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2026-2027学年高中数学人教A版必修二课时作业 10.2 事件的相互独立性
一、选择题
1．某科研小组共60名成员，他们需要完成甲、乙、丙、丁四个科研项目，科研成员随机参与，且每个人可以参与一个或多个项目.若参与甲项目的有30人，参与乙项目的有10人，参与丙项目的有20人，参与丁项目的有30人，参与了甲项目或乙项目的共有40人，同时参与了甲项目和丙项目的有10人，参与了甲项目或丁项目的共有60人，则下列说法正确的是( )
A.参与甲项目与参与乙项目不互斥
B.参与甲项目与参与丁项目互斥但不对立
C.参与丙项目与参与丁项目不相互独立
D.参与甲项目与参与丙项目相互独立
2．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，，，则汽车经过这三处时共遇到两次绿灯的概率为( )
A. B. C. D.
3．已知样本空间中有4个等可能的样本点，且，，则( )
A.1 B. C. D.
4．掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为( ).
A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等
5．甲乙两人投球命中率分别为，，且是否投中互不影响，两人各投球一次，恰好有一人命中的概率为( )
A. B. C. D.
6．甲 乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲 乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲 乙两人恰有一人获奖的概率为( )
A.0.3 B.0.5 C.0.7 D.0.9
7．盒中有4个大小相同的小球,其中2个红球、2个白球,第一次在盒中随机摸出2个小球,记下颜色后放回,第二次在盒中也随机摸出2个小球,记下颜色后放回.设事件“两次均未摸出红球”,事件“两次均未摸出白球”,事件“第一次摸出的两个球中有红球”,事件“第二次摸出的两个球中有白球”,则( )
A.A与B相互独立 B.A与C相互独立
C.B与C相互独立 D.C与D相互独立
8．科学研究中经常涉及对粒子状态的分析.某假想粒子有状态1，状态2，状态3，……，每种状态下的粒子经过1秒有两种可能：状态保持不变或变为更高一级状态，已知状态1的粒子有的概率变为状态2，状态2的粒子有的概率变为状态3，以此类推.现有若干状态1的该粒子，则经过3秒处于状态1和状态2的粒子数目约占( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C发生的概率分别为p，，，则下列结论正确的是( )
A. B.若，则
C.若与C是对立事件，则 D.事件A，B不相互独立
10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币,设事件A=“第一枚硬币反面朝上”,事件B=“第二枚硬币反面朝上”,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C.A与B互斥 D.A与B相互独立
11．已知小李每天在上班路上都要经过甲、乙两个路口，且他在甲、乙两个路口遇到红灯的概率分别为，p.记小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，在甲、乙这两个路口遇到红灯个数之和为Y，则( )
A.
B.
C.小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为
D.当时，
三、填空题
12．某班级进行了一次数学测试,题目分为选择题和填空题两类.已知某同学答对所有选择题的概率为0.8,在答对所有选择题的前提下,答对所有填空题的概率为0.75,则该同学同时答对所有选择题和填空题的概率为____________.
13．如图,一动点P从点A出发,在正方形的各顶点上移动.每次移动时,动点P有的概率沿水平方向向左或右移动一次,有的概率沿竖直方向向上或下移动一次,每次移动独立.设动点P移动了步之后,停在点A的概率为.则____________.
14．甲乙两人组成“星队”参加投篮比赛，每轮比赛由两人各投一球，已知甲每轮投中的概率是，乙队每轮投中的概率为.在每轮活动中，甲和乙投中与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为________.
15．事件A与事件B相互独立.，，则的最大值为______.
四、解答题
16．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空:每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.已知在每场比赛中,甲胜乙和乙胜丙的概率均为,甲胜丙的概率为,各场比赛的结果相互独立.经抽签,第一场比赛乙轮空.
（1）求前三场比赛结束后,丙被淘汰的概率;
（2）求只需四场比赛就决出冠军的概率;
17．甲、乙两队进行投篮比赛，每队两人，每人投篮一次，投中者为本队赢得一分，不中得零分，最终得分多的队伍获胜，若得分相等为平局.由以往统计结果可知，甲队两人投中的概率分别为，，乙队两人投中的概率均为，且每人投中与否相互独立.
(1)求甲队总得分为0分的概率.
(2)求甲、乙比赛结果为平局的概率.
(3)甲、乙两队哪队获胜的概率更大？请说明理由.
18．某班级举办“趣味闯关赢文创”活动,每位同学需依次参加三项独立的挑战任务（顺序可自行安排）,各任务结果互不影响.若连续通过两项任务,可获得1份文创小礼品;若连续通过三项任务,可额外再获得1份（共2份）;其余情况无礼品.挑战任务均基于一个装有编号分别为1,2,3,4,5的5个大小形状相同小球的盒子,规则如下:
任务A:从盒子中随机摸出1个小球.若小球编号小于4,则通过.
任务B:从盒子中有放回地依次摸球两次,每次摸出1个小球.若两次摸出的小球编号均小于4,则通过.
任务C:从盒子中不放回地依次摸球两次,每次摸出1个小球.若两次摸出的小球编号之和小于m,则通过.
（1）求单个同学分别通过任务A 任务B的概率.
（2）当时,应如何安排三项任务的顺序,才能使单个同学获得文创礼品的概率最大
（3）若所有同学都按任务的顺序进行,组委会要求:①单个同学获得2份礼品的概率不低于0.1;②单个同学获得礼品的概率不超过0.34.请确定整数的取值范围.
19．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案.
方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.求：
(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率.
20．甲、乙两名选手在比赛中进入冠亚军决赛，主办方规定决赛采取五局三胜制，冠军、亚军分别获得奖金的与.已知甲、乙在历次比赛对阵中胜负持平，且每局比赛的胜负相互独立.
（1）求甲、乙比赛四局决出冠军的概率.
（2）若决赛时，前三局甲、乙的比分为，由于不可抗拒的原因，比赛终止.主办方提出奖金平分给两名选手，你同意吗？请用相关数学知识解释.
参考答案
1．答案：D
解析：设总人数为m，记参与甲、乙、丙、丁项目分别为事件A，B，C，D，由题意可得，，，故，故参与甲项目与参与乙项目互斥，故A错误；
由题意可得，，，故，故参与甲项目与参与丁项目互斥且对立，故B错误；
由题意得，，，
故，，，
故，故参与丙项目与参与丁项目相互独立，故C错误；
，，，
故参与甲项目与参与丙项目相互独立，故D正确.故选D.
2．答案：D
解析：汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，，，
汽车经过三处遇两次绿灯的事件记为M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，则，所以汽车经过这三处时共遇到两次绿灯的概率为.故选D.
3．答案：D
解析：因为样本空间，又，，所以，所以，
样本空间中包含4个等可能的样本点，事件包含1个样本点，由古典概型概率公式得.故选D.
4．答案：C
解析：掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，
事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故选项A，B错误；
，，，，
因为，所以A与B独立，故选项C正确；
事件A与B不相等，故选项D错误.
故选：C.
5．答案：C
解析：甲命中的概率为，不命中的概率为；
乙命中的概率为，不命中的概率为；
设恰好有一人命中的概率为P，则
.
6．答案：B
解析：设甲获奖为事件A，乙获奖为事件B，
所以，，，
因为，所以事件A与事件B相互独立，
根据题意，甲 乙两人恰有一人获奖的概率为，
故选：B.
7．答案：D
解析：依题意得,,,故A项错误；
,,故B项错误；
,故C项错误；
,,故D项正确.
故选：D.
8．答案：C
解析：设经过3秒处于状态1的概率为，粒子要始终停留在状态1，需连续3秒都保持状态1，根据独立事件概率公式：；
设经过3秒处于状态2的概率为，
情况一：第1秒从状态1变为状态2，第2秒和第3秒都保持状态2不变，概率为；
情况二：第1秒保持状态1不变，第2秒从状态1变为状态2，第3秒保持状态2不变，概率为；
情况三:第1秒和第2秒保持状态1不变，第3秒从状态1变为状态2，概率为；
将上述三种情况的概率相加，得到经过3秒后处于状态2的粒子的概率为，
则经过3秒后处于状态1和状态2的粒子数目占总粒子数的比例为将经过3秒后处于状态1和状态2的粒子的概率相加，可得.
9．答案：ABD
解析：对于A，因A，B是互斥事件，故，故A正确；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若与C是对立事件，则，即，得，故C错误；
对于D，因为A，B互斥，所以，故，
所以事件A，B不相互独立，故D正确.
故选：ABD
10．答案：AD
解析：对于A、C选项,,故A正确,C错误;
对于B选项,因为,,
所以,故B错误;
对于D选项,由,得A与B相互独立,故D正确.
故选:AD.
11．答案：BC
解析：对于A，B，小李在星期一到星期五这5天每天上班路上在甲路口遇到红灯个数之和为X，
则，则，，A错误，B正确；
对于C，由题意可设一天至少遇到一次红灯的概率为，，
星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率为，
设，则，
令，则（舍去）或或，
当或时，，当时，，
故时，取得最大值，即，
即小李星期一到星期五上班路上恰有3天至少遇到一次红灯的概率的最大值为，
此时，C正确；
对于D，当时，一天中不遇红灯的概率为，
遇到一次红灯的概率为，遇到两次红灯的概率为，
故一天遇到红灯次数的数学期望为，
所以，D错误，
故选：BC
12．答案：0.6/
解析：设事件“该同学答对所有选择题”,事件“该同学答对所有填空题”.
由题意知,故.
13．答案：
解析：移动两步后,依旧在A点的概率为,
则移动两步后,在C点的概率为,
则,
.
14．答案：
解析：每轮中甲投中为事件A，每轮中乙投中为事件B，
则，，因为甲和乙投中与否互不影响，
则每轮比赛中，共投中一球的概率
；
均未投中一球的概率；
所以“星队”在两轮活动中投中1个球的概率为：.
故答案为：
15．答案：/0.25
解析：由事件A，B相互独立，得，
代入已知条件得：，
二次函数的图象为开口向下，
对称轴为的抛物线，
故.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）记事件A为甲胜乙,则,,
事件B为甲胜丙,则,,
事件C为乙胜丙,则,,
前三场比赛结束后,丙被淘汰的情况分两种:
丙被淘汰的概率为.
（2）只需四场比赛就决出冠军的情况有四种:
所以,只需四场比赛就决出冠军的概率为:
.
17．答案：(1)；
(2)；
(3)见解析
解析：(1)设甲队两人投中分别为事件，，乙队两人投中为事件，，
由题可得，，.
则甲队总得分为0的概率为：；
(2)当两队比分为，，时，两队平局.
则比分为的概率为：；
比分为的概率为：；
比分为的概率为：.
则平局概率为：.
(3)当甲乙两队比分为，，时，甲队获胜.
当甲乙两队比分为时，概率为；
当甲乙两队比分为时，概率为；
当甲乙两队比分为时，概率为.
则甲队获胜概率为：.又由(2)可得甲，乙两队非平局概率为：，
则乙队获胜概率为：，因，则乙队获胜概率更大.
18．答案：（1）;
（2）同学应将任务A放在第二个任务的位置,第一个任务可在任务中任选,进而确定第三个任务
（3）或8
解析：（1）设事件A为“通过任务A”,事件B为“通过任务B”,事件C为“通过任务C”.
因为事件A为从盒子中随机摸出一个小球,编号小于4（即1,2,3）,所以;
因为有放回摸2次,共25个样本点,又,所以.
（2）任务C的所有样本点为:,
,共20个,
当时,通过的样本点为,有2个,所以.
记事件“同学按自己选定的顺序参加三个任务,获得礼品”,
事件“同学按自己选定的顺序参加第一个任务,通过”,
事件“同学按自己选定的顺序参加第二个任务,通过”,
事件“同学按自己选定的顺序参加第三个任务,通过”,
则获得礼品的概率,
其中,
所以,第一个任务和第三个任务的位置不影响获得礼品的概率的大小,
其大小取决于第二个任务的选择,
下面以第二个任务的选择为研究对象分三种情况进行讨论:
①若第二个任务选择任务A,则三个任务的顺序为或,
所以获得礼品的概率为;
②若第二个任务选择任务,则三个任务的顺序为或,
所以获得礼品的概率为;
③若第二个任务选择任务,则三个任务的顺序为或,
所以获得礼品的概率为.
因为,
所以为使获得礼品的概率最大,同学应将任务A放在第二个任务的位置,第一个任务可在任务中任选,进而确定第三个任务.
（3）按顺序,
约束条件①:获得2份礼品的概率不低于,
因为获得2份礼品即三项均通过,所以其概率
.
约束条件②:获得礼品的概率不超过0.34.
获得礼品的概率:,
解得.
枚举的取值（不放回摸2个小球,编号之和小于m的有序结果数共20种）:
m 编号之和小于的组合数 是否满足
0种 0 否
2种 0.1 否
4种 0.2 否
8种 0.4 否
12种 0.6 是
16种 0.8 是
18种 0.9 否
20种 1.0 否
因此,整数或8.
19．答案：(1)0.75
(2)0.43
解析：(1)记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，
则，，，
应聘者用方案一考试通过的概率：
；
(2)应聘者用方案二选择任意两科的概率为，
考试通过的概率：
.
20．答案：（1）
（2）不同意
解析：（1）由题意知，甲选手每局获胜的概率为，其对立事件“乙每局获胜”的概率为，
若比赛四局决出冠军为甲，则前三局中乙只胜一局，第四局一定甲获胜，将每局获胜结果按对应选手排序，
则样本空间乙甲甲甲，甲乙甲甲，甲甲乙甲，共有三个样本点，
故冠军为甲的概率，
同理，冠军为乙的样本空间甲乙乙乙，乙甲乙乙，乙乙甲乙，
故冠军为乙的概率，
故甲、乙比赛四局决出冠军的概率.
（2）不同意，因为奖金的分配是以最终比赛结果为标准的，
由于前三局甲、乙的比分为，则甲在后续比赛中胜一局即可获得冠军，
因此，“冠军为甲”对应的事件为“第四局甲胜”或“第四局乙胜，第五局甲胜”，
故冠军为甲的概率为，
由对立事件的概率公式知，冠军为乙的概率为，
故冠军奖金部分应按的比例分配给甲、乙，亚军奖金部分应按的比例分配给甲、乙，设总奖金为a，
则甲应获得的奖金为，乙应获得的奖金为，
即甲、乙分配奖金的比例应为.
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