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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.5 空间直线、平面的平行
一、选择题
1．在三棱锥中，，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，G为PD的中点.若且，则下列结论不一定正确的是( )
A.平面EFG B.平面EFG C.平面EFG D.平面EFG
2．在正方体中，E，F，G分别是，，的中点，则下列说法错误的是( )
A.平面 B.平面
C.平面 D.平面
3．若，且，与方向相同，则下列结论正确的有( )
A.，且方向相同 B.，方向可能不同
C.与不平行 D.与不一定平行
4．在三棱锥中，，E，D，F分别是AB，PA，AC的中点，则( )
A. B. C. D.
5．如图，在直角梯形ABCD中，，，且E为CD的中点，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法错误的是( )
A.无论D折至何位置（不在平面ABC内），都有平面CDE
B.无论D折至何位置（不在平面ABC内），都有
C.无论D折至何位置（不在平面ABC内），都有
D.在折起过程中，一定存在某个位置，使
6．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是( )
A.平面与平面 B.平面与平面
C.平面与平面 D.平面与平面
7．如图，已知长方体，，，E，F分别是棱，的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一个动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
8．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与所在平面平行的是( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
9．如图,在正方体中,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则满足直线平面ABC的是( )
A. B.
C. D.
10．如图所示,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则下列满足平面ABC的是( )
A. B.
C. D.
11．如图，在三棱柱中，侧棱与底面垂直，D，E，F，M，N分别是，，，，的中点，则下列判断错误的是( )
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
三、填空题
12．如图甲，在梯形ABCD中，,,分别为AD,CD的中点，以AF为折痕把折起，使点D不落在平面ABCF内（如图乙），那么在以下3个结论中，正确的结论是_______________.
①平面ABD；②平面CDF；③平面BEF.
13．庑殿顶是中国古代建筑一种官式建筑，而且等级是最高的.由于屋顶四面斜坡，也称“四阿顶”.图②是庑殿顶的顶盖几何模型图，底面ABCD是矩形.若四个侧面与底面所成的角均相等，且，，则_____________.
14．如图，在三棱锥中，平面ABC，D是侧面PBC上的一点，过点D作平面ABC的垂线DE，其中，则DE与平面PAC的位置关系是_______________.
15．在棱长为1的正方体中，E，F分别为BC和的中点，M是侧面内一点，若平面DEF，则线段长度的取值范围是______.
四、解答题
16．如图,在正方体中,分别是的中点.
（1）证明:平面;
（2）棱上是否存在点T,使平面 若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
17．已知四棱锥的底面为矩形，平面，M为的中点，平面平面.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
18．由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)设平面与底面的交线为l，求证：.
19．如图已知四棱锥，底面为梯形，，，，P、Q为侧棱上的点，且，点M为上的点，且.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)平面与侧棱相交于点E，求的值.
20．如图,在正三棱柱中,,分别为,的中点.
(1)证明：平面.
(2)求直线与平面所成角的正切值.
参考答案
1．答案：C
解析：因为E，F分别为AC，AB的中点，所以.因为平面，平面EFG，所以平面EFG，所以A不符合题意.连接AD，交EF于点H，连接GH.
由EF是的中位线可知H为AD的中点.又G为PD的中点，所以.因为平面，平面EFG，所以平面EFG，所以B不符合题意.假设平面EFG，则，这从已知条件无法得出，所以C符合题意.因为，D为BC的中点，所以.因为，所以.因为，，平面EFG，所以平面EFG，所以D不符合题意.故选C.
2．答案：C
解析：如图，连接，与交于点O，则O为，的中点.对于A，连接OF，则.因为平面，平面，所以平面，故A正确.对于B，易知.又因为平面，平面，所以平面，故B正确.对于C，连接，则.因为与平面相交，所以GE与平面相交，故C错误.对于D，易知.因为平面，平面，所以平面，故D正确.选C.
3．答案：D
解析：如图（1）（2），当，且，与的方向相同时，与不一定平行.故选D.
4．答案：D
解析：如图，因为E，D，F分别为AB，PA，AC的中点，所以，.又因为，所以，所以.故选D.
5．答案：C
解析：对于A，取AE的中点P，连接PM，PN，
，N分别是AD，BE的中点，
，，
又，，
平面平面CDE，
平面CDE，故A中说法正确；
对于B，，，且，平面，平面，平面CDE，又平面平面CDE，
平面，，故B中说法正确；
对于C，，，与AB为异面直线，故C中说法错误；
对于D，当二面角为直二面角时，易证平面，，故D中说法正确.故选C.
6．答案：A
解析：对于A，，，，，
平面与平面彼此平行，故A正确；
对于B，与相交，平面与平面相交，故B错误；
对于C，与相交，平面与平面相交，故C错误；
对于D，与相交，平面与平面相交，故D错误.故选A.
7．答案：C
解析：取BC的中点G，连接，，，如图所示，
易知.
因为，F，G分别是，的中点，
所以，所以四边形为平行四边形，
所以.
因为，平面，平面BEF，
所以平面BEF.
同理可证平面BEF.
因为，平面，
所以平面平面BEF.
因为点P为底面ABCD内（包括边界）的一个动点，且直线与平面BEF无公共点，
所以平面BEF，
所以点P的轨迹为线段AG.
因为，，所以.
故选C.
8．答案：D
解析：由题意可知经过P，Q，R三点的平面即为平面PSRHNQ（S为的中点），如图所示，
对于A，与QN是相交直线，所以A不正确；
对于B，C，点N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；
对于D，因为，，，RH，QN相交，，平面，平面PSRHNQ，故平面平面PSRHNQ，即平面平面PRQ，故D正确.故选D.
9．答案：BD
解析：设正方体的棱长为2,
对于A,如图建立空间直角坐标系:
则,
所以,
设平面的法向量为,所以,
令,则,所以,
所以,所以MN与平面ABC不平行,故A错误;
对于B,如图连接交于点E,连接,
根据正方形的性质可知E是的中点
又A是的中点,所以,又平面,平面,
所以平面ABC,故B正确;
对于C,如图建立空间直角坐标系:
则,
设平面的法向量为,所以,
令,则,所以,
所以,所以MN与平面ABC不平行,故C错误;
对于D,如图建立空间直角坐标系:
则,
设平面的法向量为,所以,
令,则,所以,
所以,又平面,
所以平面ABC,故D正确.
10．答案：BC
解析：对于A,如图所示,点E,F为正方体的两个顶点,则,
所以N、M、C、A四点共面,
同理可证,即B、C、M、A四点共面,
平面,故A错误;
对于B,如图所示,D为正方体的一个顶点,则,,
平面,平面,所以平面,同理可证平面
又,、平面,
平面平面,
又平面,
平面,故B正确;
选项C,如图所示,为正方体一个顶点,则平面平面,
平面,
平面,故C正确;
对于D,连接,则,
,B,C,N四点共面,
平面,与平面相矛盾,故D错误.
故选:BC.
11．答案：ABC
解析：连接，，如图所示，
易得N为的中点，
又E是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
因为四边形是平行四边形，D，E分别为BC，的中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
又平面，，
所以平面平面，所以D中判断正确；
因为，均与平面相交，所以，均与平面相交，所以A，B中判断都不正确；
又，与平面相交，所以MN与平面也相交，所以C中判断不正确.故选ABC.
12．答案：①③
解析：对于①，因为，平面，平面ABD，所以
平面ABD，所以①正确；
对于②，延长AB到G，使，连接DG，如图所示，
因为E为AD的中点，所以，因为DG与平面CDF交于点D，所以BE与平面CDF不平行，所以②不正确；对于③，连接AC交BF于O，连接OE，如图所示，
因为在题图甲中,F为CD的中点，所以，
因为，所以四边形ABCF为平行四边形，所以O为AC的中点，
因为E为AD的中点，所以，又平面,平面BEF，所以平面BEF，所以③正确.
13．答案：3
解析：分别取AD，BC的中点为G，M，连接GM，过点F作平面ABCD于点O，过点E作平面ABCD于点L，作于点H，连接FG，FH.
因为底面ABCD是矩形，所以，又平面，平面CDFE，所以平面CDFE，
又平面ABEF，平面平面，所以.
因为平面ABEF，平面CDFE都与底面ABCD所成的角相等，
所以点O，L在直线GM上，，且，，
又，，所以为平面FAD与平面ABCD所成的角.又易得，所以为平面ABEF与平面ABCD所成的角，
所以，又OF为公共边，所以，所以，同理可得.
所以.
14．答案：平行
解析：因为平面，平面ABC，所以.又平面，平面PAC，所以平面PAC.
15．答案：
解析：如图所示，分别取，的中点，连接，，，，.
因为分别为所在棱的中点，所以.
又因为平面，平面DEF，所以平面DEF.
因为，，所以四边形为平行四边形，所以.又平面DEF，平面DEF，所以平面DEF.又因为，且平面，平面，所以平面平面DEF.
因为M是侧面内一点，且平面DEF，所以点M必在线段上.
在中，.
连接，易知，在中，
，
又，
在中，由余弦定理得，
所以为钝角.所以当M在线段上运动时，线段长度最短为，最长为，
所以线段长度的取值范围是.
16．答案：（1）证明见解析
（2）存在,
解析：（1）连接,
分别为中点,,
,,四边形为平行四边形,,
,又平面,平面,
平面.
（2）假设在棱上存在点T,使得平面,
延长交于H,连接交于K,
,F为中点,为中点,
,,,
平面,平面,平面平面,
,又,四边形为平行四边形,,
;
当时,平面.
17．答案：(1)见解析
(2)见解析
解析：(1)连接，设，连接，
因为是矩形，所以O是的中点，
在中，M为的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
(2)因为是矩形，所以，
因为平面，平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，
因为平面，平面，
所以，
因为是矩形，所以，
因为且平面，
所以平面，故平面.
18．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：(1)取的中点，连接，，
是四棱柱，平行且等于，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
平面；
(2)平行且等于，平行且等于，
平行且等于，
四边形是平行四边形，，
平面，平面，
平面，
由(1)得平面且，、平面，
平面平面；
(3)由(2)得，平面，平面，
则平面，
又平面，平面平面，
.
19．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)2
解析：(1)连接，
在中，，，且，
又，，且，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，
所以平面.
(2)由(1)得，又平面，平面，
平面，
在中，，，
又平面，平面，平面，
又因且，均在平面中，
平面平面.
(3)由(1)知，又面，面，平面，
又平面，面面，
，又，，.

20．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图,取的中点M,连接.
为的中点,,且.
,且,,且,
四边形是平行四边形,.
平面,平面,平面.
(2)取的中点的中点D,连接.
平面平面,平面平面,
平面.
平面,
直线与平面所成的角为.
,
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