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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、选择题
1．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为( )
A. B. C. D.
2．正四棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是，则该棱台的体积是( )
A. B. C.20 D.21
3．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）( )
A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸
4．将一根足够长的圆柱体木棒,沿着截面重新切割,已知底面圆的半径为,,则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时,相应水面的面积为；水位为海拔时,相应水面的面积为,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔上升到时,增加的水量约为（）( )
A. B. C. D.
6．《九章算术》问题十:今有方亭,下方五丈,上方四丈.高五丈.问积几何（今译:已知正四棱台体建筑物（方亭）如图,下底边长丈,上底边长丈.高丈.问它的体积是多少立方丈 ( )
A. B. C. D.
7．如图,在直三棱柱中,E是AB的中点,D是的中点,则三棱锥的体积与三棱柱的体积之比是( )
A.1:3 B.1:4 C.1:6 D.1:8
8．直径为6的球的表面积与体积( )
A., B., C., D.,
二、多项选择题
9．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面ABCD中，，，则下列说法正确的有( )
A.该圆台的高为
B.该圆台的轴截面面积为
C.该圆台的轴截面面积为
D.一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到AD的中点，所经过的最短路程为
10．在三棱锥中，AP,AB,AC两两互相垂直，,,,O为三棱锥的外接球的球心，D为的外接圆的圆心，则下列说法正确的有( )
A.三棱锥的体积为
B.直线BC与平面PAC所成角的正切值为
C.球O的表面积为
D.
11．如图，平行六面体的体积为6，点P为线段上的动点，则下列三棱锥中，其体积为1的有( )
A.三棱锥 B.三棱锥 C.三棱锥 D.三棱锥
三、填空题
12．已知中，，，Q是边上的动点.若平面，，且与面所成角的正弦值的最大值为，则三棱锥的外接球的体积为________.
13．已知圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,则该圆锥的侧面积为___________.
14．过圆锥的轴作截面,如果截面为正三角形,则称该圆锥为等边圆锥,已知在一等边圆锥中,过顶点P的截面与底面交于CD,若（O为底面圆心）,且,则这个等边圆锥的表面积为__________________________．
15．已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为________.
四、解答题
16．如图，有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为，，.用这两个三棱柱拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.
17．《九章算术》有如下问题：
今有刍童，下广二丈，袤三丈；上广三丈，袤四丈；高三丈.问：积几何？答曰：二万六千五百尺.
其中，刍童，是一种棱台形状的物体，广是宽，袤是长，这其实就是在算一个棱台的体积.你能用所学的简单几何体的面积与体积解释这个问题吗？
18．在长方体中，底面两边，对角面的面积是50.求该长方体的侧面积.
19．如图，一个倒立的圆锥形水杯，底面半径为，高为.将一定量的水注入其中，水形成的圆锥高为.
（1）求水的体积；
（2）若水的体积恰为圆锥形水杯体积的一半，求h的值.（精确到）
20．设圆柱、圆锥的底面半径与球的半径都为r，圆柱、圆锥的高都是2r.求它们的体积之比.
参考答案
1．答案：B
解析：不妨设上、下底面中心为，O，，的中点分别为D，E，易知为斜高，
由，得，，
作于F，所以，，
，
故所求棱台的侧面积为.
2．答案：A
解析：由棱台的几何特征可得其高为：
，
则其体积为：
.
故选：A
3．答案：B
解析：由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.
因为积水深9寸，所以水面半径为寸，
所以盆中水的体积为（立方寸）.
所以平地降雨量等于（寸），
故选：B.
4．答案：B
解析：用一个相同的几何体倒置放在这个几何体上方,
得到一个底面圆的半径为,高为的圆柱,
所以所求几何体的体积.
5．答案：C
解析：依题意可知棱台的高为(m),所以增加的水量即为棱台的体积V.
棱台下底面积,上底面积,
.
故选：C.
6．答案：B
解析：
.
故选:B
7．答案：B
解析：已知是AB的中点,D是的中点,
,
又,
,
,
即三棱锥的体积与三棱柱的体积之比为.
8．答案：A
解析：由题可知,球的半径为,
所以球的表面积为,体积为.
9．答案：CD
解析：如图①，过点B作于点E，
易得，则，则该圆台的高为，故A错误；
该圆台的轴截面面积为，故B不正确，C正确；将圆台补成圆锥，可得圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角，将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为AD的中点，其对应圆锥的一半侧面展开图即为扇形COD，连接CP，可得，，，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD的中点的最短路程为，故D正确.
故选CD.
10．答案：ABC
解析：在三棱锥中，AP，AB,AC两两互相垂直，，,,
∴三棱锥的体积，故正确；,,,平面,平面,直线BC与平面PAC所成的角为，，故B正确；
由AP,AB,AC两两互相垂直可知，该三棱锥的外接球的直径即为长、宽、高分别为,,的长方体的体对角线长，
即为,外接球O的半径为,球O的表面积为，故C正确；
为三棱锥的外接球的球心，D为的外接圆的圆心，平面.,,,，平面,平面,，故D错误.故选ABC.
11．答案：ACD
解析：记平行六面体的体积为，
对于A，由平行六面体的性质，平面，
故点P到平面的距离等于点B到平面的距离，
故，故A正确；
对于B，因为，底面面积固定，
点P在线段上位置不同，高不同，故体积不为定值，故B错误；
对于C，因为，平面，
平面，故平面，
点P到平面的距离等于点B到平面的距离，
故，故C正确；
对于D，因为，平面，
平面，故平面，
点P到平面的距离等于点B到平面的距离，
故，故D正确；
故选：ACD.
12．答案：
解析：三棱锥中，平面，
设与面所成角为θ，
又的最大值是，所以，解得，
即PQ的最小值为，的最小值是，即A到的距离为，
如下图，直角三角形中，所以，又，
所以C，Q重合，则，则的外接圆圆心M为的中点，
又平面，从而外接球的球心O为的中点，
外接球的半径，
三棱锥的外接球的表面积.
故答案为：.
13．答案：
解析：由题意可得圆锥的母线长,底面半径为,
所以圆锥的侧面积为.
故答案为：.
14．答案：
解析：如图,连接,设圆锥的母线长为,
则圆锥的底面圆的半径为a,高为.
由已知得,
所以为等腰三角形,设其底边上的高为h,
则,
则,解得,
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.
15．答案：
解析：
如图，取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，，为侧棱，，
则，
因为上下底面边长分别为2和4，
所以，，，
所以，即棱台的高为，
棱台的体积=.
故答案为：.
16．答案：
解析：由题意得，所给直三棱柱的底面积为，侧面积分别为6，8，10.
当拼成三棱柱时有三种情况，如图（1）（2）（3），
表面积分别为，
，
.
当拼成四棱柱时有四种情况，如图（4）（5）（6）（7），
表面积分别为，
，
.
由题意，得，解得.
17．答案：答案见解析
解析：此棱台上底面积：，下底面积：，高.
其体积为（立方丈），
又1立方丈立方尺，
故这个物体的体积约为26500立方尺.
18．答案：124
解析：设，，则.
因为，所以，所以.
所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1），所以.
.
（2）由题意有，解得.
20．答案：
解析：因为，，，
所以.
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