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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 7.3 复数的三角表示
一、选择题
1．设复数对应的向量分别为，O为坐标原点，且，若把绕原点顺时针旋转，把绕原点逆时针旋转，所得两向量的终点重合，则( )
A. B. C. D.
2．复数的三角形式可以为( )
A. B.
C. D.
3．复数的三角形式可以是( )
A. B.
C. D.
4．复数的辐角的主值为( )
A. B. C. D.
5．若复数，则z的辐角的主值为( )
A. B. C. D.
6．任何一个复数 都可以表示成 的形式,通常称为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：,我们称这个结论为棣莫弗定理.则的值为( )
A. B.
C. D.
7．已知复数（i为虚数单位）,则等于( )
A.1 B.i C. D.
8．若,则( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
二、多项选择题
9．任何一个复数z都可以表示为，且可以表示为三角形式,r代表复数z的模，是以x轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数z满足，则z可能的取值为( )
A. B.
C. D.
10．欧拉公式：是虚数单位,,是由瑞士著名数学家欧拉发现的,它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来,令可得.它又将自然界中的两个重要的无理数和e、实数单位1、虚数单位i以及复数中的0巧妙地结合在一起被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等下列关于欧拉公式的叙述正确的有( )
A. B.复数对应的点位于第二象限
C. D.
11．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一,他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：（其中i是虚数单位,e是自然对数的底数）,它也满足实数范围内指数的运算性质,下列结论正确的是( )
A.
B.
C.若复数的虚部为,,则的实部为
D.已知,,复数,在复平面内对应的点分别为,,则三角形面积的最大值为
三、填空题
12．已知平面直角坐标系xOy中向量的旋转和复数有关，对于任意向量，对应复数，向量逆时针旋转一个角度，得到复数，其对应向量，这就是向量的旋转公式.已知正三角形ABC的两个顶点坐标是，，根据此公式，求得点C的坐标是______.（任写一个即可）
13．复数化为代数形式为______.
14．_______________.
15．已知复数，，其中i为虚数单位，则_____________.
四、解答题
16．已知复数满足，且，求负实数a的值.
17．图中四边形ABCD，DCEF，FEGH都是正方形.用复数方法证明：.
18．计算：
（1）；
（2）；
（3）.
19．在复平面内作出下列复数对应的向量，并用三角形式表示（辐角取主值）：
（1）6；
（2）；
（3）；
（4）.
20．判断下列复数是不是复数的三角形式，并说明理由：
（1）；
（2）.
参考答案
1．答案：B
解析：由已知得
，
所以绕原点顺时针旋转所得向量对应的复数为.
由绕原点逆时针旋转所得向量对应的复数为，由所得两向量的终点重合，得，.
所以.故选B.
2．答案：B
解析：.故选B.
3．答案：C
解析：
.
故选C.
4．答案：A
解析：，所以辐角的主值为.故选A.
5．答案：D
解析：因为，所以，所以z的辐角的主值为.故选D.
6．答案：C
解析：
,
故选：C.
7．答案：C
解析：因为复数,
所以.
故选：C.
8．答案：B
解析：由,
所以.
故选：B
9．答案：BD
解析：设，其中，
则，
所以，而，则，
故即，故，
故B，D正确，A，C错误.
故选：BD.
10．答案：BCD
解析：对于A,因为,所以,,故A错误;
对于B,,而,则、,
故位于第二象限,故B正确;
对于C,,故C正确;
对于D,,所以,
又因为,所以,故D正确.
故选：BCD.
11．答案：AB
解析：对于A,,故A正确;
对于B,
,故B正确;
对于C,
,
因为复数的虚部为,所以,
又,所以,
故,所以,
所以,
,
,
即的实部为,故C错误;
对于D,由题意,,,
则点得轨迹时以原点为圆心,1为半径的圆,
又,,
当,即时,取最大值,
所以三角形面积的最大值为,故D错误.
故选：AB.
12．答案：或（答对其中之一即可）
解析：设点C的坐标为，点，，则，，从而对应的复数为.
若由逆时针旋转得到，则对应的复数，因此，解得，，则点C的坐标是.若由逆时针旋转得到，则对应的复数，
因此，解得，，
则点C的坐标是.
13．答案：
解析：.
14．答案：3i
解析：
.
15．答案：i
解析：由复数三角形式乘法法则得到：
.
故答案为：i.
16．答案：
解析：设，.
因为，
所以，
即，则
当时，，
由，且，解得；
当时，或，因为，所以此时a无解.
综上所述，.
17．答案：证明见解析
解析：设正方形的边长为1，以点B为坐标原点，BG所在直线为x轴，BA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则点D所对应的复数，
点F所对应的复数，
点H所对应的复数.
因为，
，
所以.
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（3）
.
19．答案：（1）图见解析，
（2）图见解析，
（3）图见解析，
（4）图见解析，
解析：（1）6对应的向量如图中，
，，，又，
，.
（2）对应的向量如图中，
，，，
又，，.
（3）对应的向量如图中，
，，
又，，.
（4）对应的向量如图中，
，，，
又，，.
20．答案：（1）不是，理由见解析
（2）不是，理由见解析
解析：（1）不是，辐角的主值不同；
（2）不是，，模长应为非负数.
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