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山东省德州市武城县2025-2026学年上学期第一次月考八年级数学试题
一、单选题
1．下列各组图形中，属于全等形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．下面四个图形中，线段是的高的是（ ）
A． B． C． D．
4．某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，下面甲、乙、丙三个三角形和全等的是（ ）
A．甲和乙 B．乙和丙 C．乙 D．丙
6．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，要说明，需要证明和全等，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
7．下面说法不正确的个数有（ ）
①三条线段组成的图形叫三角形；②如果，那么是直角三角形；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④三角形的三个内角中，至少有两个锐角；⑤如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形一定是钝角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，那么（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示，，，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，、分别是的高和角平分线，与相交于，平分交于，交于，连接交于，且．有下列结论：①；②；③；④．其中，正确的结论是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．双人漫步机是一种有氧运动器材，通过进行心血管健康的有氧运动，如慢跑、快走等，可以增强人体的心肺功能，降低血压、改善血糖．一般都会采用如图所示的方法固定，这种固定的方法应用的几何原理是________．
12．与如图摆放，点A，E，F，C在同一条直线上，且，若要利用“”证明，则需要添加条件________．
13．如图，是的边上的中线，是的边上的中线，若的面积是，则的面积是________．
14．如图，将直尺与含角的直角三角尺摆放在一起，若比的2倍少，则的度数是________．
15．如图，，，，点P在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点向点运动，设运动时间为，则当与全等时，点的运动速度为________．
三、解答题
16．一个等腰三角形的一边长为5，周长为23，求其他两边的长．
17．如图，点B，D在线段上，，，，求证：．
18．如图，在中，是角平分线，点在边上（不与点重合），连接交于点．
(1)若是中线，，，求与的周长差；
(2)若是高，，求的度数．
19．如图，在中，于点D，E为边上一点，且，．连接并延长交于点E．
(1)若，，求的面积；
(2)试判断与之间的位置关系，并说明理由．
20．如题图，已知．
(1)请根据“”作，使，其中点D在右侧，且（要求：尺规作图，只保留作图痕迹，不要求写出作法）：
(2)若，比的2倍小，求的度数．
21．如图2是小枫荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴到地面的距离．小枫在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点时，测得点到的距离，点到地面的距离，当他从处摆动到处时，若．求：
(1)点到的距离．
(2)点到地面的距离．
22．综合与实践
【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，，点D为边上的中点，试求中线的取值范围．
【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1．请根据小明同学的方法思考：
(1)由已知条件和作辅助线，能得到，理由是________．
A． B． C． D．
(2)由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为________．
【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】
(3)如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为M，若，，试求的长度．
23．回答问题：
(1)【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
(2)【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
参考答案
1．B
解：根据全等图形的概念可得：选项B的图形是全等形．
故选：B．
2．D
【详解】A、，不能摆成一个三角形，不符合题意；
B、，不能摆成一个三角形，不符合题意；
C、，不能摆成一个三角形，不符合题意；
D、，能摆成一个三角形，符合题意；
故选：D．
3．D
解：A、B、C选项中线段不能表示任何边上的高，
故选：D．
4．D
解：∵椅子腿和的长度相等，是它们的中点，
∴，，
在与中 ，
，
∴
∴，
故选：．
5．B
解：甲三角形只知道两条边长对应相等，但角无法对应，无法判断是否与全等；
乙三角形夹内角及其两边分别与已知三角形对应相等，故乙与全等；
丙三角形内角及所对边与对应相等且均有内角，可根据判定丙与全等；
则与全等的有乙和丙，
故选：B．
6．B
解：由作法知：，，
∴，
∴，
即；
故选：B．
7．C
解：不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接形成的图形叫三角形；故①说法错误；
如果，则：，那么是直角三角形；故②说法正确；
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；故③说法错误；
三角形的三个内角中，至少有两个锐角；故④说法正确；
如果一个三角形只有一条高在三角形的内部，那么这个三角形可能是钝角三角形，也可能是直角三角形；故⑤说法错误；
综上：错误的有3个；
故选C．
8．D
解：∵，，
∴，
∵是中的平分线，是的外角的平分线，
∴，
∴，
∴．
故选：D
9．B
解：∵，
∴，即，
在和中，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B
10．B
解：∵是的高，
∴，
∴，
∵是的角平分线， 平分，
∴，
∴，
故①正确；
∵是的高，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，是的角平分线，
∴，，
∴，
∵
∴，
∴，
∵
∴，
故②正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
延长交于点N，
∵
∴，
∴，
∴，
∵，是钝角，
∴，
∴，
故不成立，
故③错误，
故选：B
11．三角形具有稳定性
解：这种固定的方法应用的几何原理是三角形具有稳定性
故答案为：三角形具有稳定性．
12．
解：添加的条件为，证明如下：
∵，
∴，
又∵，，
∴，
故答案为：．
13．8
【详解】由题意知，，
是的边上的中线，
，
，
又是的边上的中线，
，
．
故答案为：．
14．/125度
解：∵将直尺与含角的直角三角尺摆放在一起，若比的2倍少，
∴，
∵，
∴，
可知三角板的另一个锐角为，根据三角形的外角性质得，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．或
解：设点的运动速度为时，与全等，
则有，，，
当时，
可得：，，
，，
，
解得：，
点的运动速度为；
当时，
可得：，，
，
解得：，
点的运动速度为；
综上所述，点的运动速度为或．
故答案为：或．
16．其他两边为9cm，9cm．
【详解】若长为5的边是腰, 设底边长为xcm,则2×5+x=23，解之得x=13．
∵5+5＜13∴长度为5,5,13的三条线段不能组成三角形.
若长为5的边是底边, 设腰长为xcm,则2 x+5=23,解之得x=9.
∵5+9＞9∴长度为5,9,9的三条线段能组成三角形.
答：其他两边为9cm,9cm.
17．见解析
【详解】证明：
即
在和中
，
18．(1)
(2)
（1）解： 的周长，的周长，
与的周长差，
是的中线，
，
，，
答：与的周长差为；
（2）解：是的平分线，，
，
是的高，
，
．
19．(1)
(2)，见解析
（1）解：，
，
在和中，
，
，
又，
．
；
（2）解：．理由：
，
，
，
，
，
．
．
．
20．(1)如图：
(2)
（1）解：以点C为顶点，为的一条边，作，，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵比的2倍小，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）可得，，
∴．
21．(1)点到的距离是
(2)点到地面的距离为
（1）解：如图所示，过点作，垂足为F．
，，
在中，．
又，
在和中，
．
．
由题意，知，，，
，
，即点到的距离是．
（2）解：如图所示，过点作，垂足为．
由（1），知
由题意，知，，
，
即点到地面的距离是．
22．(1)A
(2)
(3)
（1）解：是边上的中线，
，
在和中，
，
，
故选A；
（2）解：，即，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：延长，交于点，
平分，
，
，
在和中，
，
，．
在和中，
，
．
，
，
，，
．
23．(1)
(2)
仍成立，理由：延长到点G， 使，连接，
∵，
，
在和中，
，
∴，
，
∵，
，
在和中，
，
∴，
；
(3)
，证明如下：
在延长线上取一点G，使得，连接，
∵，
在和中
，
∴，
，
∵，
，
在和中
，
∴，
，
∵，
，
∴，即，
∴．
（1）解：延长到点G， 使，连接，
在和中，
，
∴，
，
∵，
，
在和中，
，
∴，
；
故答案为：；
（2）略
（3）略

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