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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 7.1 复数的概念
一、选择题
1．若复数为纯虚数,则实数( )
A.4 B.2 C. D.
2．已知复数，则( )
A.2 B. C.1 D.
3．若，则( )
A.1 B. C. D.2
4．任何一个复数（其中a，，i为虚数单位）都可以表示成（其中，）的形式，通常称之为复数z的三角形式，法国数学家棣莫弗发现，我们称这个结论为棣莫弗定理.若复数为纯虚数，则正整数m的最小值为( )
A.4 B.6 C.8 D.10
5．已知（其中i为虚数单位）,则( ).
A.5 B.7 C.9 D.25
6．已知,则( )
A. B.i C. D.1
7．若复数为纯虚数,则实数a的值为( )
A.2 B.2或 C. D.
8．若复数在复平面内对应的点位于y轴上，则实数( )
A.-2 B. C. D.2
二、多项选择题
9．设，则( )
A. B. C. D.
10．若复数z满足，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.为纯虚数 B.
C. D.
11．已知复数,其中,i是虚数单位,则( )
A.当时,为纯虚数 B.当时,
C.当时, D.当时,
三、填空题
12．已知复数是纯虚数,则实数______.
13．若复数z满足条件,则其在复平面内所对应的点Z构成的图形面积大小为__________.
14．已知复数的模等于2,则实数m的值为___________.
15．若复数是纯虚数,则实数__________.
四、解答题
16．已知复数（，i为虚数单位）， z在复平面上对应的点在第四象限，且满足.
(1)求实数b的值；
(2)若复数z是关于x的方程（且）的一个复数根，求的值.
17．一般地,任何一个复数都可以表示成形式,其中,r是复数z的模,是以x轴的非负半轴为始边,向量所在射线（射线）为终边的角,叫做复数的辐角,叫做复数的三角表示式,简称三角形式.为了与“三角形式”区分开来,叫做复数的代数表示式,简称“代数形式”.
(1)画出复数对应的向量,并把表示成三角形式；
(2)已知,,,其中,.试求（结果表示代数形式）.
18．复数z满足：且是实数.
(1)求z；
(2)若不是纯虚数.且在复平面内所对应的点位于第四象限，求实数k的取值范围.
19．设复数,对应的点Z满足下列关系,求a的范围或取值.
(1)点Z在第二象限；
(2)点Z在直线上.
20．欧拉公式,e是自然对数的底,i是虚数单位.它的一个简单而重要的结论是：余弦函数和正弦函数可以用定义在复数集上的指数函数构造出来,即.欧拉公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数和指数函数的关系,被誉为“数学中的天桥”.当时,得到等式,数学里最重要的五个常数被联系在一起,仿佛一句诗,道尽了数学之美.
(1)证明：若,则与互为共轭复数；
(2)已知,欧拉公式在复数集内可推广为,需要指出的是,和是复数,它们不是的实部和虚部,且.容易证明,两角和的余弦公式在复数范围内仍然成立,即.定义函数,.证明：；
(3)若,令,证明：.
参考答案
1．答案：A
解析：复数的实部为,虚部为,
根据纯虚数的条件,令实部为0,可得,解得;
将代入,得,满足条件,因此实数.
2．答案：B
解析：.
3．答案：A
解析：设，，则，，
又，则，
解得，即，故.
故选：A.
4．答案：A
解析：，
由棣莫弗定理可得，
因为复数为纯虚数，
所以且，所以，，得，，
所以正整数m的最小值为4.
故选：A.
5．答案：A
解析：因为,所以,
则.
故选:A
6．答案：A
解析：因为,所以.
故选：A.
7．答案：C
解析：因为复数为纯虚数,则有,解得,
所以实数a的值为.
故选：C.
8．答案：C
解析：因为在复平面内对应的点位于y轴上，所以，.
故选：C
9．答案：ACD
解析：对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.
对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.
对于C选项，∵，
∴，该选项正确.
对于D选项，
∵分子，分母，
∴，2是实数，故，该选项正确.
10．答案：ABD
解析：设复数，a，由，得，整理得，于是解得所以，.
对于A，为纯虚数，A正确；
对于B，，所以，B正确；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.故选ABD.
11．答案：BCD
解析：对A:当时,,故A错误;
对B:当时,,故B正确;
对C:当时,,此时,故C正确;
对D:当时,,
所以
,故D正确.
12．答案：
解析：,
又为纯虚数,,解得:.
故答案为:.
13．答案：
解析：设,则表示,点到的距离,
又表示:以A为圆心,为半径的圆;表示,以A为圆心,2为半径的圆;
故表示一个圆环,如下所示:
故其面积为:.
故答案为:.
14．答案：
解析：复数的模等于2,故,
故,解得.
15．答案：0
解析：因为m为实数,且复数是纯虚数,
所以,且,解得（舍去）.
16．答案：(1)
(2)-5
解析：(1)依题点在第四象限，则，由，得，即，所以，
(2)由(1)知，，由复数z是关于x的方程的根，
得，
整理得，而，
因此， 解得，所以
17．答案：(1),
(2)
解析：(1)因为对应的点在第四象限,
所以z对应的向量如图所示.
易得,,,
所以.
所以.
(2)因为,
所以.
又,,
所以.
所以.
所以,
,
.
18．答案：(1)或.
(2)或.
解析：(1)设，则，
又因为
所以，即.
代入，得，即，解得或2.
当时，，；
当时，，.
(2)因为不是纯虚数，由(1)可知，所以.
因为在第四象限，所以，解得或.
19．答案：(1)
(2)或
解析：(1)复数z对应的点坐标为,
如满足点Z在第二象限,则须有
解得.
(2)如点Z在上,
则有,即或.
20．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)证明：,
的实部为,虚部为
又的实部为,虚部为
与实部相同,虚部相反,互为共轭复数.
(2)代入双曲函数定义,应用三角函数加法公式：
(3)代入已知复数表达式并分离实部与虚部：
由,
,
得,
由,整理得
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