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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.3 平面向量基本定理及坐标表示
一、选择题
1．设向量，，则下列正确的是( )
A. B.
C.与的夹角为 D.
2．已知，，若，则实数x的值为( )
A.2 B. C.-2 D.
3．已知平面向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4．已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5．已知向量,,若,则实数( )
A. B. C. D.
6．在中，M，N分别是边，的中点，线段，交于点D，则的值为( )
A. B. C. D.
7．已知向量,若,则( )
A. B. C.1 D.2
8．已知向量,若,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知向量,则( )
A.若,则
B.若,则
C.若,则或3
D.若,则向量在向量上的投影向量的坐标为
10．已知向量,,则下列说法正确的是( )
A.若,则t的值为
B.若,则t的值为
C.若,则与的夹角为锐角
D.若,则
11．设向量，则下列说法正确的是( )
A.若与的夹角为钝角，则
B.的最小值为9
C.与共线的单位向量是
D.若，则
三、填空题
12．已知向量,,则在方向上的投影向量为________.
13．已知平行四边形的三个顶点A，B，C的坐标分别为，，，则点D的坐标是________.
14．已知点，向量，，点P是线段的三等分点，求点P的坐标______.
15．已知向量,则向量在方向上的投影的坐标是_______.
四、解答题
16．已知向量.
（1）当时,求实数的值;
（2）当时,求向量与的夹角的余弦值;
（3）当为钝角时,求m的取值范围.
17．已知向量，，，.
(1)当时，求实数λ的值；
(2)当时，求向量与的夹角的余弦值；
(3)当为钝角时，求m的取值范围.
18．已知，，，O是坐标原点.
(1)若点A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值.
(3)若，Q为线段（含端点）上的动点，求的取值范围.
19．已知向量，，，且.
(1)求；
(2)求向量与向量夹角的余弦值.
20．已知向量,.
(1)若,求实数的值；
(2)若与的夹角为钝角,求实数k的取值范围.
参考答案
1．答案：D
解析：向量，.
对于A：，，所以.故A错误；
对于B：，，所以，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，且，
所以.故C错误；
对于D：，，所以，所以.故D正确.
故选：D
2．答案：C
解析：因为，，，
所以，解得.
故选：C
3．答案：C
解析：.
4．答案：D
解析：，两边平方得，解得，
向量在向量上的投影向量为.
故选：D
5．答案：A
解析：由题意得,,
则,得
6．答案：C
解析：解法一：因为M，N分别是边，的中点，可由三角形重心的性质知.
解法二：设，
则，
又由B，D，N三点共线，可知，解得，
所以，故，
故选：C.
7．答案：D
解析：因为,所以,
所以即,故,
故选:D.
8．答案：B
解析：已知向量,则.
因为,所以,解得.
9．答案：BC
解析：对于A,若,有,可得,故A错误;
对于B,若,有,可得,故B正确;
对于C,由,有,解得或3,故C正确;
对于D,若,有,由,
可得向量在向量上的投影向量的坐标为,故D错误.
故选:BC.
10．答案：AB
解析：对于A:若,则,解得,故A正确;
对于B:若,则,解得,故B正确;
对于C:当时,与同向,此时与的夹角为,故C错误;
对于D:若,则,即,即,解得,
当时,,,,,显然,
当时,,,,,此时,故D错误.
故选:AB.
11．答案：AD
解析：对于A，若与的夹角为钝角，则，解得，故A正确；
对于B，，当且仅当时取到等号，即的最小值为3，故B错误；
对于C，与共线的单位向量有两个，为，故C错误；
对于D，若，则，解得，故D正确.
12．答案：
解析：,,
,
故在方向上的投影向量为.
13．答案：
解析：设点D的坐标是，则，，
因为四边形为平行四边形，则，
可得，解得，即.
14．答案：或
解析：设点P的坐标为，
当时，，即，
所以，
所以，得，
当时，，即，
所以，
所以，得，
所以点P的坐标为或.
故答案为：或.
15．答案：
解析：由题得,所以,
与向量的同向单位向量为,
所以向量在向量方向上的投影的坐标为.
故答案为:.
16．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）,
因为,
,
所以.
（2）,
因为,所以,
所以,
.
（3）角为钝角,即,且与不能反向共线,
所以,因为,可得,
且,
综上.
17．答案：(1)
(2)
(3)
解析：(1)，
因为，
，
所以.
(2)，
因为，所以，
所以，
.
(3)角，为钝角，即，且与不能反向共线，
所以，因为，可得，
且，
综上.
18．答案：(1)
(2)当时，的最小值为
(3)
解析：(1)，
，
A，B，M三点共线，与共线，即，
，
解得：.
(2)，，
，
∴当时，
取得最小值.
(3)由题意，设，，
则，所以，
，
因为，所以当时有最小值，
当时有最大值20，所以的取值范围为，
故的取值范围为.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由向量，，得，
而，，则，
解得，，所以.
(2)由(1)得，则，
所以向量与向量夹角的余弦值为.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1),,
,,
,
,解得：.
(2),,
,,
与的夹角为钝角,
,且与不共线；
,；
当与共线时,,解得：；
若与的夹角为钝角,则.
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