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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.1 平面向量的概念
一、选择题
1．下列命题正确的是( )
A. B.若,则
C.零向量没有方向 D.
2．关于向量，，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
3．下列选项正确的是( )
A.若，则
B.的充要条件是且
C.若，，则
D.若平面内不共线的四个不同的点A，B，C，D满足，则四边形是平行四边形
4．设，为非零向量，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5．下列关于向量的说法中正确的是( )
A.若且，则
B.若，则
C.向量（）且，则向量与的方向相同或相反
D.与方向相反，则与的方向相同
6．下面关于平面向量的描述正确的有( )
A.共线向量是在一条直线上的向量
B.起点不同但方向相同且模相等的向量是相等向量
C.若，，则
D.若向量与向量同向，且，则
7．下列关于平面向量描述正确的是( )
A.若,则
B.若,则向量与的夹角为锐角
C.若,,则
D.若为非零向量,则与的方向相同
8．下面命题中，正确的是( )
A.若， 则 B.若，则
C.若， 则 D.若 则
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若,则与的长度相等且方向相同或相反
B.向量的长度与向量的长度相等
C.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
D.若与同向,且,则
10．下列选项中,正确的是( )
A.若两个相等的非零向量的起点相同,侧它们的终点可能不同
B.若向量,则
C.若向量,满足,则或
D.若非零向量与共线,则A,B,C三点共线
11．下列有关向量命题，不正确的是( )
A.若，则
B.已知，且，则
C.若，，则
D.若，则且
三、填空题
12．空间中的向量b与非零向量a平行的充要条件是存在实数λ,使得_______.平行向量也称为______________向量.
13．设为单位向量,且,则______.
14．与向量平行的单位向量的坐标为__________________.
15．设点，，.若，则mn的值为_____________.
四、解答题
16．已知非零向量a，求向量的模.
17．已知，是两个不共线的向量，，，求证：a与b是共线向量.
18．如图，在直线l上，找出与平行的向量.
19．选择适当的比例尺，用有向线段表示下列向量.
（1）终点A在起点O正东方向处；
（2）终点B在起点O正西方向处；
（3）终点C在起点O东北方向处；
（4）终点D在起点O西南方向处.
20．如图，某人从点A出发，向西走了后到达点B，然后改变方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到达点C，最后又改变方向，向东走了到达点D，发现点D在点B的正北方.（图中1个单位长度表示）
（1）作出；
（2）求的模.
参考答案
1．答案：D
解析：对于A:,故A错误;
对于B:取非零向量,此时满足,但不成立,故B错误;
对于C:零向量有方向,其方向任意,故C错误;
对于D:模为0,故D正确.
故选:D.
2．答案：C
解析：对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误；
对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误；
对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确；
对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误.
3．答案：D
解析：选项A：向量是同时具有大小和方向的量，方向无法比较大小，
因此向量之间不存在大小关系，仅模长可进行大小比较，故A错误；
选项B：向量相等的充要条件是模长相等且方向相同；若，两向量方向可能相反，
此时即使，也无法推出，故B错误；
选项C：规定零向量与任意向量平行，若，
则满足、时，和不一定平行，故C错误；
选项D：由可得，且与方向相同，
即且，结合A，B，C，D是平面内不共线的四个不同点，
可知四边形有一组对边平行且相等，因此是平行四边形，故D正确.
4．答案：B
解析：若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，
故得不到，
若，则，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：B.
5．答案：C
解析：因为当时，与不一定平行，所以A不正确；
因为模相等的两个向量不一定相等，所以B不正确.
因为与的大小不确定，所以D不正确.
因为向量共线时，其方向是同向或反向，所以C正确；
故选C.
6．答案：B
解析：共线向量是向量所在直线平行或共线，故选项A错误；
方向相同，且模相等的向量是相等向量，故选项B正确；
若，而，不共线，仍有，，故选项C错误；
向量不能比较大小，故选项D错误.
故选：B
7．答案：D
解析：因为向量不能比较大小,所以A错误；
当时,与的夹角可以为,所以B错误；
当时,和可以是任意向量,不一定共线,所以C错误；
为的同方向单位向量,所以D正确.
8．答案：D
解析：对A，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误；
对B，向量不能比较大小，错误；
对C，若，则，错误；
对D，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确.
故选：D
9．答案：BC
解析：A:向量的模相等只能说明长度相等,但方向可以任意,不一定相同或相反,错;
B:向量和的长度都等于线段AB的长度,因此相等,对;
C:两个相等的向量具有相同的长度和方向,若起点相同,则终点必然重合,对;
D:由向量的性质知,向量不能比较大小,错.
10．答案：BD
解析：由相等向量定义可得:若两个相等的非零向量的起点相同,其终点一定相同,故选项A错误;
若向量,则,所以,故选项B正确;
由向量的定义可得向量,满足时,向量,可能共线也可能不共线,故选项C错误;
若非零向量与共线,则A,B,C三点共线,故选项D正确.
故选:BD.
11．答案：AB
解析：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；
若，且，即，则，或，B错误.
故选：AB.
12．答案：；共线
解析：
13．答案：1
解析：因为为单位向量,所以.
由可得,
解得.
故答案为:1.
14．答案：或
解析：设与向量a平行的单位向量的坐标为，
由题意得，解得或，
故答案为：，.
15．答案：15
解析：，，，
，
解得
.
故答案为：15.
16．答案：1
解析：，
故向量的模为1.
17．答案：证明见解析
解析：证明：，，
，
与b是共线向量.
18．答案：与平行的向量有，，，，
解析：由平行向量的定义，与平行的向量与向量方向相同或者相反，
由于在直线l上，故所有向量都满足条件，
因此与平行的向量有：，，，，.
19．答案：（1）答案见解析
（2）答案见解析
（3）答案见解析
（4）答案见解析
解析：（1）从O向东作长度为的有向线段；
（2）从O向西作长度为的有向线段；
（3）从O点起向北偏东方向作长度为的有向线段；
（4）从O点起向南偏西方向作长度为的有向线段.
20．答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）根据题意可知，点B在坐标系中的坐标为，
又因为点D在点B的正北方，所以.
又，，所以，即D，C两点在坐标系中的坐标分别为，，即可作出如图①所示.
（2）如图②所示，作出向量，
由题意可知，且，所以四边形ABCD是平行四边形，则，所以的模为.
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