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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.2 平面向量的运算
一、选择题
1．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且的面积，，则( )
A. B. C.2 D.-2
2．已知向量、满足，，且与的夹角为.设t为实数，若向量与的夹角为锐角，则实数t的取值范围为( )
A. B.
C. D.
3．已知，，，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
4．如图，在平行四边形中，边，，点E是对角线上靠近点D的三等分点，则( )
A. B. C. D.
5．设非零向量，的夹角为θ，若，且不等式对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则实数t的值为( )
A. B. C. D.
7．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8．已知平面向量与为单位向量,它们的夹角为,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知向量，，则下列叙述正确的是( )
A.若，则 B.若与的夹角为锐角，则
C.若，则 D.与共线的单位向量
10．已知向量，为单位向量，，则下列说法正确的是( )
A.与的夹角为 B.
C.向量与向量垂直 D.若与共线，则
11．在中,已知,,点D,E满足,,线段和相交于点F.若,则下列命题中正确的有( )
A. B.
C.直线,所成角的余弦值为 D.
三、填空题
12．已知向量，满足，，且，则________
13．已知单位向量，，向量在向量上的投影向量为，则向量与的夹角为__________.
14．已知向量与的夹角为，且满足，，若，则实数k的值为_____________.
15．已知平面向量与与满足,,且在方向上的投影向量为,则__________.
四、解答题
16．已知，，是同一平面内的三个向量，其中.
(1)若，，两两的夹角相等，且，，求；
(2)若，且与垂直，求与的夹角θ.
17．如图，在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P.
(1)求；
(2)求的正弦值.
18．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中，，，且与的夹角.
①求α；
②A，B分别在射线，上，，E，F为线段上两点，且，，求的最小值.
19．如图，设，是平面内相交成的两条射线，，分别为，同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在斜坐标系中的坐标，记为.
(1)在斜坐标系中，，求；
(2)在斜坐标系中，，，且与的夹角.
①求α；
②A，B分别在射线，上，，E，F为线段上两点，且，，求的最小值及此时的大小.
20．已知平面向量,满足,,.
（1）若,求k;
（2）求的最小值.
参考答案
1．答案：D
解析：的面积，
，
，
则，
，
，
，
，，，
，
.
故选：D.
2．答案：C
解析：因为向量、满足，，且与的夹角为，
则，且与不共线，
因为向量与的夹角为锐角，
则，
即，即，解得，
若向量与共线，则存在，使得，
所以，整理得，解得，
故当向量与不共线时，
因为向量与的夹角为锐角，
故实数t的取值范围是.
3．答案：C
解析：因为，，，
所以，则，
则，
因为，所以，即向量，的夹角为.
4．答案：C
解析：在平行四边形中，边，，点E是对角线上靠近点D的三等分点，
所以.
5．答案：A
解析：由题意，非零向量，的夹角为θ，且，
则，
不等式对任意θ恒成立，
所以，即，
整理得恒成立，
因为，所以，即，可得，
即实数λ的取值范围为.
故选：A.
6．答案：D
解析：因为向量，共线，
所以存在实数λ，使得，
所以，解得，则.
故选：D.
7．答案：D
解析：因为，，
由平方可得，，所以.
，，
所以，
，
又，即，
所以，即，
故选：D.
8．答案：D
解析：,
.
故选:D.
9．答案：AB
解析：由，所以选项A正确；
因为与的夹角为锐角，所以有且与不是同向向量，
即，假设与是同向向量，故有，因为，所以方程组无实数解，
因此选项B正确；
由，所以有，
所以选项C不正确；
因为，所以与共线的单位向量为，，
即或，所以选项D不正确，
故选：AB
10．答案：ABD
解析：因为，由，可得，解得，
对于A，，又，则，A正确；
对于B，因为，则，B正确；
对于C，由，即向量与向量不垂直，C错误；
对于D，因向量与向量共线，，为不共线的向量，
则有，解得，D正确.
11．答案：BCD
解析：因为,所以,则.
设,则,
又因为,所以,
设,则,
因为,所以,
所以,解得,
所以,,选项A错误;选项B正确;
,
,
,
所以直线,所成角的余弦值为,选项C正确.
由得,则.
因为,所以,所以,
由得,则,
因为,所以,所以.
所以,选项D正确.
12．答案：
解析：，
，
故，则.
13．答案：
解析：设向量与的夹角为θ，
由题意可得，
则，又，则.
14．答案：-1
解析：由得，，其中，
，所以，解得
15．答案：2
解析：因为在方向上的投影向量为,即,
所以,则,
故.
16．答案：(1)或
(2)
解析：(1)如果平面上三个向量两两夹角相等，则三向量两两夹角为0或，，
当三向量两两夹角为0时，此时三向量同向共线，因此，
当三向量两两夹角为时，
，
，
即.
(2)由，得，
又，，解得，所以，，
所以与的夹角.
17．答案：(1)；
(2).
解析：(1)因为BN是中线，所以，
，
即；
(2)因为线AM是中线，
所以，所以，
即，
又因为
，
所以，
18．答案：(1)
(2)①；②.
解析：(1)因为，所以，
所以，
所以.
(2)①因为，，
所以，，
得到，
则，
化简并整理得，
解得或（舍去），则.
②依题意设，，，
如图，作出符合题意的图形，
因为F为中点，则，
同理，
则
，
在中，，，，，
依据余弦定理得，
整理得，
所以
，
在中，，，
由正弦定理，
设，则，，
，
因为，所以，则，
所以当时，取得最小值，
即取最小值，此时取最小值.
19．答案：(1)
(2)①②最小值为，
解析：(1)因为，则，
，
所以；
(2)①因为，，
，，
，
则，
化简并整理得，
解得或（舍去，因为），
则；
②依题意设，，
因为F为中点，则，
同理，
则，
在中，，，依据余弦定理得，
所以
在中，，，由正弦定理，
设，则，，
，，
所以，当时，取最小值，此时取最小值，
.
20．答案：（1）2
（2）
解析：（1）,
,
;
（2）,
所以当时,取得最小值.
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