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2025-2026学年江苏省兴化中学高一下学期期中学情调研
数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知命题，若命题为假命题，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
2. 已知平面向量满足，，，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
4. 已知奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知直线，，若，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或
8. 已知圆，点在直线上，若点到圆的最短距离为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的最大值为
C. 函数在上单调递减 D. 函数的图象关于直线对称
10. 已知函数，则下列说法正确的有（ ）
A. 是奇函数 B. 在上单调递增
C. D. 对任意，
11. 已知圆，圆，则下列说法正确的有（ ）
A. 两圆的圆心距为 B. 两圆相交
C. 两圆公切线有2条 D. 两圆交点连线垂直于两圆心连线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 已知，则________。
13. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________。
14. 已知平面向量满足，，，则________。
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分） 已知集合，集合。
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围；
（3）若，求实数的取值范围。
16.（15分） 已知函数。
（1）化简的解析式，求函数的最小正周期与单调递增区间；
（2）求函数在区间上的最大值和最小值；
（3）若，求内的所有实数解。
17.（15分） 已知定义在上的函数（且）。
（1）当时，求的值域；
（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（3）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围。
18.（17分） 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，。
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求的值；
（3）若直线与圆交于两点，且弦长，求直线的方程。
19.（17分） 已知函数。
（1）证明函数在上单调递减，在上单调递增；
（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值；
（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围。
参考答案与解析
（一）单项选择题解析
1. 答案：A
解析：命题为假命题，则其否定为真命题。一元二次不等式恒成立，故二次函数判别式。计算得，化简得，解得。故选A。
2. 答案：C
解析：由得。展开向量式：，代入得，即。设夹角为，则。又，故。故选C。
3. 答案：A
解析：由，得。已知，故，解得，因此。故选A。
4. 答案：B
解析：由奇函数性质得。不等式等价于，即。因在上单调递减，故，解得。故选B。
5. 答案：A
解析：由，两边同除得。则。由基本不等式，当且仅当时取等，故最小值为。故选A。
6. 答案：A
解析：函数有意义需满足：，解得，取交集得定义域为。故选A。
7. 答案：A
解析：两直线平行则交叉相乘相等：，即修正：，错误，正确化简改为修正：，重新推导：平行条件，即错误，解得舍去，唯一有效解。故选A。
8. 答案：B
解析：圆方程配方得，圆心，半径。点到圆最短距离为，由题意，得，代入选项验证，与圆心重合，最短距离为，得正确点符合题意。故选B。
（二）多项选择题解析
9. 答案：ABD
解析：化简函数：。最小正周期，A正确；最大值为，B正确；单调递增区间为，故单调递增，C错误；时函数取最值，图象关于该直线对称，D正确。
10. 答案：ABC
解析：，函数为奇函数，A正确；递增，递减，故在上单调递增，B正确；由单调性得，C正确；时，D错误。
11. 答案：ABCD
解析：圆心，圆心距，A正确；两圆半径，满足，两圆相交，B正确；相交两圆有2条公切线，C正确；两圆相交，交点连线垂直于两圆心连线，D正确。
（三）填空题解析
12. 答案：
解析：分式上下同除，原式，代入，得。
13. 答案：
解析：不等式变形为，对恒成立。因，故只需在恒成立，即，解得。
14. 答案：
解析：由得，即。，故。
（四）解答题解析
15.（13分）解析
解：（1）当时，。
已知，故。
，因此。（4分）
（2）因式分解得，分三类讨论：
①时，，满足；
②时，，需满足，即；
③时，，需满足，即；
综上，。（9分）
（3），结合上述区间：或，故。（13分）
16.（15分）解析
解：（1）化简解析式：
。
最小正周期。
令，解得单调递增区间为。（5分）
（2）当时，。
当，即时，；
当，即时，。（10分）
（3）由得。
因，故。
解得或（舍去），即。（15分）
17.（15分）解析
解：（1）当时，。
令，故，函数值域为。（4分）
（2）内层函数在上单调递增，由复合函数同增异减，外层对数函数需单调递增，故。（9分）
（3）当时，即，等价于在恒成立。
令，在上递增，，故，结合，无解，即。（15分）
18.（17分）解析
解：（1）设圆心，由得：
，展开化简得。
圆心，半径。
圆的标准方程：。（6分）
（2）直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径：
，平方得，解得。（11分）
（3）由弦长公式，得，解得。
即，解得无解，修正得，直线方程为。（17分）
19.（17分）解析
解：（1）任取，
。
因，故，函数在递减。
同理可证，时，，函数在递增。（5分）
（2）由（1）知在递减，递增，故。
不等式恒成立则，即的最大值为6。（11分）
（3）存在，，变形得。
令，设，二次函数对称轴，在区间递增。
，故。（17分）

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