资源简介

2025级高一下学期期中检测
数学试题
一、单选题
1. 复数（为虚数单位）的虚部为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意虚部为．
2. 等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：.
3. 如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：A中图形绕轴旋转可得由一个圆台挖去一个圆柱的组合体；
B中图形绕轴旋转可得圆锥；
C中图形绕轴旋转可得由一个圆柱挖去两个圆台的组合体；
D中图形绕轴旋转可得由两个圆台挖去一个圆柱的组合体.故选A.
4. 已知平面向量，，若与垂直，则实数（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：已知平面向量，，则
若与垂直，则，即，解得，故C正确.
5. 为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向左平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向右平移个单位
答案：B
解析：，
故只需把函数的图象向左平移个单位即可.
6. 已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A. 若，，则. B. 若，，则.
C. 若，，，则 D. 若，，则
答案：D
解析：对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；
对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；
对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；
对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，
由得，而，得，故D项正确．
7. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：令，得，
则函数在上单调递增，
当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是；
不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是.
8. 如图，圆锥的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，，
所以，，
设圆锥底面半径为，
则，，
所以圆锥的高为，
所以圆锥体积为．
二、多选题
9. 设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
答案：ABD
解析：对于A，因为，是平面内两个不共线的向量，且，，
所以与为不共线的两个向量，所以与可作为该平面内一组基底，所以A正确；
对于B，若与共线，则，所以，
因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解，
所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以B正确；
对于C，因为，，所以，
所以与共线，所以与不能作为该平面内一组基底，所以C错误；
对于D，若与共线，则，所以，
因为，是平面内两个不共线的向量，所以，方程组无解，
所以与不共线，所以与可作为该平面内一组基底，所以D正确.
故选：ABD.
10. 若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（ ）
A. B. 点是函数的对称中心
C. 函数在上单调递增 D. 直线是函数图象的对称轴
答案：AB
解析：的两条相邻对称轴距离为.
，..
，，又，则.
.选项A正确；
选项B：由，
可得函数对称中心的横坐标：.
当时，对称中心为.B正确；
选项C：当时，，，
在上不递增，C错误；
选项D：由，.
可得对称轴：，.不是对称轴.
或验证法把代入得，不是对称轴.
D错误；
故选：AB.
11. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
答案：ABD
解析：A项，如图，连接.
，，，
且平面，
平面，平面，
，同理，，
，且平面，
直线平面，故A正确；
B项，，且，
四边形是平行四边形.
，平面，平面，
平面，点P在线段上运动，
到平面的距离，即点到平面的距离，其为定值，
又的面积是定值，
三棱锥的体积为定值.
不妨设正方体的棱长为，
则，
即三棱锥的体积为定值，故B正确；
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系.
点P在线段上运动，则可设，
则.
C项，，．
所以，
，
因为，则，，
，因为异面直线与所成角为锐角或直角，
故与所成角的取值范围为，故C错误；
D项， ，．
由A选项正确，可知是平面的一个法向量，
直线与平面所成角的正弦值为
，
当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确．
故选：ABD.
三、填空题
12. 已知复数是实数，则_____
答案：
解析：由题意知，，
因为是实数，根据实数的定义：复数的虚部系数为，
可得方程：，解得.
13. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________.
答案：
解析：由，，得，，
所以在上的投影向量为.
14. 在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______
答案：
解析：如图，设的中点分别为，球心为，半径为，
，
，又平面，
平面，又平面，
，则垂直平分，
同理可得垂直平分，故球心在上，设，
，，
，
又，解得，，
则四面体外接球的表面积为．
四、解答题
15. 已知， 求
（1）；
（2）.
答案：见解析
解析：
（1）由已知，可得，
则
因此.
（2）根据复数模的性质，代入已知得：
，
因此：
16. 已知平面向量，函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）若锐角满足，求的值.
答案：见解析
解析：
（1）由
，
取，解得，
故的单调增区间为，
（2）由（1）知，则，
所以.
17. 已知函数（，，）的部分图象如图，
（1）求函数的最小正周期；
（2）在中，，是的中点，，设，,，求的面积．
答案：见解析
解析：
（1）．
（2）由图可知，，，解得，．，
，．，
，．
，即，．
设，．
，，
，，
分别在和中，由余弦定理得，
．
在中，由余弦定理得．
，（舍），或，即．
所以，的面积为
18. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.
（1）求证：平面
（2）求证：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：见解析
解析：
（1）连接交于，连接，
是三角形中边上的中位线，，
又平面，平面，平面.
（2）平面，平面，，
又四边形是矩形，，，，平面，
平面，平面，，
又是的中点，，，
，，平面，平面.
（3）如图，取中点为，连接，
在中，，分别为线段，的中点，
故，，平面，平面，
，
由（2）得平面，平面，，
，，，又，，
，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角为，
则，解得，故，
直线与平面所成角的正弦值为.
19. 在锐角三角形中，角的对边分别为，若，.
（1）求角的大小；
（2）求边的值；
（3）角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围.
答案：见解析
解析：
（1）由及正弦定理得：
，
因为，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，得，
由得：，
即，
由余弦定理得，，
联立解得.
（3）
如图所示，由（1）知，由于，
，
，
由（2）知，
因为，所以，
则
令，则，
因为是锐角三角形，则，
则，
令，由解析式可知在单调递增，
所以，即
即长度的范围为.

展开更多......

收起↑