资源简介

(共5张PPT)
第一章 勾股定理 单元测试·基础卷 试卷分析
一、单选题
1 0.85 判断三边能否构成直角三角形
2 0.78 以直角三角形三边为边长的图形面积
3 0.65 利用勾股定理证明线段平方关系
4 0.65 以弦图为背景的计算题；完全平方公式在几何图形中的应用
5 0.65 求旗杆高度(勾股定理的应用)
6 0.65 判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形
7 0.65 在网格中判断直角三角形
8 0.65 勾股定理与折叠问题
9 0.65 平行线的性质在生活中的应用；解决航海问题(勾股定理的应用)
10 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)
二、填空题
11 0.85 以直角三角形三边为边长的图形面积
12 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
13 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；判断三边能否构成直角三角形；用勾股定理解三角形
14 0.65 利用勾股定理的逆定理求解；用勾股定理解三角形
15 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)
16 0.65 判断是否受台风影响(勾股定理的应用)
三、解答题
17 0.85 用勾股定理解三角形
18 0.85 利用勾股定理证明线段平方关系；用勾股定理解三角形
19 0.77 利用勾股定理的逆定理求解；用勾股定理解三角形
20 0.65 用勾股定理构造图形解决问题
21 0.65 求旗杆高度(勾股定理的应用)
22 0.65 勾股定理逆定理的拓展问题；用勾股定理解三角形
23 0.65 求梯子滑落高度(勾股定理的应用)；用勾股定理解三角形
24 0.65 求最短路径(勾股定理的应用)保密★启用前
2026—2027学年八年级数学上学期单元测试卷
第一章勾股定理单元测试·基础卷
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列各组数分别是一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．6，7，8 B．7，15，16 C．13，5，12 D．10，15，20
2．1995年，希腊为纪念毕达哥拉斯学派发行了如图1所示的邮票，图案中间的直角三角形由三个正方形顶点相连构成．图2是小华模仿这个图形结构所画的图，则图2中三个正方形的面积可能取值为（ ）
A．3，4，5 B．5，6，11 C．6，8，15 D．7，12，14
3．如图，在四边形中，，那么下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成的图形，若大正方形的面积41，小正方形的面积是1，设直角三角形较长的直角边为b，较短的直角边为a，则的值是（　　）
A．9 B．8 C．7 D．6
5．勾股定理是一种用代数思想解决几何问题的重要工具.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直.设绳索的长是，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，下列说法正确的是（ ）
A．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形
B．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形
C．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形
D．长分别为，，的三条线段一定能组成一个直角三角形
7．如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
9．海上巡逻是维护国家海洋权益的有效手段．如图，我军巡逻舰队在点A处巡逻，突然发现在南偏东方向距离15海里的点B处有可疑目标正在以16海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻舰队立即沿直线追赶，半小时后在点C处将其追上，则我军巡逻舰队的航行速度为（ ）
A．16海里小时 B．20海里小时 C．32海里小时 D．34海里小时
10．如图所示，圆柱底面半径为，高为，点分别是圆柱两底面圆周上的点，且在同一高线上，用一根棉线从点顺着圆柱侧面绕3圈到点，则这根棉线的长度最短为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 18 分）
11．中，，分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，则_____．
12．如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？”意思是：一根竹与地面垂直，原高一丈（一丈＝十尺），折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为________尺．
13．如图，在中，点在边上，已知，，，点在上，且，若，则的长为______．
14．如图，在四边形中，，，，，则四边形的面积是______．.
15．消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为15米，完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近移动到C，请问______米．
16．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，在中，点D在边上，且，若，，，求的长．
18．如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接

(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
19．如图，四边形中，，，，，．
(1)判断的形状；
(2)求四边形的面积．
20．在《算法统宗》中，有一道“荡秋千”的问题，其大意为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，若秋千的绳索始终处于拉直状态，求绳索的长度．
21．小华同学在公园放风筝，如图1所示，其中点为风筝所在的位置，为牵线放风筝的手到风筝的水平距离，为风筝线的长度，为风筝到地面的垂直距离，测得长为24米，根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米，小华的身高为1.8米．
(1)在图1中根据测量数据，计算出此时风筝离地面的垂直高度．
(2)如图2，若想要风筝沿方向再上升8米到达点，且风筝线的长度不变，则他应该朝射线方向前进多少米？
22．定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
23．“安全重于泰山，生命高于一切”．某地一楼房发生火灾，消防员用消防车上的云梯救人．如图，消防车高米（即米），施救点距离地面的高度为米，此时云梯的长度为米．
(1)求云梯底部到楼房的距离．
(2)消防员发现在处上方米的处有人未撤离，为了救出处的被困人员，在云梯长度不变的情况下，云梯底部需沿方向前进多少米？
24．如图，某个储存油罐为圆柱形，油罐外设置了旋梯，供操作人员上下油罐使用．为保障操作人员安全，旋梯上全部安装了扶手．旋梯上某位置有一个平台，将旋梯分成两段，该平台的长度约为．若油罐高约，油罐底面圆直径约为，且顶处的扶手位置处于底面扶手正对面上．
(1)若平台在旋梯中间位置，即平台到地面的距离为，求旋梯的扶手长度的最小值．
(2)若平台在旋梯中间偏上的某位置，求旋梯的扶手长度的最小值．（本题（1）（2）中）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D A D A A B D A
1．C
解：A、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、，不能构成直角三角形，故此选项错误；
C、，能构成直角三角形，故此选项正确；
D、，不能构成直角三角形，故此选项错误．
2．B
本题考查了勾股定理的应用，由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，即可得出正确选项．
解：由正方形的面积结合勾股定理可知，图2中两个较小正方形的面积等于最大正方形的面积，
∴A项：，不满足要求，不符合题意；
B项：，满足要求，符合题意；
C项：，不满足要求，不符合题意；
D项：，不满足要求，不符合题意，
故选：B．
3．D
本题考查勾股定理，设与交于点，根据勾股定理得到，，，，则，整理得，据此求解即可．
解：设与交于点，
∵，
∴，，，，
∴，
整理得，
故选：D．
4．A
首先求出四个直角三角形的面积，即可得到的值，根据勾股定理可以求得等于大正方形的面积，然后根据即可求解．
解：因为大正方形的面积是41，小正方形的面积是1，
所以一个小三角形的面积是，，
所以，即，
所以．
所以．
5．D
本题考查了勾股定理的应用，由题意可知，，，，设，根据勾股定理列方程求解即可．
解：由题意可知，，，，
∴
设，则，
由勾股定理得：，
∴，
故选：D．
6．A
本题需依据勾股定理及其逆定理，结合直角三角形三边关系，对各选项逐一验证判断即可．
解：∵直角三角形的两条直角边长为a，b，斜边长为c，
∴，
A、∵
∴长为的三条线段满足勾股定理逆定理，能组成直角三角形；
B、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，
∵，，，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形；
C、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，
∵，，，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
D、举反例，取原直角三角形三边为，则新三边为，
∵，，，
∴不满足勾股定理逆定理，不能组成直角三角形．
故选：A．
7．A
本题考查的是勾股定理及其逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
根据勾股定理及其逆定理对各选项进行逐一判断即可．
解： A、如图：
，，，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、如图：
，，，
是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
8．B
根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解．
解：在长方形中，，，
∴，
由折叠的性质得：，，
∴，，
设，则，
在中，∵，
∴，
解得：，
即．
9．D
本题考查了勾股定理的应用，平行线的性质，正确理解题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据平行线的性质求得，并推得，再根据勾股定理求解即可．
解：如图，由题意知，，，
，
，
，
根据题意，（海里），（海里），
（海里），
我军巡逻舰队的航行速度为（海里小时）．
故选：D．
10．A
本题考查了圆柱侧面展开图以及勾股定理，先将圆柱侧面展开，找出棉线绕圆柱侧面3圈的路径在展开图中的表示，然后利用勾股定理求出这条路径的长度，就是棉线的最短长度．
解：圆柱体的展开图如图所示，
最短路线是：，
即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，从点沿着3个长方形的对角线运动到的路线最短，
∵底面半径为，
∴底面周长为，
又∵圆柱高为，
∴小长方形的一条边长是：，
即，
，
∴最短为．
故选：A．
11．25
根据正方形面积等于边长的平方，结合勾股定理建立等量关系求解．
解：∵分别以为边作正方形，面积分别为9，16，x，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴， 解得．
12．3.2
本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，知道竹子折断后刚好构成一个直角三角形是解题的关键．
设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，根据题意结合勾股定理列出方程即可求解．
解：设折断处离地面的高度为x尺，则折断处离竹梢的距离为尺，
则由勾股定理可得，，
解得，
即折断处离地面的高度为3.2尺，
故答案为：3.2．
13．
本题考查了勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，由勾股定理的逆定理可得为直角三角形，即得，进而由可得，最后根据勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
14．4
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
解：连接，
在中，，
由勾股定理可得：
在中，
是直角三角形，
故答案为：．
15．8
本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．在△中，根据勾股定理求出的长，在△中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论．
解：在△中，
米，米，
（米，
米，米，
（米，
（米，
（米．
故答案为：8．
16．24
过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可．
解：如图，过点作，上取点，，使，
由题意可得，，
当火车到点时对处产生噪音影响，此时，
由勾股定理得：，
∴受噪音影响共有，
∴点处受噪音影响的时间为．
17．
本题考查的是勾股定理的应用，先求解，进一步可得答案．
解：∵，，，
∴，
∵，
∴．
18．(1)
证明：∵D是斜边的中点，，
∴是线段的垂直平分线，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴，
即.
(2)14
（1）由线段垂直平分线的性质可得，在利用勾股定理建立线段的平方关系，再等量代换即可求证；
（2）在中，由勾股定理得的长度，结合线段垂直平分线的性质即可求解．
（1）略
（2）解：∵D是斜边的中点，，
∴.
在中，由勾股定理得，
∴.
又∵，
∴，
∴的周长为.
本题考查了勾股定理的应用、线段垂直平分线的性质等知识点．熟记相关结论是解题关键．
19．(1)是直角三角形
(2)36
本题主要考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
（1）由勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，据此即可求得答案；
（2）由，代入即可得出结论．
（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，
是直角三角形．
（2）解：在中，
，
在中，
．
．
20．绳索的长为
解：由题意知：四边形是长方形，是直角三角形，
，
又，
，
设绳索的长为，
则，，
在中，，
，
解得：，
答：绳索的长为．
21．(1)此时风筝离地面的垂直高度为米
(2)他应该朝射线方向前进4米
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理公式．
（1）首先根据勾股定理求出米，进而求解即可；
（2）首先得到米，米，然后根据勾股定理求出米，进而求解即可．
（1）解：中，
米，
米，
答：此时风筝离地面的垂直高度为米；
（2）解：米，
由题意可得：米，
中，
米，
米．
答：他应该朝射线方向前进4米．
22．(1)
是．理由如下：
∵AM2＋BN2＝1.52＋22＝6.25，MN2＝2.52＝6.25，
∴AM2＋NB2＝MN2，
∴AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．
(2)BN＝12或13
（1）根据勾股定理逆定理，即可判断点M、N是线段AB的勾股分割点．
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，分三种情形①当AM为最大线段时，依题意AM2＝MN2＋BN2，②当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，③当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2，分别列出方程即可解决问题．
（1）略
（2）设BN＝x，则MN＝30 AM BN＝25 x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2＝AM2＋NB2，
即（25 x）2＝x2＋25，
解得x＝12；
②当BN为最大线段时，依题意BN2＝AM2＋MN2．
即x2＝25＋（25 x）2，
解得x＝13，
综上所述，BN＝12或13．
本题考查了勾股定理的逆定理的运用，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
23．(1)米
(2)米
本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
（1）根据已知求得，在中，根据勾股定理，即可求得的长；
（2）根据勾股定理求得，根据，即可求解．
（1），，
．
在中，
（米）
答：云梯底部到楼房的距离为米．
（2）由题意，得，
由（1）可知
．
在中，
米
由（1）可知
米
答：云梯底部需沿方向前进米．
24．(1)
(2)
本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解决本题的关键．
（1）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解；
（2）由题意得，将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度，即最小，进而通过勾股定理即可求解．
（1）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为，
∴，
∵，
∴，
∴旋梯的扶手长度
；
（2）解：由题意得，将圆柱油罐的一半进行展开，此时A处为顶部扶手，E处为底部扶手，如下，
将平台平移至线段上，再向右平移使点C与点E重合，此时旋梯的扶手长度最小，如下图，
∵油罐底面圆直径约为，
∴，
∵，
∴，
∴旋梯的扶手长度
．
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