三期中)已知函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g(x)=在区间[1,+∞)上一定(　　)
A.单调递减 B.单调递增 C.有最小值 D.有最大值
12.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,对任意a,b∈R,都有f(a)f(b)=f(a+b),f(0)≠0且当x>0时,0A. x∈R,都有f(x)=-
B.当x<0时,f(x)>1
C.f(x)是减函数
D.若f(3)=,则不等式f(2t2-5t)>的解集为(-,4)
13.(15分)讨论函数f(x)=(a≠)在区间(-2,+∞)上的单调性.
参考答案
课时规范练8　函数的单调性与最值
1.D　解析 选项A和B中的函数在其定义域上没有单调性,选项C中的函数在定义域R上单调递增,选项D中的函数y=在定义域(0,+∞)上单调递减.故选D.
2.D　解析 因为f(x)=x2-4|x|+3=作出f(x)的图象,如图所示,由图象可知函数f(x)的单调递增区间是(-2,0)和(2,+∞).故选D.
3.D　解析 根据题意,函数f(x)的定义域为[4,+∞),且由于y=在区间[4,+∞)上单调递增,y=在区间[4,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在区间[4,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(4)=2.
4.D　解析 由[f(x1)-f(x2)](x1-x2)>0可得函数f(x)在其定义域内是增函数,
所以f(-)5.D　解析 当x<0时,f(x)=x2+2x=(x+1)2-1,其在区间(-1,0)上单调递增,若f(x)在区间(-1,+∞)上单调递增,所以所以a≥1.
6.D　解析 由x2-6x+5≥0,可得x≤1或x≥5,即函数f(x)的定义域为(-∞,1]∪[5,+∞).又因为t=x2-6x+5在区间[5,+∞)上单调递增,在区间(-∞,1]上单调递减,y=在区间[0,+∞)上单调递增,由复合函数的单调性可知f(x)=在区间[5,+∞)上单调递增,所以a≥5.
7.(-1,+∞)　解析 画出分段函数图象如图所示,
可知分段函数f(x)在R上单调递增,因为f(k-1)-1.
8.2　解析 令g(x)=x2-x+2,则g(x)在区间[0,2]上的最大值g(x)max=g(2)=4,最小值g(x)min=g()=.当a>1时,f(x)max=loga4=2,解得a=2.当09.(1)证明 设x1,x2是区间[2,3]上的任意两个实数,且x1∵2≤x10,x2-1>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(2)解 由(1)知函数f(x)在区间[2,3]上单调递增,则f(x)在区间[2,3]上的最大值是f(3)=-1,最小值是f(2)=-2.
10.A　解析 f(x)=(是由y=()u与u=x2-ax复合而成,
因为f(x)=(在区间[1,+∞)上单调递减,且函数y=()u在R上单调递减,根据复合函数“同增异减”的原则,可知函数u=x2-ax在区间[1,+∞)上单调递增.
对于二次函数u=x2-ax,其图象开口向上,对称轴为x=-.要使u=x2-ax在区间[1,+∞)上单调递增,则对称轴需满足≤1,解得a≤2.
11.BC　解析 由函数f(x)=x2-2ax+a,可得其图象开口向上,且图象的对称轴为直线x=a,因为函数f(x)在区间(-∞,1)上有最小值,可得a<1.又由函数g(x)==x+-2a,当a=0时,可得g(x)=x,g(x)在区间[1,+∞)上单调递增,有最小值,无最大值;当012.BCD　解析 令a=0,b=1,则f(0)f(1)=f(1),易知0当x<0时,-x>0,所以01,故A错误,B正确;设x11.又当x<0时,f(x)>1,当x>0时,00,即f(x1)>f(x2),所以f(x)是减函数,故C正确;因为f(3)=,所以f(12)=f(6)f(6)=[f(3)]4=,所以f(2t2-5t)>,即f(2t2-5t)>f(12).又f(x)是减函数,所以2t2-5t<12,解得-f(12)的解集为(-,4),故D正确.故选BCD.
13.解 因为函数f(x)==a+,任取x1,x2∈(-2,+∞),且x1因为-20,(x1+2)(x2+2)>0,所以当1-2a>0,即a<时,f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),此时f(x)在区间(-2,+∞)上单调递减;当1-2a<0,即a>时,f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)(分值:74分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·山西晋城期中)某数学家曾说:“函数是近代数学思想之花”,根据函数的概念判断,下列对应关系是集合M={-1,2,4}到集合N={1,2,4,16}的函数的是(　　)
A.y=2x B.y=x+2 C.y=x2 D.y=2x
2.(2025·浙江杭州模拟)已知函数f(x)=则f(f(1))=(　　)
A.-1 B.- C.1 D.e
3.已知函数f(x-1)=x2-2x,且f(a)=3,则实数a的值等于(　　)
A. B.± C.2 D.±2
4.(2025·江西南昌一模)已知f(x)=则方程f(x)=8所有的实根之和为(　　)
A.1 B.2 C.5 D.7
5.(2025·辽宁葫芦岛期末)已知函数y=f(2x+1)的定义域为[-1,2],则函数y=的定义域为(　　)
A.[-1,2] B.(-1,2]
C.[-1,5] D.(-1,5]
6.(2026·河北邯郸模拟)下列各组函数中,表示同一个函数的是(　　)
A.f(x)=x,g(x)=
B.f(x)=,g(x)=x+1
C.f(t)=|t|,g(x)=
D.f(x)=,g(x)=
7.(多选题)(2025·安徽安庆模拟)如果某函数的定义域与其值域的交集是[a,b],则称该函数为“[a,b]交汇函数”.下列函数是“[0,1]交汇函数”的是(　　)
A.y= B.y=
C.y=1-x2 D.y=
8.(多选题)(2025·山东威海模拟)已知函数f(x)=关于函数f(x)的结论正确的有(　　)
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为(-∞,4)
C.若f(x)=3,则x=-
D.f(x)<1的解集为(-1,1)
9.若函数y=+ln(x+2)的定义域为[1,+∞),则a=　　　　　.
综合提升练
10.(2025·江苏淮安模拟)若函数f(x),g(x)满足f(x)-2f()=3x-,且f(x)+g(x)=2x+6,则f(2)+g(-1)=(　　)
A.5 B.6
C.7 D.8
11.(多选题)已知函数f(+1)=x+2,则下列选项正确的有(　　)
A.f(x)=x2-1(x∈R)
B.f(x)的最小值为-1
C.f(2x-3)的定义域为[2,+∞)
D.f()的值域为[0,+∞)
12.(多选题)(2025·广东佛山模拟)著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数f(x)=称为狄利克雷函数,则关于f(x),下列说法正确的有(　　)
A.f(x)的值域为[0,1]
B.f(x)的定义域为R
C. x∈R,f(f(x))=1
D.存在x,y是无理数,f(x+y)=1
13.(2025·江苏盐城三模)设函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的实数解的个数是　　　　　.
14.(2025·广东深圳期中)已知函数f(x)=若f(f(a))>3,则实数a的取值范围是　　　　　.
参考答案
课时规范练7　函数的概念及其表示
1.C　解析 对于选项A,集合M中的元素-1按对应关系y=2x,在集合N中没有元素与之对应,所以不是函数;对于选项B,集合M中的元素4按对应关系y=x+2,在集合N中没有元素与之对应,所以不是函数;对于选项C,集合M中的每个元素按对应关系y=x2,在集合N中都有唯一元素与之对应,所以是函数关系;对于选项D,集合M中的元素-1按对应关系y=2x,在集合N中没有元素与之对应,所以不是函数.故选C.
2.B　解析 因为f(1)=ln 1-1=-1,所以f(f(-1))=f(-1)=-e-1=-.
3.D　解析 令x-1=t,x=t+1,f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1,则f(a)=a2-1=3,解得a=±2.
4.A　解析 若x<0,由x2-2x=8,得(x+2)(x-4)=0,所以x=-2;若x>0,由2x=8,得x=3.因为-2+3=1,所以方程f(x)=8的所有实根的和为1.
5.D　解析 对于函数y=f(2x+1),-1≤x≤2,则-1≤2x+1≤5,所以函数f(x)的定义域为[-1,5],对于函数y=,有
即解得-16.C　解析 对于A,f(x)的定义域为R,g(x)的定义域为[0,+∞),故A错误;对于B,f(x)的定义域为{x|x≠1},g(x)的定义域为R,故B错误;对于C,f(t)和g(x)的定义域均为R,且g(x)==|x|,故C正确;对于D,f(x)的定义域为{x|x≠0},g(x)的定义域为R,故D错误.故选C.
7.BD　解析 对于A,y=的定义域A=[0,+∞),值域B=[0,+∞),则 A∩B=[0,+∞),故A错误;对于B,y=的定义域A=(-∞,1],值域B=[0,+∞),则A∩B=[0,1],故B正确;对于C,y=1-x2的定义域A=R,值域B=(-∞,1],则A∩B=(-∞,1],故C错误;对于D,y=的定义域A=[-1,1],值域B=[0,1],则A∩B=[0,1],故D正确.故选BD.
8.BC　解析 由题意知函数f(x)的定义域为(-2,+∞),故A错误;当x≥1时,f(x)的取值范围是(-∞,1],当-21,当-29.-3　解析 由
由题意可知上式的解集为[1,+∞),
所以x=1为方程x2+2x+a=0的一个根,所以1+2+a=0,得a=-3.
10.D　解析 令x=-1可得f(-1)-2f(-1)=-3+4=1,所以f(-1)=-1;令x=2可得f(2)-2f()=6-2=4;令x=可得f()-2f(2)=-8=,所以-3f(2)=-9,所以f(2)=3,令x=-1可得f(-1)+g(-1)=-2+6=4,所以g(-1)=5,所以f(2)+g(-1)=3+5=8.
11.CD　解析 依题意,f(+1)=()2+2=(+1)2-1,则f(x)=x2-1,x≥1,故A错误;当x≥1时,f(x)≥0,当且仅当x=1时,等号成立,故B错误;在f(2x-3)中,2x-3≥1,解得x≥2,因此f(2x-3)的定义域为[2,+∞),故C正确;f()=-1,012.BCD　解析 因为函数f(x)=所以f(x)的定义域为R,值域为{0,1},故A错误,B正确;
因为 x∈R,f(x)∈{0,1},所以f(f(x))=1,故C正确;取x=,y=-,则f(x+y)=f()=f(0)=1,故D正确.故选BCD.
13.5　解析 [f(x)]2-3f(x)+2=0,解得f(x)=1或f(x)=2,当f(x)=1时,若x≤0,则8x+1=1,无解,若x>0,|log6x|=1,故log6x=1或log6x=-1,解得x=6或x=,当f(x)=2时,若x≤0,则8x+1=2,解得x=0,若x>0,|log6x|=2,故log6x=2或log6x=-2,解得x=36或x=,所以方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的实数解的个数有5个.
14.(-2,0)∪(,+∞)　解析 设u=f(a),f(f(a))>3即为f(u)>3,化为解得u>1,即f(a)>1,则解得-2.故实数a的取值范围是(-2,0)∪(,+∞).课时规范练6　一元二次方程、不等式
(分值:82分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·广东东莞模拟)已知集合A={x||x-1|≤1},B={x|x2-x-2<0},则A∩B=(　　)
A.{x|02.(2025·江苏徐州模拟)已知不等式ax2+bx-3>0的解集为{x|x>1或x<-3},则不等式≥0的解集为(　　)
A.{x|-1C.{x|-1≤x≤2} D.{x|x>1或x<-2}
3.(2025·辽宁辽阳期末)函数f(x)=log2(ax2-ax+2)的定义域为R,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,8) B.(-∞,0]∪(8,+∞) C.[0,8) D.(8,+∞)
4.若集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}是非空集合,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,] B.(-∞,0] C.(-∞,-1] D.(-∞,-2]
5.(多选题)(2025·广东广州期末)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=1,且与x轴交于点A(-1,0),则下列说法正确的有(　　)
A.a>0
B. m∈R,a+b≥am2+bm
C.ax+c>0的解集为{x|x<3}
D.cx2+bx+a<0的解集为{x|-16.(2026·江苏连云港高三期中)若关于x的不等式(m+1)x2-mx+m-1>0的解集为 ,则实数m的取值范围为(　　)
A.(-∞,-] B.[,+∞) C.(-∞,-] D.[,+∞)
7.不等式0≤2x2+x-3<7的解集为　　　　　.
8.(15分)已知函数f(x)=mx2-(m-1)x+m-1.
(1)若不等式f(x)<1的解集为R,求实数m的取值范围;
(2)若不等式f(x)≥0对任意x∈[-]恒成立,求实数m的取值范围;
(3)若不等式f(x)>2对任意m∈(0,2)恒成立,求实数x的取值范围.
综合提升练
9.(2026·广东惠州模拟)函数y=[x]在数学上称为高斯函数,也叫取整函数,其中[x]表示不大于x的最大整数,如[1.5]=1,[-2.3]=-3,[3]=3.那么使不等式4[x]2-12[x]+5≤0成立的x的取值范围是(　　)
A.[] B.[0,2] C.[1,3) D.[1,3]
10.(2025·江苏镇江模拟)当x∈(-1,1)时,不等式2kx2-kx-<0恒成立,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-3,] B.[0,]
C.[0,) D.(-3,)
11.(多选题)(2025·辽宁大连期中)已知不等式x2-2ax+b≤0(a>0)的解集是{x|x=c},则下列结论正确的是(　　)
A.b>0
B.a=2c
C.不等式a2x2-bx>0的解集是(-∞,0)∪(1,+∞)
D.若4ab-mb+c≥0恒成立,则m的取值范围是(-∞,4]
12.(15分)(2025·四川绵阳模拟)设函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R).
(1)若a=-2,求f(x)<0的解集;
(2)若不等式f(x)≥2x-3对任意x>1恒成立,求实数a的取值范围;
(3)解关于x的不等式:f(x)参考答案
课时规范练6　一元二次方程、不等式
1.C　解析 根据题意|x-1|≤1,即-1≤x-1≤1,即0≤x≤2,则A={x|0≤x≤2},x2-x-2=(x+1)(x-2)<0,即-1故A∩B={x|0≤x<2}.
2.A　解析 由题意知-3,1为方程ax2+bx-3=0的两根,所以
解得则不等式≥0可化为解得-1故解集为{x|-13.C　解析 由条件知ax2-ax+2>0恒成立.当a=0时,f(x)=1,符合题意;当a≠0时,需满足解得04.D　解析 因为集合A={x∈N*|x2+x+a≤0}是非空集合,所以x2+x+a≤0在区间[1,+∞)上有解,则a≤-x2-x在[1,+∞)上有解,令f(x)=-x2-x,由二次函数性质得f(x)在区间[1,+∞)上单调递减,可得f(x)max=-1-1=-2,即a∈(-∞,-2].故选D.
5.BCD　解析 由图象开口向下,得a<0,故A错误;因为对称轴为x=1,故对 m∈R,ymax=a+b+c≥am2+bm+c,即a+b≥am2+bm,故B正确;因为图象过点A(-1,0),由对称性得y=ax2+bx+c有两个零点-1,3,所以-=2,=-3,故c=-3a,由a<0,ax-3a>0,得x<3,故ax+c>0的解集为{x|x<3},故C正确;因为b=-2a,c=-3a,由cx2+bx+a<0,得-3ax2-2ax+a<0.又a<0,3x2+2x-1<0,解得-16.C　解析 当m=-1时,不等式为x-2>0,此时解集不为空集,不符合题意;当m<-1时,若解集为空集,则Δ=m2-4(m+1)(m-1)≤0,解得m≤-;当m>-1时,此时不等式的解集一定不为空集,故不符合题意.综上,m≤-.
7.{x|-8.解 (1)不等式f(x)<1,即mx2-(m-1)x+m-2<0,当m=0时,x-2<0,解得x<2,不符合题意;当m≠0时,有
解得m<.综上所述,实数m的取值范围为(-∞,).
(2)不等式f(x)≥0对任意x∈[-]恒成立,即m(x2-x+1)≥1-x对任意x∈[-]恒成立,因为x2-x+1=(x-)2+>0,则不等式等价于m≥对任意x∈[-]恒成立,由x∈[-],得=1,当且仅当1-x=,即x=0时,等号成立,所以()max=1,所以m≥1,即实数m的取值范围是[1,+∞).
(3)不等式f(x)>2对任意m∈(0,2)恒成立,即(x2-x+1)m+x-3>0对任意m∈(0,2)恒成立,令h(m)=(x2-x+1)m+x-3,因为x2-x+1=(x-)2+>0,所以函数h(m)=(x2-x+1)m+x-3在区间(0,2)上单调递增,则h(0)=x-3≥0,解得x≥3,
所以实数x的取值范围为[3,+∞).
9.C　解析 由4[x]2-12[x]+5≤0可得≤[x]≤,由题中定义可知[x]的可能取值有1,2,当[x]=1时,1≤x<2;当[x]=2时,2≤x<3.综上所述,使不等式4[x]2-12[x]+5≤0成立的x的取值范围是[1,3).
10.A　解析 当k=0时,不等式化为-<0,显然恒成立,满足题意;当k≠0时,令f(x)=2kx2-kx-,则f(x)<0在区间(-1,1)上恒成立,函数f(x)图象的对称轴为x=,当k>0时,f(x)在区间(-1,)上单调递减,在区间(,1)上单调递增,则有f(-1)=2k+k-≤0,解得0综上可知,实数k的取值范围是(-3,].
11.ACD　解析 由题意,方程x2-2ax+b=0(a>0)有唯一实数根c,则解得a2=b>0,a=c,故A正确,B错误;不等式a2x2-bx>0可变形为bx(x-1)>0,且b>0,该不等式的解集是(-∞,0)∪(1,+∞),故C正确;由4ab-mb+c≥0,得m≤4a+=4a+,由4a+≥2=4,当且仅当4a=,即a=时,等号成立,则m≤4,故D正确.故选ACD.
12.解 (1)由函数f(x)=ax2+(1-a)x+a-2(a∈R),
若a=-2,可得f(x)=-2x2+3x-4.
由f(x)<0,即不等式-2x2+3x-4<0,即2x2-3x+4>0,因为Δ=9-4×2×4<0,且函数图象对应的抛物线开口向上,所以不等式2x2-3x+4>0的解集为R,即f(x)<0的解集为R.
(2)由f(x)≥2x-3对任意x>1恒成立,即(x2-x+1)a≥x-1对x∈(1,+∞)恒成立,因为x2-x+1>0,所以a≥()max.因为x>1,所以,当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立,所以a≥,所以实数a的取值范围是[,+∞).
(3)依题意,f(x)当a>0时,不等式可化为(ax+1)(x-1)<0,此时-<1,所以不等式的解集为{x|-当a<0时,不等式化为(ax+1)(x-1)<0,
①当a=-1时,-=1,不等式的解集为{x|x≠1};
②当-11,不等式的解集为{x|x>-或x<1};
③当a<-1时,-<1,不等式的解集为{x|x>1或x<-}.
综上,当a<-1时,原不等式的解集为{x|x>1或x<-};当a=-1时,原不等式的解集为{x|x≠1};当-1-或x<1};当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a>0时,原不等式的解集为{x|-(分值:78分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2026·湖南长沙模拟)若x>1,则2x+的最小值是(　　)
A.6 B.4 C.10 D.2
2.(2025·吉林长春模拟)已知0A. B.
C. D.
3.(2025·安徽宿州模拟)已知 x∈(0,+∞),x2+ax+4≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[-4,4] B.[-4,+∞)
C.(-∞,4] D.(-∞,-4)∪(4,+∞)
4.(2025·江苏南通一模)在公差不为0的等差数列{an}中,若as+at=2a3,则的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2026·江苏南通模拟)旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一,出行中小胡有两种加油方案:第一种,每次均加a升的燃油;第二种,每次加b元的燃油.则下列说法正确的是(　　)
A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算
C.两种方案一样 D.无法确定
6.(多选题)(2025·江西上饶二模)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项正确的有(　　)
A.的最大值是
B.的最小值是9
C.(1+a)(1+b)的最大值是
D.a2+2b2的最小值是
7.(2025·河南八市联考)已知x>0,则4x+的最小值为　　　　　.
8.(2025·上海,8)已知a,b为正数,+b=1,则+a的最小值是　　　　.
9.(2025·云南昆明模拟)已知正数x,y满足x+y=4,则的最小值为　　　　.
10.(2026·江西赣州模拟)已知不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.
综合提升练
11.(2025·浙江嘉兴模拟)已知x+y=+8(x,y>0),则x+y的最小值为(　　)
A.5 B.9
C.4+ D.10
12.(多选题)(2026·湖南长沙高三月考)已知a>0,b>0,若a+2b=1,则下列选项正确的有(　　)
A.ab的最小值为
B.的最小值为8
C.a2+b2的最小值为1
D.2a+4b的最小值为2
13.(多选题)(2025·浙江北斗星盟模拟)已知a>0,b>0,则下列说法正确的有(　　)
A.若ab=a+b+3,则ab≥9
B.a2+的最小值为1
C.若a+b=9,则的最小值为8
D.若a+2b=2,则a2+4b2的最小值为2
14.(2025·浙江余姚模拟)函数f(x)=(x≥0)的最大值为　　　　.
15.(2025·安徽合肥模拟)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则的最小值为　　　　　.
参考答案
课时规范练5　基本不等式的应用
1.C　解析 ∵x>1,∴x-1>0,对2x+进行变形可得2(x-1)++2,根据基本不等式,得2(x-1)++2≥2+2=8+2=10,当且仅当2(x-1)=,即x=3时,等号成立,∴当x=3时,2x+取得最小值,最小值为10.
2.A　解析 因为00,y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤×[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,所以最大值为.
3.B　解析 当x∈(0,+∞)时,a≥-(x+)恒成立,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以-(x+)≤-4,所以a≥-4.
4.D　解析 ∵as+at=2a3,∴s+t=6,
∴=1,显然s,t∈N*,∴=()()=+2,当且仅当,即t=2,s=4时,等号成立.
5.B　解析 任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为,当且仅当m=n时,等号成立;第二种方案的均价为,因为m+n≥2>0,则,故,当且仅当m=n时,等号成立.综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时,等号成立).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.故选B.
6.ABC　解析 因为,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;因为=(a+b)()=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a=时,等号成立,故B正确;因为(1+a)(1+b)≤()2=,当且仅当a=b=时,等号成立,故C正确;因为a=1-b,07.3　解析 由x>0得,4x+=4x+-1≥2-1=4-1=3,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故4x+的最小值为3.
8.4　解析 ∵+b=1,∴+a=(+a)(+b)=+1+1+ab≥2+2=4.∴当且仅当=ab,即a=2,b=时,等号成立,故+a的最小值为4.
9.0　解析 由于x,y满足x+y=4,可得y=4-x,所以-1≥2-1=0,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以的最小值为0.
10.(0,+∞)　解析 不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,即m>-(4x+),因为x>-1,则x+1>0,则4x+=4(x+1)+-4≥2-4=0,当且仅当4(x+1)=,即x=-时,等号成立,则-(4x+)≤0,故m>0.
11.B　解析 由x+y=+8(x,y>0),得x+y-8=,则(x+y-8)(x+y)=()(x+y)=+5≥2+5=9,当且仅当,即y=2x时,等号成立,令x+y=t>0,则t(t-8)≥9,解得t≤-1(舍去)或t≥9,则x+y≥9,当且仅当x=3,y=6时,等号成立,即x+y的最小值为9.
12.BD　解析 由a>0,b>0,且a+2b=1,对于A,由ab=a·2b≤,当且仅当a=,b=时,等号成立,所以ab的最大值为,故A错误;对于B,由=()(a+2b)=4+≥4+2=8,当且仅当,即a=,b=时,等号成立,所以的最小值为8,故B正确;对于C,由a+2b=1,可得a=1-2b,则a2+b2=(1-2b)2+b2=5b2-4b+1,因为a>0,b>0且a=1-2b,可得013.ACD　解析 对于A,ab=a+b+3≥2+3,即(-3)(+1)≥0,得到-3≥0,解得ab≥9,当且仅当a=b=3时,等号成立,故A正确;对于B,a2+=(a2+3)+-3≥2-3=4-3=1,当且仅当a2+3=,即a2+3=2时,等号成立,显然a的值不存在,故B错误;对于C,因为a+b=9,所以=4+,由基本不等式得4+≥4+2=8,当且仅当,即a=6,b=3时,等号成立,则的最小值为8,故C正确;对于D,因为a+2b=2,所以(a+2b)2=4,即a2+4b2=4-4ab.由2ab≤=1,得a2+4b2≥2,当且仅当a=2b=1时,等号成立.
14.　解析 令x+1=t,则x=t-1(t≥1),于是函数f(x)=可化为y=.因为t≥1>0,所以由基本不等式可得t+-4≥2-4=2,因此0<,当且仅当t=,即t=3时,等号成立,所以函数的最大值为.
15.　解析 F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,|MF1|+|MF2|=6,所以×()(|MF1|+|MF2|)=(2+)≥,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立,所以的最小值为.课时规范练4　基本不等式
(分值:71分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·河北保定二模)已知x,y是非零实数,则的最小值为(　　)
A.6 B.12
C.2 D.4
2.(2025·广东汕头一模)已知a>0,b>0,a+b=4,则ab的最大值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.不存在
3.(2025·北京顺义期中)已知a>0,b>0,则“a+b>2”是“ab>1”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2025·山东泰安期中)下列不等式中,正确的是(　　)
A.a+≥4 B.a2+b2≥4ab
C.x2+≥2 D.
5.如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么(　　)
A.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
B.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一
C.ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
D.ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一
6.(2026·江苏连云港模拟)若直角三角形的面积为72,则两条直角边的和的最小值是(　　)
A.5 B.10
C.24 D.20
7.(2021·全国乙,文8)下列函数中最小值为4的是(　　)
A.y=x2+2x+4 B.y=|sin x|+
C.y=2x+22-x D.y=ln x+
8.(多选题)(2025·河北石家庄期末)下列结论正确的是(　　)
A.当x>0且x≠1时,ln x+≥2 B.当x>0时,≥2
C.当x≥2时,x+的最小值为2 D.当09.(2025·山东潍坊期中)不等式a2+≥4中,等号成立的条件是　　　　.
10.(2025·江西南昌期中)若a>0,b>0,c>0,则a+b+c　　　 .(用“>”“<”“≥”或“≤”填空)
综合提升练
11.(2025·安徽铜陵期末)已知x,y均为正数,且x≠y,则下列四个数中最大的一个是(　　)
A.) B.
C. D.
12.(2026·湖北孝感模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若0B.函数y=(x∈R)的最小值为2
C.若x,y>0且x+2y+xy=6,则xy的最小值为2
D.函数y=(x>-1)的最小值为3+2
13.(2025·安徽芜湖期末)几何代数法(以几何方法研究代数问题)是西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的定理都能够通过图形实现证明,并称之为无字证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动.作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由FC≥CD可以直接证明的不等式为(　　)
A.(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)
C.(a>0,b>0) D.(a>0,b>0)
14.(2025·北京石景山期末)已知命题p:若a+b≥1,则a3+b3≥1.能说明p为假命题的一组a,b的值为a=　　　　,b=　　　　.
参考答案
课时规范练4　基本不等式
1.A　解析 ≥2=6,当且仅当,即|y|=|x|>0时,等号成立,所以的最小值为6.
2.C　解析 由基本不等式得ab≤()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立.
3.B　解析 若a=1.5,b=0.6,满足a+b>2,但ab<1,若a>0,b>0,ab>1,则a+b≥2>2,即a+b>2,所以“a+b>2”是“ab>1”的必要不充分条件.故选B.
4.C　解析 对于选项A,当a<0时,a+<4,故A错误;对于选项B,a2+b2≥2ab,故B错误;对于选项C,由基本不等式得x2+≥2,当且仅当x2=时,等号成立,故C正确;对于选项D,当a=1,b=2时,,故D错误.故选C.
5.A　解析 由已知及均值不等式可得ab≤()2=()2=4,当且仅当a=b=2时,等号成立,c+d≥2=2=4,当且仅当c=d=2时,等号成立,因此由不等式的性质可得ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立.故选A.
6.C　解析 设直角三角形的两条直角边长为a,b,则a>0,b>0,直角三角形的面积为ab=72,故ab=144,则两条直角边的和a+b≥2=2=24,当且仅当a=b=12时,等号成立,故两条直角边的和的最小值是24.
7.C　解析 A项,y=(x+1)2+3,故ymin=3,故该项不符合题意;
B项,设t=|sin x|,则y=t+,t∈(0,1].因为函数y=t+在区间(0,1]上单调递减,所以当t=1时,y取最小值,且ymin=1+=5,该项不符合题意;
C项,y=2x+22-x=2x+,设t=2x,则t>0,于是y=t+≥2=4,当且仅当t=2,即x=1时等号成立.所以该项符合题意.
D项,因为当x∈(0,1)时,ln x<0,所以存在x使y<0,故该项不符合题意.
8.BD　解析 对于A,当00时,>0,由基本不等式可得≥2=2,当且仅当x=1时,等号成立,故B正确;对于C,因为函数y=x+在区间[2,+∞)上单调递增,所以当x≥2时,x+的最小值为2+,故C错误;对于D,因为函数y=x,y=-在区间(0,2]上均单调递增,故当09.a=±　解析 由基本不等式可知a2+≥2=4,当且仅当a2=,即a=±时,等号成立.
10.≥　解析 由于a>0,b>0,c>0,所以a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2,故2a+2b+2c≥2+2+2,故a+b+c≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.
11.A　解析 (方法1)取x=1,y=2,可得)=,因此最大的是).故选A.
(方法2)因为x,y均为正数,且x≠y,所以)>,且.
又,因此有)>)>,故最大的一个数是).故选A.
12.D　解析 因为00,x(3-2x)=×2x(3-2x)≤,当且仅当2x=3-2x,即x=时,等号成立,即x(3-2x)的最大值为,故A错误;因为>0,y=≥2=2,由可得x2=-4,方程无解,则y=>2,即函数的最小值不是2,故B错误;由x,y>0,6-xy=x+2y≥2,可得xy+2-6≤0,即()·(+3)≤0,解得-3,因为xy>0,则0-1,则t>0,y==t++3≥2+3,当且仅当t=,即t=时,等号成立,所以函数y=(x>-1)的最小值为3+2,故D正确.
13.D　解析 连接AD,BD,由题知CD⊥AB,AD⊥DB,
所以∠ADC+∠CDB=∠CDB+∠CBD,即∠ADC=∠CBD.因为∠ACD=∠DCB=90°,所以△ACD∽△DCB,
所以,即CD=.因为AC=a,BC=b,不妨设a>b,所以OF=,OC=a-,
所以FC=,所以由FC≥CD可以证明(a>0,b>0).故选D.
14.(答案不唯一)　解析 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=(a+b)3-3ab(a+b)≥(a+b)3-3(a+b)()2=(a+b)3,当且仅当a=b时,等号成立.所以若a+b≥1,则a3+b3≥,所以p为假命题,所以一组a,b的值为a=,b=(答案不唯一).课时规范练3　等式性质与不等式的性质
(分值:71分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·新疆和田期末)已知M=x2-x+3,N=x+2,则M与N的大小关系是(　　)
A.M>N B.M2.(2025·山东聊城期末)若a>|b|>0,则下列结论不一定成立的是(　　)
A. B.ab>b2 C.2a>2b D.a+b>0
3.(2025·山西临汾二模)若3≤a≤5,-2≤b≤1,则2a-b的取值范围是(　　)
A.[8,9] B.[4,8] C.[5,8] D.[5,12]
4.手机屏幕面积与整机正面面积的比值叫手机的“屏占比”,它是手机外观设计中一个重要参数,其值通常在(0,1)之间.设计师将某手机的屏幕面积和整机正面面积同时增加相同的数量,升级为一款新的手机外观,则该手机“屏占比”和升级前比(　　)
A.不变 B.变小 C.变大 D.变化不确定
5.(多选题)(2025·湖北武汉模拟)设a,b,c∈R,则下列选项中正确的有(　　)
A.若a>b,则a-c>b-c B.若a2>b2,则a>b
C.若ac2>bc2,则a>b D.若a>b,则a3>b3
6.能够说明“设a,b,c是任意实数,若a7.已知28.(13分)已知三个不等式:
(1);(2)ab<0;(3)bc请思考依据其中哪两个不等式可以推出另一个不等式,并说明理由.
综合提升练
9.(2025·河北唐山期末)已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且满足b+c≤3a,则的取值范围为(　　)
A.(1,+∞) B.(1,3)
C.(0,2) D.(0,3)
10.(2025·浙江宁波期末)已知m>n>0,下列不等式一定成立的是(　　)
A.
B.m++n
C.m->n-
D.
11.(多选题)(2025·陕西渭南模拟)已知实数a,b满足-3A.-1B.-2C.-2D.012.(多选题)(2026·山东青岛模拟)已知实数x,y满足1≤x-y≤5,3≤3x+y≤11,则下列选项正确的有(　　)
A.x的取值范围是{x|1≤x≤4}
B.y的取值范围是{y|-4≤y≤3}
C.x+y的取值范围是{x+y|-1≤x+y≤5}
D.2x+y的取值范围是{2x+y|1≤2x+y≤8}
参考答案
课时规范练3　等式性质与不等式的性质
1.C　解析 因为M-N=x2-x+3-(x+2)=x2-2x+1=(x-1)2≥0,所以M≥N.
2.B　解析 对于A,由a>|b|>0得a2>|b|2>0,即a2>b2>0,所以,故A正确;对于B,若取a=2,b=-1,则ab=-2,b2=1,此时abb,所以2a>2b一定成立,故C正确;对于D,若b>0,则a>b>0,a+b>0,若b<0,则a>-b>0,故a+b>0,故D正确.故选B.
3.D　解析 由3≤a≤5,-2≤b≤1可得6≤2a≤10,-1≤-b≤2,故5≤2a-b≤12.
4.C　解析 设原来手机屏幕面积为b,整机正面面积为a,则屏占比为(a>b>0),设手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量为m(m>0),升级后屏占比为,因为a>b>0,所以>0,即该手机“屏占比”和升级前比变大.
5.ACD　解析 由a>b,得a-c>b-c,故A正确;取a=-2,b=1满足a2>b2,而a>b不成立,故B错误;由ac2>bc2,得c≠0,c2>0,则a>b,故C正确;由a>b,得a-b>0,则a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)=(a-b)[(a+b)2+b2]>0,故D正确.故选ACD.
6.-2,-1,0(答案不唯一)　解析 若a0时,acbc.“设a,b,c是任意实数,若a7.()　解析 ,
由,2<-2y<6,
所以<-,即<-<3,
所以<1-<4,所以,即.
8.解 由(1)(2) (3),理由如下:
因为,所以>0.
又ab<0,则bc-ad<0,即bc由(1)(3) (2),理由如下:
因为,所以>0.
又bc由(2)(3) (1),理由如下:
因为bc所以,所以.
9.C　解析 由已知及三角形三边关系得所以
则两式相加得0<<4,所以0<<2.故选C.
10.B　解析 对于选项A,,因为m>n>0,所以m-n>0,n(n+2)>0,所以>0,所以,故A错误;对于选项B,因为m>n>0,所以>0,所以m++n,故B正确;对于选项C,当m=0.2,n=0.1时,m-=-9.8<-4.9=n-,故C错误;对于选项D,当m=2,n=1时,<2=,故D错误.故选B.
11.AB　解析 由-312.ACD　解析 不等式1≤x-y≤5,3≤3x+y≤11.对于A,1+3≤(x-y)+(3x+y)≤5+11,即4≤4x≤16,解得1≤x≤4,故A正确;对于B,∵1≤x-y≤5,∴-5≤y-x≤-1,-15≤3(y-x)≤-3.又3≤3x+y≤11,∴-15+3≤3(y-x)+(3x+y)≤-3+11,即-12≤4y≤8,解得-3≤y≤2,故B错误;对于C,∵-5≤y-x≤-1,3≤3x+y≤11,∴-5+3≤(y-x)+(3x+y)≤-1+11,即-2≤2x+2y≤10,解得-1≤x+y≤5,故C正确;对于D,∵-≤-(x-y)≤-(3x+y)≤,又2x+y=-(x-y)+(3x+y),∴-≤-(x-y)+(3x+y)≤,所以1≤2x+y≤8,故D正确.故选ACD.课时规范练2　常用逻辑用语
(分值:86分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2026·山东潍坊高三期中)命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是(　　)
A. x∈R,x2-2x+1<0 B. x∈R,x2-2x+1≤0
C. x∈R,x2-2x+1≤0 D. x∈R,x2-2x+1<0
2.(2023·天津,2)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.(2025·湖南怀化模拟)已知x∈R,则“x>2”是“ln x>0”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.(2021·全国乙,3改编)已知命题p: x∈R,sin x<1,命题q: x∈R,e|x|≥1,则下列说法正确的是(　　)
A.p真q真 B.p真q假 C.p假q真 D.p假q假
5.若p是q的必要不充分条件,q的充要条件是r,则r是p的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(2025·江苏泰州模拟)《墨经》上说:“小故,有之不必然,无之必不然.体也,若有端.大故,有之必然,若见之成见也.”其中“无之必不然”表述的逻辑关系一定是(　　)
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
7.(2025·浙江绍兴二模)已知集合A,B,C均为非空集合.若a∈B是a∈A的充分不必要条件,a∈A是a∈C的充分不必要条件,则a∈B是a∈C的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.(2025·山西忻州模拟)命题“ x∈[-3,-1],x2-a>7”为假命题的一个必要不充分条件是(　　)
A.a≥1 B.a≥0 C.a≥-7 D.a≤0
9.(多选题)(2025·湖北黄石模拟改编)下列命题是真命题的有(　　)
A.“ x∈R,x-2>”是真命题
B.“ x∈R,x2>0”的否定是真命题
C.“至少有一个x使x2+2x+1=0成立”是全称量词命题
D.存在偶函数f(x),使得f(-1)=-f(1)
10.(2025·江苏盐城模拟)集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|x综合提升练
11.(2023·北京,8)若xy≠0,则“x+y=0”是“=-2”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
12.(2026·广东揭阳模拟)在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,则“0°<∠ACB<30°”是“△ABC为锐角三角形”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
13.(2025·河南开封模拟)已知p:|2-3x|≤7;q:x2-4x+4-9m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要条件,则实数m的取值范围是　　　　　.
14.(2025·浙江舟山期末)命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0为假命题”,则实数a的取值范围为.
15.(15分)(2025·浙江杭州模拟)已知命题p: x∈R,x2+2ax-8-6a=0,命题q: x∈[1,2],x2-ln x+k-a≥0.
(1)若当k=0时,命题p和q都是真命题,求实数a的取值范围;
(2)若“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,求实数k的取值范围.
参考答案
课时规范练2　常用逻辑用语
1.D　解析 由题意可得命题“ x∈R,x2-2x+1≥0”的否定是“ x∈R,x2-2x+1<0”.
2.B　解析 由a2+b2=2ab,得(a-b)2=0,所以a=b.所以a2=b2,故必要性成立;又当a=1,b=-1时,满足a2=b2,而a2+b2=2ab不成立,故充分性不成立.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B.
3.A　解析 当x>2时,ln x>ln 2>0,故充分性成立;当ln x>0时,x>1,故必要性不成立,所以“x>2”是“ln x>0”的充分不必要条件.
4.A　解析 易知命题p是真命题,
又当x∈R时,|x|≥0,所以e|x|≥1,即命题q也是真命题,故选A.
5.A　解析 p是q的必要不充分条件,q的充要条件是r,则有q p,pq,q r,则r q p,又由pq,可得pr,则r是p的充分不必要条件,故选A.
6.B　解析 由“小故,有之不必然,无之必不然”,知“小故”是构成事件某一结果的条件或一部分条件,故“小故”是逻辑中的必要条件,所以“无之必不然”所表述的数学关系一定是必要条件.
7.A　解析 由a∈B是a∈A的充分不必要条件,知B是A的真子集,由a∈A是a∈C的充分不必要条件,知A是C的真子集,所以B是C的真子集,即a∈B是a∈C的充分不必要条件.
8.C　解析 命题的否定为“ x∈[-3,-1],x2-a≤7”,若该命题为真命题得a≥=-6,所以a≥-6,所以a≥-7为该命题的一个必要不充分条件.
9.ABD　解析 对于A,当x=9时,x-2=7>=3,该命题是真命题,故A正确;对于B,当x=0时,x2=0,所以“ x∈R,x2>0”是假命题,所以其否定是真命题,故B正确;对于C,“至少有一个”是存在量词,命题为存在量词命题,故C错误;对于D,由于函数f(x)=x2-1是偶函数,且满足f(-1)=0=-f(1),故D正确.故选ABD.
10.[3,+∞)　解析 A={x|x2-2x-3<0}={x|-111.C　解析 充分性:因为xy≠0,且x+y=0,所以x=-y,所以=-1-1=-2,所以充分性成立;
必要性:因为xy≠0,且=-2,所以x2+y2=-2xy,即x2+y2+2xy=0,即(x+y)2=0,所以x+y=0,所以必要性成立.所以“x+y=0”是“=-2”的充要条件.
12.B　解析 在△ABC中,∠ABC=3∠ACB,若△ABC为锐角三角形,
则
解得22.5°<∠ACB<30°,因为{∠ACB|22.5°<∠ACB<30°} {∠ACB|0°<∠ACB<30°},所以“0°<∠ACB<30°”是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件.
13.(0,]　解析 由p:|2-3x|≤7可得-7≤2-3x≤7,即-≤x≤3,由q:x2-4x+4-9m2≤0(m>0)可得(x-2)2≤9m2(m>0),即-3m+2≤x≤3m+2(m>0).
又因为q是p的充分不必要条件,所以(等号不同时成立),解得m∈(0,].
14.(-∞,2+ln 2)　解析 因为“ x∈[1,2],x2+ln x-2a≤0”为假命题,所以命题“ x∈[1,2],x2+ln x-2a>0”为真命题.即 x∈[1,2],x2+ln x>2a成立.令f(x)=x2+ln x,x∈[1,2],因为f'(x)=2x+>0,所以f(x)=x2+ln x在区间[1,2]上单调递增,f(x)max=f(2)=22+ln 2=4+ln 2,所以4+ln 2>2a,即a<2+ln 2.
15.解 (1)若命题p为真命题,则方程x2+2ax-8-6a=0有实数根,
因此Δ=4a2-4(-8-6a)≥0,即a2+6a+8≥0,解得a≤-4或a≥-2;
当k=0时,命题q为真命题,即不等式x2-ln x-a≥0在区间[1,2]上恒成立,亦即a≤x2-ln x在区间[1,2]上恒成立.
令g(x)=x2-ln x,x∈[1,2],则g'(x)=x-≥0,所以g(x)在区间[1,2]上单调递增,最小值为g(1)=,故a≤.因此当命题p和q都是真命题时,实数a的取值范围是(-∞,-4)∪[-2,].
(2)当命题q为真命题时,不等式x2-ln x+k-a≥0在[1,2]上恒成立,由(1)可知a≤+k.当命题p为假命题时,由(1)可知-4因为“命题q为真命题”是“命题p为假命题”的必要不充分条件,所以+k≥-2,解得k≥-.故实数k的取值范围是[-,+∞).课时规范练10　函数的对称性及应用
(分值:77分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·湘豫名校联盟模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数,若函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则g(4)=(　　)
A.1 B.0 C.-1 D.-2
2.(2025·湖南邵阳二模)定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,且f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,设a=f(-9),b=f(),c=(log417),则下列选项正确的是(　　)
A.b3.(2025·四川成都期末)已知函数f(x)=ex+e-x+2,则下列选项正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于点(2,0)对称 B.f(x)的图象关于点(-2,0)对称
C.f(x)的图象关于直线x=1对称 D.f(x)的图象关于直线x=-1对称
4.下列函数中,其图象与函数y=x2+2x的图象关于点(1,0)对称的是(　　)
A.y=-x2-2x B.y=-x2-2x+2
C.y=x2-6x+8 D.y=-x2+6x-8
5.(2025·河北名校联盟模拟)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)的图象关于点(0,y0)对称,则下列选项正确的是(　　)
A.a+2b=0 B.2a+b=0
C.y0=()3 D.y0=()3
6.(2025·河南开封模拟)已知定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,且f(x)满足f(x)=f(4-x),f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,f(4)+f(0)=0,则关于x的不等式<0的解集为(　　)
A.(0,2) B.(0,2)∪(2,4)
C.(2,4) D.(0,2)∪(4,+∞)
7.(2025·四川成都模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,且当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),则下列不等式正确的是(　　)
A.f(log27)B.f(log27)C.f(-5)D.f(-5)8.(2025·辽宁沈阳二模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,若g(-1)=3,则f(3)=(　　)
A.-3 B.-1
C.0 D.1
9.(多选题)(2025·湖南师大附中模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=0,且y=f(2-x)为偶函数,则下列说法一定正确的有(　　)
A.函数f(x)的周期为2
B.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
C.函数f(x)为偶函数
D.函数f(x)的图象关于直线x=3对称
10.(2025·安徽阜阳模拟)若函数f(x)=(x+3)(2x2+mx+n)对于 x∈R都有f(2-x)+f(x)=0,则2m+n=　　　　　.
11.(2025·广东云浮模拟)已知函数f(x+1)是定义在R上的奇函数,当x1,x2∈R且x1≠x2时,都有>0成立,则不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为　　　　　.
综合提升练
12.(2026·河南郑州模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)为奇函数.若函数g(x)=的图象与f(x)的图象的公共点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(x2 026,y2 026),则(xi+yi)= (　　)
A.4 052 B.4 050
C.2 026 D.2 025
13.(多选题)(2025·河北沧州模拟)定义在R上的奇函数f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称,则下列选项正确的有(　　)
A.函数f(x)的图象关于点(1,0)对称
B.函数g(x)的图象关于点(2,0)对称
C.函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称
D.函数f(x-1)与g(x+1)的图象关于直线x=1对称
14.(2025·山东临沂模拟)已知定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,1]上单调递增,若函数f(x+1)为偶函数,且f(3)=0,则不等式xf(x)>0的解集为　　　　　.
15.(2025·湖南长沙三模)已知函数f(x)和g(x)的定义域均为R,且y=f(4+x)为偶函数,y=g(x+4)+1为奇函数,若 x∈R,均有f(x)+g(x)=x2+1,则f(7)·g(7)=　　　　　.
参考答案
课时规范练10　函数的对称性及应用
1.B　解析 根据题意,函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0.函数y=g(x+2)与y=f(x)的图象关于点(1,0)对称,则f(x)+g(2+2-x)=0,即f(x)+g(4-x)=0,所以g(4)=-f(0)=0.
2.A　解析 因为定义在R上的函数f(x)满足f(x)-f(2-x)=0,所以f(x)=f(2-x),即f(x)的图象关于直线x=1对称,所以a=f(-9)=f(11).又f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,<23.C　解析 因为f(x)+f(4-x)=ex+e-x+2+e4-x+ex-2≠0,故A错误;因为f(x)+f(-4-x)=ex+e-x+2+e-4-x+ex+6≠0,故B错误;由f(x)-f(2-x)=ex+e-x+2-(e2-x+ex)=0,所以f(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;因为f(0)=1+e2≠f(-2)=e-2+e4,故D错误.
4.D　解析 设P(x,y)为所求函数图象上的任意一点,则点P关于点(1,0)对称的点为Q(2-x,-y),由题意知点Q在y=x2+2x的图象上,可得-y=(2-x)2+2(2-x),整理得y=-x2+6x-8,即所求函数解析式为y=-x2+6x-8.故选D.
5.B　解析 因为f(x)的图象关于点(0,y0)对称,所以f(x)+f(-x)=2y0①,
令x=0,可得f(0)+f(0)=2y0,
所以y0=f(0)=-a2b.由①可得(x-a)2(x-b)+(-x-a)2(-x-b)=-2a2b,化简得-(4a+2b)x2=0,要使得该等式恒成立,则2a+b=0.
6.D　解析 由f(x)=f(4-x)得f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(0)=f(4),所以f(4)+f(0)=2f(4)=0,解得f(4)=f(0)=0,由f(x)在区间(-∞,2)上单调递减,可知f(x)在区间(2,+∞)上单调递增,由<0可得解得04,不等式<0的解集为(0,2)∪(4,+∞).
7.C　解析 因为奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)=-f(-x),f(2-x)=f(x),所以f(2-x)=-f(-x),即f(2+x)=-f(x),所以f(4+x)=f(x),即函数f(x)的周期T=4,当x∈[0,1]时,f(x)=log2(x+1),log27∈(2,3),所以log27-2∈(0,1),即log2∈(0,1),所以f(log27)=-f(log27-2)=-f(log2)=-log2(log2+1)=-log2(log2).又18.B　解析 由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称可知,g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),可得f(2-x)=f(2+x),因此函数f(x)的图象关于直线x=2对称,由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,由f(x)为R上的偶函数且f(x)的图象关于直线x=2对称,可得f(3)=f(1)=f(-1)=-1.
9.BC　解析 依题意定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),则f(x+4)=-f(x+2)=f(x),则函数f(x)的周期为4,故A错误;因为函数y=f(2-x)是偶函数,则f(2-x)=f(2+x),则函数f(x)的图象关于x=2对称,所以f(2-x)=-f(x),即f(2-x)+f(x)=0,函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,故B正确;由f(2-x)=f(2+x)得f(-x)=f(4+x)=f(x),则函数f(x)为偶函数,故C正确;由f(x+2)+f(x)=0得f(x+3)+f(1+x)=0,由f(2-x)=f(2+x)得f(3-x)=f(1+x),因此f(x+3)+f(3-x)=0,函数f(x)的图象关于点(3,0)对称,故D错误.故选BC.
10.-14　解析 由对于 x∈R都有f(2-x)+f(x)=0,得函数f(x)图象的对称中心为(1,0),显然f(-3)=0,则f(5)=0,于是f(x)=2(x+3)(x-1)(x-5)=(x+3)(2x2-12x+10),因此m=-12,n=10,
所以2m+n=-24+10=-14.
11.(-∞,-1)　解析 当x1,x2∈R且x1≠x2时,都有>0成立,则f(x)在R上单调递增.又f(x+1)是定义在R上的奇函数,所以y=f(x)的图象关于点(1,0)对称.由不等式f(-3x)+f(2x+1)>0,可得-3x+2x+1>2,解得x<-1,故不等式f(-3x)+f(2x+1)>0的解集为(-∞,-1).
12.C　解析 因为g(x)=的图象是由函数y=的图象向右平移1个单位长度得到,则g(x)的图象关于点(1,0)中心对称,由f(x+1)为奇函数,则f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)的图象关于点(1,0)中心对称,故对函数g(x)与f(x)任一交点(x,y),总存在(2-x,-y)也是其交点,则xi=1 013(x+2-x)=2 026,yi=1 013(y-y)=0,则(xi+yi)=xi+yi=2 026.
13.ACD　解析 因为f(x+1)是奇函数,则f(x+1)+f(-x+1)=0,则f(x)的图象关于点(1,0)对称,故A正确;因为奇函数f(x+1)的图象关于原点对称,函数f(x+1)与g(x-1)的图象关于直线x=1对称,则g(x-1)的图象关于点(2,0)对称,得g(x-1)+g(4-x-1)=0 g(x-1)+g(3-x)=0,得g(x)的图象关于点(1,0)对称,故B错误;由f(x+1)与函数g(x-1)的图象关于直线x=1对称得f(x+1)=g(2-x-1),即f(x+1)=g(1-x),所以函数f(x)与g(x)的图象关于直线x=1对称,故C正确;f(x+1)=g(2-x-1),即f((x+2)-1)=g(1-x),得函数f(x-1)与g(x+1)的图象关于直线x=1对称,故D正确.故选ACD.
14.(-∞,-1)∪(0,3)　解析 因为f(x)定义域为R,且f(x+1)为偶函数,则f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称.因为f(3)=0,则f(-1)=f(3)=0,根据已知区间单调性和对称性知,当x>0时,由f(x)>0得00的解集为(-∞,-1)∪(0,3).
15.621　解析 由y=f(4+x)为偶函数有f(4-x)=f(4+x),因为y=g(x+4)+1为奇函数,所以g(-x+4)+1=-[g(x+4)+1],即g(4-x)+g(4+x)=-2,因为f(x)+g(x)=x2+1,
所以
化简得g(4-x)-g(4+x)=-16x.
又g(4-x)+g(4+x)=-2,解得g(4+x)=8x-1,即g(x)=8x-33,
所以g(7)=8×7-33=23.
又f(7)+g(7)=72+1=50,
所以f(7)=50-g(7)=50-23=27,
所以f(7)·g(7)=23×27=621.课时规范练1　集合
(分值:80分)
(单选题每小题5分,多选题每小题6分,填空题每小题5分)
基础巩固练
1.(2025·天津,1)设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3},B={2,3,5},则 U(A∪B)=(　　)
A.{1,2,3,4} B.{2,3,4}
C.{2,4} D.{4}
2.(2024·北京,1)已知集合M={x|-3A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>-3}
C.{x|-33.(2022·全国乙,理1)设全集U={1,2,3,4,5},集合M满足 UM={1,3},则(　　)
A.2∈M B.3∈M
C.4 M D.5 M
4.(2025·全国2,3)已知集合A={-4,0,1,2,8},B={x|x3=x},则A∩B=(　　)
A.{0,1,2} B.{1,2,8}
C.{2,8} D.{0,1}
5.(2025·山东青岛三模)若集合A={x|x=,k∈Z|,B={x|x=,k∈Z},则(　　)
A.A B B.B A
C.A=B D.A∩B=
6.(2025·北京海淀一模)已知集合U={x||x|>1},A={x|x≥2},则 UA=(　　)
A.(-∞,2) B.(-∞,-1)∪(1,2]
C.(-∞,2] D.(-∞,-1)∪(1,2)
7.(2025·湖南沅澧共同体一模)设集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},则集合A∩B中元素的个数为(　　)
A.6 B.5
C.4 D.3
8.(2025·江西景德镇模拟)已知全集U=A∪B={1,2,3,4},( UA)∪( UB)={1,4},则A∩B=(　　)
A. B.{2,3}
C.{1,4} D.{1,2,3,4}
9.(2026·安徽合肥模拟)已知集合A={x|x<-1或x>0},B={x|m-1A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-3,1)
C.(-2,0) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)
10.(2024·上海杨浦模拟)已知集合A={x,x2+1,-1}中的最大元素为2,则实数x=　　　　　.
综合提升练
11.(2025·湖南益阳模拟)定义集合运算A B={x|x∈A∪B且x A∩B},A={1,2,3},B={2,3,4},则以下集合是A B的正确结果为(　　)
A.{1,4} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{1,3,4}
12.(2026·湖南长沙模拟)已知m∈R,n∈R,若集合={m2,m+n,0},则m2 026+n2 026= (　　)
A.0 B.1
C.-1 D.1或-1
13.(2026·湖北荆州中学模拟)设全集U=R,A={-2,-1,1},B={x|x2-x≤0},则图中阴影部分表示的集合为(　　)
A.{-2,-1} B.{-1,1}
C.{-2,1} D.{-2,-1,1}
14.(2025·四川眉山期中)高三(1)班有12名同学读过《牡丹亭》,有8名同学读过《醒世恒言》,两者都读过的同学有4名,则该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有(　　)
A.16人 B.18人
C.20人 D.24人
15.(2025·山东枣庄二模)已知全集为U,集合A,B是U的两个子集,若A∩B≠ ,则下列运算结果为A的子集的是(　　)
A.A∪B B.( UA)∩B
C.A∩( UB) D.( UA)∪( UB)
16.(2025·山东菏泽模拟)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“全食”;若两个集合有公共元素,但互不为对方的子集,则称两个集合构成“偏食”.对于集合A={-1,,1},B={x|ax2=1,a≥0},若这两个集合构成“全食”或“偏食”,则实数a的值为　　　　　.
参考答案
课时规范练1　集合
1.D　解析 ∵A∪B={1,2,3,5},
∴ U(A∪B)={4}.故选D.
2.C　解析 由题意得M∪N={x|-33.A　解析 ∵U={1,2,3,4,5}, UM={1,3},∴M={2,4,5},∴2∈M,3 M,4∈M,5∈M.故选A.
4.D　解析 由题意得B={-1,0,1},所以A∩B={0,1}.故选D.
5.A　解析 因为集合A={x|x=,k∈∈Z},B={x|x=,k∈Z},则A B.
6.D　解析 U={x||x|>1}={x|x<-1或x>1},A={x|x≥2},所以 UA={x|x<-1或17.C　解析 因为集合A={(x,y)|x∈N*,y∈N*,y≥x},B={(x,y)|x+y=9},所以集合A∩B中元素为(4,5),(3,6),(2,7),(1,8),共4个.
8.B　解析 因为U=A∪B={1,2,3,4},( UA)∪( UB)= U(A∩B)={1,4},
所以A∩B={2,3}.
9.C　解析 集合A={x|x<-1或x>0},B={x|m-110.1　解析 因为x2+1-x=(x-)2+>0,所以x2+1>x,所以x2+1=2,解得x=1或x=-1,显然当x=-1时,不满足集合元素的互异性,故舍去,经检验x=1符合题意.
11.A　解析 因为A={1,2,3},B={2,3,4},所以A∪B={1,2,3,4},A∩B={2,3},所以A B={1,4}.
12.B　解析 因为0∈,m≠0,所以=0,故n=0,此时集合为{m,0,1}={m2,m,0},根据集合相等,必有m2=1,解得m=1或m=-1.当m=1时,不满足集合元素的互异性;当m=-1时,集合为{-1,0,1},符合条件.所以m2 026+n2 026=(-1)2 026+02 026=1.故选B.
13.A　解析 因为A={-2,-1,1},B={x|x2-x≤0}={x|0≤x≤1},所以阴影部分表示的集合为A∩( RB)={-2,-1}.故选A.
14.A　解析 设集合A=“高三(1)班读过《牡丹亭》的学生”,其元素个数记为card(A);集合B=“高三(1)班读过《醒世恒言》的学生”,其元素个数记为card(B);则card(A)=12,card(B)=8,card(A∩B)=4,则card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=12+8-4=16.故该班学生中至少读过《牡丹亭》和《醒世恒言》中的一本的学生有16人.
15.C　解析 作出Venn图,如图,
显然A A∪B,A∩( UB) A,故A错误,C正确;若( UA)∩B≠ ,则( UA)∩B不是A的子集,故B错误;若( UA)∪( UB)≠ ,则( UA)∪( UB)不是A的子集,故D错误.故选C.
16.0或1或4　解析 若a=0,则B= ,满足B为A的子集,此时A与B构成“全食”;若a>0,则B={x|x2=}={,-},由A与B构成“全食”或“偏食”,得=1或,解得a=1或a=4.综上,实数a的值为0或1或4.

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