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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 6.4 平面向量的应用
一、选择题
1．在中，，，，若满足条件的有2个，则x的取值范围是( )
A. B. C. D.
2．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,,,,则的面积为( )
A. B.
C. D.
3．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,,设的面积为S,若,则的形状为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，设的面积为S，若，则的形状为( )
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
5．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，且，则( )
A. B. C. D.
6．在矩形中,,P是矩形区域内一点（含边界）,点Q与点P关于点B对称,则的最大值为( )
A.9 B.6 C.7 D.8
7．在中,角所对的边分别为,若,,则当角B取得最大值时,的周长为( )
A.6 B. C. D.
8．记锐角的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且,若点D是线段的中点,则的长度可以为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是( )
A.若，则
B.若，，，则有两解
C.若，，则面积的最大值为
D.若为钝角三角形，则
10．《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作,全书十八卷,共八十一个问题,分为九类,每类九个问题,《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就,其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a,b,c,求面积的公式,这与古希腊的海伦公式完全等价,其求法是:“以少广求之,以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即.现有满足,且的面积,请运用上述公式判断下列结论正确的是( )
A.的周长为
B.三个内角A,B,C满足
C.外接圆的直径为
D.的中线的长为
11．在锐角中,角所对的边分别为,则( )
A. B.的取值范围是
C.存在,其面积为1 D.边上的中线长的取值范围是
三、填空题
12．如图，四边形中，已知，，，，则__________.

13．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且,边上的高等于,则____________
14．如图,在等边三角形中,,点是边上的两动点,满足,记,则的最小值为______________________：
15．某海警船在A处看灯塔B在它的北偏东,距离为,在A处看灯塔C在海警船的北偏西,距离为,海警船由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在南偏东,则灯塔C与D处之间的距离为______________.
四、解答题
16．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，.
(1)求角B的大小；
(2)求a的值.
17．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.这就是秦九韶推出的”三斜求积“公式.若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，则”三斜求积“公式为.
(1)用”三斜求积"公式证明；
(2)若，且，求面积的最大值；
(3)定义：四面体中，若异面棱长相等的四面体为等腰四面体.设等腰四面体的外接球表面积为，的外接圆面积为，求的最小值.
提示：.
18．如图，边长为2的等边三角形中，O是的中点，D，E分别是边，上的动点（不含端点），记.
(1)在图①中，，试将，分别用含θ的关系式表示出来，并证明为定值；
(2)在图②中，，问此时是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求的取值范围.
19．已知的内角A，B，C所对的边为a，b，c，且.
(1)求C；
(2)若，求面积的最小值.
20．如图,在凸四边形中,已知.
（1）若,求的值;
（2）若,四边形的面积为1,求的值.
参考答案
1．答案：D
解析：在中，，，，又满足条件的有2个，
则，即，解得，所以x的取值范围是.
故选：D.
2．答案：C
解析：由正弦定理,得
.
因为,所以C为锐角,
所以,所以.
所以的面积为.
方法二:
由余弦定理,
得,
即,
解得或（舍去）.
所以的面积为.
3．答案：C
解析：由,结合正弦定理,可得,
又,
因为B为三角形内角,所以.
根据余弦定理,,可得,
中,,且,所以为等边三角形.
4．答案：C
解析：由，结合正弦定理，可得，
又，
因为B为三角形内角，所以.
根据余弦定理，，可得，
中，，且，所以为等边三角形.
5．答案：A
解析：因为，，且
由余弦定理知，
，
解得，
故选：
6．答案：D
解析：因为点Q与点P关于点B对称,所以,则.
取的中点O,连接,则,,
则.
当点P与点C或点D重合时,取得最大值,则,
从而的最大值为8.
故选:D
7．答案：B
解析：由题意,,
根据余弦定理,可得,化简得,即,
所以,
根据基本不等式,可得,
所以,当且仅当,即时,等号成立,
又,由余弦函数的性质,可知单调递减,所以,
所以角B的最大值为,且,
又由余弦定理得,,
所以,又,所以,所以,
所以的周长为,所以B正确.
8．答案：C
解析：因为,
由正弦定理可得:,即得,
化简得出
因为在,,,
所以,因为在,,所以,
因为D为的中点,
所以,
即,
设,
因为且由正弦定理可知:,
所以,
因为,所以,所以,
所以,所以,
又因为,
又因为,单调递增,所以,所以,
所以长度的取值范围是,所以的长度可以为.
9．答案：ABC
解析：对于A，若，则，
根据正弦定理（R是外接圆半径），
可得，，
所以，即，A正确；
对于B，由正弦定理，
代入得，
因为，且，（即），
所以B可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为，
所以有两解，B正确；
对于C，由余弦定理得，，
所以，
由基本不等式得，，
则，即，
当且仅当时，等号成立，
所以面积，C正确；
对于D，若C为钝角，则由余弦定理得，，
所以，即，D错误.
10．答案：ABC
解析：由正弦定理可得.
设
,
解得,的周长为,故A正确;
由余弦定理得,,
故B正确;
由正弦定理知,外接圆的直径,故C正确;
由中线定理得,即,
,故D错误.
故选:ABC.
11．答案：ACD
解析：对于A,由,
根据正弦定理,得,
则,
即,
则,
即,
在锐角中,,则,
则,即,故A正确;
对于B,由,则,
在锐角中,,即,则,
由正弦定理,得,故B错误;
对于C,由,,,,即,
根据正弦定理,得,则,即,
则
,
因为函数在上单调递减,
且时,,时,,
所以,则,
则存在,其面积为1,故C正确;
对于D,设的中点为D,则,
所以
,
又,
而,则,
则,
令,则,
令,则,
因为函数在上单调递增,且时,,时,,
则,即,则,
所以,
即边上的中线长的取值范围是,故D正确.
12．答案：
解析：在中，，
为等腰三角形，则，
在中，，，
所以由正弦定理得，即，得，
在中，由余弦定理得
，
所以.
13．答案：3
解析：由于边上的高等于,且,
则,则,
由余弦定理可得:,
则.
14．答案：
解析：在中,,,
在中,,,
,
令,由已知,则,
,
当且仅当,即时取等号.
的最小值为.
15．答案：
解析：在中,,则,
由正弦定理得,,
得,得,
在中,,,
则由余弦定理得,
所以.
故答案为:
16．答案：(1)
(2)1
解析：(1)因为，所以.
整理得，
即，，
因为，所以，故，
又因为，所以；
(2)已知，，，
由余弦定理可得，即，
化简得，即，解得或1，
因为，所以.
17．答案：(1)见解析
(2)
(3)
解析：(1)由余弦定理得，所以，
所以
.
(2)由，，
根据正弦定理，得，
则，即，
由正弦定理，得，
所以
，
当时，面积的最大值为.
(3)由题意，等腰四面体可补形成与其共外接球的长方体，如图，
设长方体的长，宽，高分别为z，y，x，则，，，

设等腰四面体的外接球半径为R，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以，
设的外接圆半径为r，
由正弦定理得，
所以，
所以，
因为，
所以，
所以
因为，，，
所以，
所以，
所以，当且仅当时，等号成立，
又，所以，
所以，即，
所以，则的最小值为.
18．答案：(1)，，，证明见解析
(2)不是定值，范围是
解析：(1)由，，
则，，，
在和中，分别应用正弦定理可得，
，
故，，
所以，，.
从而
，
从而为定值；
(2)当，，
则，，，
在和中，分别应用正弦定理可得，
，，
故，，
所以，
，，
，.
令，
，
设，则，
，
由，，，，
又在上单调递减，在上单调递增，
而当或2时，，当时，，所以，
因此.
19．答案：(1)
(2).
解析：(1)因为，
所以在中由正弦定理可得，
即，
即，得，
又因为，所以，所以，
又因为，所以.
(2)由(1)知，所以，
因此，
在中，由正弦定理可得，即.
又由余弦定理可得，即，
由，且，得，
即 ，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
故面积的最小值为.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）在中,因为,,
所以.
在中,由正弦定理得:,
所以.
又,所以,
所以.
（2）在,中,由余弦定理得,
,
,
所以,即.
又,
即,
整理得,
所以,
整理得,
所以.
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