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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 8.6 空间直线、平面的垂直
一、选择题
1．已知正方体 中,E为平面 内的动点（异于）,则异面直线与直线 所成角( )
A.恒为 B.恒为 C.恒为 D.随E的位置改变而变化
2．在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．如图，四边形是矩形，，，平面，，，则和平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
4．设m,n,l是三条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的个数是( )
①,,则;
②,,,,则;
③,,,则;
④,,,,则.
A.0 B.1 C.2 D.3
5．如图，是的直径，点P是所在平面外一点，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是( )

A.平面 B.
C.平面 D.
6．在正四面体中，点E，F，G分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为( )

A. B. C. D.
7．已知两条直线m，n及平面α，β，下列条件中，一定能得到的是( )
A.，，， B.，，
C.，，， D.，
8．如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．如图,在正方体中,O为底面的中心,P为所在棱的中点,M,N为正方体的顶点.则满足的是( )
A. B.
C. D.
10．在探究正方体表面展开图的活动中，该正方体的表面展开图如图所示，则在该正方体中( )
A.与异面
B.平面
C.平面
D.平面与平面的夹角为
11．如图，在边长为2的正方形中，E，F分别为，的中点，H为的中点，沿，，将正方形折起，使B，C，D重合于点O，构成四面体，则在四面体中，下列说法正确的是( )
A.平面
B.四面体的体积为1
C.平面与平面夹角的余弦值为
D.四面体外接球的半径为
三、填空题
12．在正方体中,AB的中点为M,的中点为N,则异面直线与CN所成角的度数是____________.
13．如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别是,的中点,平面经过直线且平行于直线,则点D到平面的距离为______.
14．在空间直角坐标系中，若平面经过点，且以为法向量，可得平面的点法式方程为.若已知平面的点法式方程为，则点到平面的距离为____________.
15．在正方体中，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________.
四、解答题
16．如图,在四棱锥中,平面平面,,,,,.
（1）求证:平面平面;
（2）设.
①若直线与平面所成角的正弦值为,求线段的长.
②在线段上是否存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上 若存在,求线段的长;若不存在,说明理由.
17．如图，在四棱锥中，平面，且底面是矩形，，M是棱的中点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)若Q是四棱锥外接球上的一点，求点Q到平面的最大距离.
18．在三棱锥中,和均为等边三角形,,点F为线段的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)若直线与所成角的余弦值为时,求二面角的余弦值.
19．如图，已知三棱锥，三角形为等边三角形，，.
(1)若点O为的中点，证明：；
(2)当时，求异面直线与所成角的余弦值；
(3)当异面直线与所成角的余弦值为时，求的值.
20．如图,已知三棱锥,,,,,,
（1）求证:平面;
（2）求三棱锥外接球的表面积;
（3）若点Q为三棱锥外接球的球心,求平面与平面所成角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：在正方体中,底面,所以,
又底面为正方形,所以,
因为,平面,
所以平面,
因为E为平面内的动点（异于）,所以平面,
可得,即异面直线与直线所成角恒为.
2．答案：B
解析：取的中点F，连接，
因为E，F分别为，中点，所以，且，又，且，
所以，且，所以四边形是平行四边形，
所以，所以是异面直线，所成角，
在中，，，
所以.
3．答案：C
解析：因为平面，平面，
所以，，
又，所以，，，两两垂直，
以C为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，可得，，
所以，
设和平面所成角为θ，
则，即和平面所成角的正弦值为.
故选：C.
4．答案：C
解析：对①,,,则或,故①错误;
对②,,,,,要想得到,还需要条件直线,为相交直线,故②错误;
对③,由,可得,又,所以,故③正确;
对④,根据面面垂直的性质定理可得,,,,则,④正确.
故正确命题有2个.
5．答案：B
解析：由是的直径，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，得，
又平面平面，平面平面，平面，
则平面，而平面，因此，B正确；
由不垂直于知不垂直于平面，A错误；
因与不一定垂直，故得不出平面，故C错误；
又因，但与不一定垂直，故得不出平面，从而推不出，即D错误.
6．答案：A
解析：连接，设正四面体的棱长为2，
因为G，F分别为，的中点，则，
所以异面直线，所成角为（或其补角），
在中，则，，
由余弦定理可得，
所以异面直线，所成角的余弦值为.
故选：A.

7．答案：D
解析：
如图所示，此时符合，，，，不能推出面面平行，所以A错误；
如图所示，此时符合，，，不能推出面面平行，所以B错误；
如图所示，此时符合，，，，不能推出面面平行，所以C错误；
根据线面垂直的性质定理可知，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以D正确；
故选：D.
8．答案：C
解析：过点A作，垂足为E，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
在直三棱柱中，平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，而平面，
则为直线与平面所成的角，且，
因为，且直三棱柱的体积为，
所以，解得，
而，则，即，
则与平面所成的角为.
故选：C.
9．答案：BC
解析：设正方体的棱长为2,
对于A,如图（1）所示,连接,则,
故（或其补角）为异面直线所成的角,
在直角三角形,,,故,
故不成立,故A错误.
对于B,如图（2）所示,取的中点为Q,连接,,则,,
由正方体可得平面,而平面,
故,而,故平面,
又平面,,而,
所以平面,而平面,故,故B正确.
对于C,如图（3）,连接,则,由B的判断可得,
故,故C正确.
对于D,如图（4）,取的中点Q,的中点K,连接,
则,
因为,故,故,
所以或其补角为异面直线所成的角,
因为正方体的棱长为2,故,,
,,故不是直角,
故不垂直,故D错误.
故选:BC.
10．答案：ABD
解析：将展开图还原为正方体，如下图所示，
由图可知，与是异面直线，A选项正确.
根据正方体的性质可知，，所以四边形是平行四边形，
所以，因为平面，平面，
所以平面，所以B选项正确.
由于与所成的角为，所以与平面不垂直，C选项错误.
平面即平面，根据正方体的性质可知，
平面与平面的夹角为，D选项正确.
11．答案：ACD
解析：翻折前，，，，
故翻折后，，，，
又，平面，平面，故A正确；
又，，，平面，平面，
，，
则，故B错误；
H为的中点，，则；
又折叠前，，折叠后二者长度不变，
故，则，又平面，平面，故，
则为锐角，故为平面与平面的夹角，
且，而，，故，故C正确；
由于，，，故该四面体的外接球与以，，，为长宽高的长方体的外接球相同，
故外接球半径为，D正确.
12．答案：
解析：取的中点E,连接角于点O,则,且,
四边形是平行四边形,就是异面直线与所成的角,
而,,,
故答案为.
13．答案：
解析：如图,取的中点,连接,,,则,,
所以四边形是平行四边形,所以,同理.
又,所以,所以,确定一个平面,即为平面.
过D作,垂足为点H,因为平面,平面,
所以,又,平面,
所以平面,即.
在中,,所以.
14．答案：2
解析：已知平面的点法式方程为，可得平面的法向量，平面上一点，已知，则，可得.
根据向量的模的计算公式，可得.
所以根据点到平面的距离公式，可得点P到平面的距离，可得.
15．答案：/
解析：
如图，设正方体的棱长为2，取的中点M，连接，，
因E是的中点，易得，故，则为异面直线与所成角或其补角.
在中，，，
则.
故异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：.
16．答案：（1）证明见解析
（2）①;
②不存在,理由见解析
解析：（1）在四棱锥中,平面平面,,
平面,平面平面,
所以平面,
又平面,所以平面平面;
（2）如图以A为原点,以所在直线为x轴,以所在直线为y轴,
建立如图所示直角空间坐标系,
设,则,由,,,,
则,,
因,则,,且
所以,,
①设平面的法向量为,由,,
得:,可取,
设直线与平面所成角为,,
则有:,
即,化简得:,
解得或,
又因为,即,所以,即;
②如图,假设在线段上存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上,
由,得,所以,
所以,
又得,,所以,,
由得,即,
亦即（*）,
因为,所以方程（*）无实数解,
所以线段上不存在点G,使得点P,C,D在以G为球心的球上.
17．答案：(1)见解析
(2)；
(3).
解析：(1)因为平面，平面，所以，
又四边形是矩形，所以，
又平面，平面，且，所以平面，
又平面，所以，
又M是的中点，，所以，
又平面，平面，且，所以平面；
(2)取的中点N，连接.
因为M，N分别为，的中点，所以，，
又平面，所以平面，
所以，
由(1)得平面，又平面，所以，
又，所以，，
又，所以，
所以.
设点D到平面的距离为h，直线与平面所成的角为θ.
由，解得，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为；
(3)取的中点O，连接，，.
因为平面，平面，
所以，，，
因为四边形为矩形，所以，，
因为，，平面，平面，
所以平面，平面，
因为平面，平面，
所以，，
所以，，均为直角三角形，O为斜边的中点，
所以O为四棱锥外接球的球心，
由题可知，，所以.
设点D到平面的距离为，
在三棱锥中，，即，
即，解得，
设点M到平面的距离为，
又点M到平面的距离等于点D到平面的距离的一半，所以，
在三棱锥中，设点O到底面的距离为，
由，可得，
即，解得，
又点Q到平面的最大距离为点O到平面的距离加半径，即为.
18．答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)连接、,如图所示：
因为和均为等边三角形,所以,
因为F为的中点,所以,,
因为,、平面,所以平面,
因为平面,所以平面平面.
(2)取的中点O,连接、,如图所示,
因为,O为的中点,则,,
所以二面角的平面角为,设,
因为,、平面,所以平面,
以点O为原点,、所在直线分别为x、y轴,
平面内过点O且垂直于的直线为z轴建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
由题意可得,
解得（舍去）或,故二面角的余弦值为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)设，取中点O，连接，，，
为等边三角形，O为中点，
，，
在中，O为中点，，
在中，，，
，
在中，，，，
.
(2)设，取中点O，连接，，，
取，中点E，F，连接，，
由(1)得，，
在，中，E，F，O为，，中点，
，且，，
故异面直线与所成角为与所成的角，
在中，，，，
，
在中，，
故异面直线与所成角的余弦值为.
(3)设，，
异面直线与所成角的余弦值为
由(2)可知，
，故，
在中，，，，
，故.
20．答案：（1）见解析
（2）
（3）
解析：（1）由,则O是的中点,
又,则,
又,,则,且,
所以在中,有,,
所以在中,有,
又,则在中,有,所以,
又,且,平面,所以平面.
（2）设外接圆的半径为R,为该外接圆圆心,则在直线上,
由正弦定理可得,则,
结合（1）有,则,
设三棱锥外接球的半径为r,Q为该外接球的球心,
则Q在过圆的圆心且垂直于平面的直线上,
结合（1）有平面,则Q在平面内,所以平面,
设,过Q作,且在上,则,,,
在中,有,
在中,有,
即,解得,所以,
所以三棱锥外接球的表面积为.
（3）法一:结合（2）可知在平面的投影三角形为,
又结合（1）（2）有,,所以,
又结合（2）有,,则为等腰三角形,
则边上的高为,所以,
所以平面与平面所成角的余弦值为.
法二:如图延长与相交于点T,则平面与平面的交线为,
过O作,且在上,
结合（1）有平面,又平面,则,
又,且,平面,所以平面,
又平面,所以,
所以是平面与平面所成角,
结合（1）（2）有,,,,
则,即,解得,则,
所以在中,有,
所以,
又平面,又平面,则,
所以平面与平面所成角的正切值为,
故平面与平面所成角的余弦值为.
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