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“平行四边形的面积”教学设计与反思
教学目标：
1.在“设计停车位”的真实情境中，经历探究平行四边形面积计算公式的过程，理解“割补转化”与“推拉转化”方法的不同，理解面积的本质就是图形中包含的面积单位的个数，能正确计算平行四边形停车位的面积。
2.能通过操作、说理等方式对自己及他人的问题解决过程给出合理解释与说明，发展量感、几何直观与推理意识。
3.能运用平行四边形面积计算公式解决简单的实际问题，积累操作和解决问题的经验，感受提出质疑和问题探究的乐趣，培养科学精神。
教学重点：进一步理解面积的本质，发展有关平行四边形面积的量感。教学难点：积累图形转化的数学经验，从面积单位角度理解图形转化的原理。
教学过程：
创设情境，提出问题。
谈话：随着学校教师的增多，每天老师们都面临着停车难的困境，今年学校计划改建停车场，增设更多的停车位。请咱们五年级的同学们用数学知识帮助学校设计停车场改造方案。
师：设计停车场，你认为需要考虑哪些问题？
生：停车位要多一些。生：停车要方便。
师：在生活中你见过的停车位都有哪些图形？
生：长方形；平行四边形。
出示：
师：停车场里的停车位设计得尽量多一些，我们需要知道什么信息？
生：停车位的面积。
【设计意图】停车难是城市生活中客观存在的现实问题，教师创设“设计停车场”的真实情境，并引导学生将真实情境中的生活问题抽象为“求平行四边形的面积”的数学问题。让学生在问题解决中增强认识真实世界、解决真实问题的能力，感受数学在现实世界的广泛应用，体会数学的价值。
师：长方形停车位的面积应该怎样计算？
生：长方形的面积=长×宽
师：长是线段，宽也是线段，为什么两条线段的长度相乘得到的长方形的面积呢？
生：长方形里可以画小方格，一行画几个就是长，画几行就是宽，“长×宽”就是计算一共有几个小方格。
随着学生的口述，课件动态呈现下图：
师：规定边长为1的小正方形的面积是1，也就是面积单位，用它作为“标准”去测量长方形的面积。长方形的长是几，就表示一行有几个面积单位；宽是几，就表示有几行；“长×宽”计算出来的就是长方形里包含的面积单位的个数，就是长方形的面积。（板书：一行有几个×有几行=面积单位的个数）
【设计意图】注重让学生理解面积的本质，即图形的面积大小就是其包含的面积单位的个数，也为后续学习平行四边形的面积做好铺垫。
二、探究新知。
1.自主探究。师：现在，我们不仅会计算长方形停车位的面积，而且知道了计算面积其实就是计算长方形里所包含的面积单位的个数。如果停车位是平行四边形的，面积又该怎么计算呢？平行四边形的面积计算的又是什么呢？今天我们就来研究研究。
为了研究方便，我们把停车位的实际长度都改成方便计算的整数。请大家在“学习单”上独立完成“学习任务一”
学生独立完成，然后全班反馈，发现有三种不同的答案：22、18和30。师：这些答案是怎么算出来的呢？先来说说22吧。
生1：（5+6）×2=22
其他学生表示反对：22是周长，不是面积。
师：22是平行四边形的周长，不是面积，所以应该排除。那么，18和30这两个答案哪个正确呢？我们接着研究。
【设计意图】充分利用学生的“前概念”（长方形的面积与平行四边形的周长），让学生尝试独立解决问题，既给了每一个学生独立思考的机会，也可以引出学生不同的想法。学生有上述错误的想法是正常的，也是自然的。由周长的计算和长方形面积的计算迁移到平行四边形面积的计算，迁移不总是正向的，还有负迁移，负向的迁移反映了学生的认知冲突，教学的重点在于暴露学生的认知冲突，在解决认知冲突的过程中，既理解掌握平行四边形的面积计算方法，又使学生逐步学会如何思考。
2.数小方格验证。
让学生小组合作，数一数带小方格的平行四边形学具里有多少个方格。组1：一格一格的数，不满一格按半格算。整的方格一共12个，不满一格的有12个，把它拼成6个整格，一共有18个小方格。
组2：沿着高把平行四边形剪开，把左边的三角形整体移到右边，这样就变成了长方形，一行有6个，有3行，6×3=18，一共有18个小方格。师：第一种方法是一格一格地补成整格，第二种方法是把平行四边形沿着高剪开，割补成长方形，这两种方法都能验证出平行四边形的面积是18平方厘米，你更喜欢哪种方法？为什么？
生：喜欢割补成长方形的方法，简单，好算。
师：是的，割补的方法能更方便地数出一行有几个，有几行，也更方便计算面积单位的个数。
【设计意图】针对学生出现的“底×高”和“邻边相乘”两类典型求解方法，布置学习任务“请拿出学具框里带方格的平行四边形，数一数平行四边形里有多少个方格”。让学生通过数方格的方法验证自己所认同的方法，回到面积最本质的概念——包含多少个小方格来思考问题。数方格的活动在这里显得非常重要，在解决问题的时候，当遇到认知冲突，解决学生的疑惑时，往往要回到原点，回到最基本的概念中去。在解决认知冲突的过程中，学生会了解自己是怎样想的，别人是怎样想的，哪一个结论是对的，哪一个结论是错的。学生正是在这种给出一个结论，再去对结论的合理性给出证明的过程中，运用和发展了思维能力，体会到如何思考，增强了科学精神。
师：30平方厘米这个结果是怎么得来的？错在哪里了呢？
生：30是用6×5算出来的，不能用两条边的长度相乘，要用底×高？
师（追问）：为什么不能用两条邻边相乘呢？长方形的面积不就是用两条邻边“长×宽”来计算的吗？请小组同学用平行四边形框架拉一拉，讨论讨论。
小组讨论：计算平行四边形的面积为什么不能用两条邻边相乘？
全班交流。
组1（拿着平行四边形框架边演示边解释）：原来它是长方形，面积是这么大，我把它的上下边压下去，变成平行四边形，越往下压，面积越小，但它的边长始终没有变，所以“邻边相乘”的答案是不变的，但是在这个过程中，平行四边形的面积却变小了。
组2：我们来补充，如果把扁的平行四边形拉成长方形，面积明显变大了，但是它的边长却没有变，所以不能用邻边相乘。
师：明白大家的意思了！拉动平行四边形的框架，面积会变大或者变小，但是边长并没有变，邻边相乘的结果也不会变，这就产生了矛盾，说明平行四边形的面积不能用“邻边相乘”来计算。现在我们再仔细观察一下，把平行四边形拉成长方形之后，面积到底发生了什么变化？
师将平行四边形框架放在黑板上粘贴的带小方格的平行四边形上面，动态演示框架从平行四边形“推拉转化”成长方形的过程，让学生清晰地看出“推拉转化”后的长方形比“割补转化”后的长方形大。
生：哦！这样面积就变多了。
师（追问）：面积多在哪里了？
生上前指出：把右边的三角形剪下补到左边变成长方形，上面空白的部分就是多出来的面积。
师：能看出来多多少吗？
生：多2行。
师：你是怎么看出来的？
生：平行四边形的斜边长5cm，拉直以后变成“宽”还是5cm，割补成的长方形的“宽”是3cm，5减3等于2，所以是多2行。
师再次演示框架从平行四边形推拉转化成长方形的过程，让学生清晰地看出“推拉转化”后的长方形比“割补转化”后的长方形的宽多了2cm，在多出的部分再粘贴上2行小方格。
生：6×2=12，多了12个小方格。
师：看来，把平行四边形推拉转化成长方形，已经不再是原来平行四边形的面积了，面积变大了；而“割补转化”成长方形，面积并没有变化。所以，不能用“邻边相乘”的方法计算平行四边形的面积。
【评析】把平行四边形框架放在带有小方格的平行四边形上面，通过框架的动态拉动，让学生直观地看到“推拉转化”后图形面积是如何变化的、多出的面积在哪里，并推算出“推拉转化”成长方形后“面积多了多少”，既澄清了学生的错误认识，又发展了几何直观。
3.推导公式。师：那么，你能借助“割补转化”的方法，推导出平行四边形的面积计算公式吗？试一试。
全班交流。
生：从平行四边形的顶点向它所对的底边作垂线，画出平行四边形的一条高。然后沿着这条高剪下来一个三角形，把三角形拼到另一边，就把平行四边形变成了一个长方形。平行四边形的底是长方形的长，平行四边形的高是长方形的宽。因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。
师（追问）：为什么要沿着“高”剪呢？沿着其他线剪下来不行吗？
生：沿着“高”剪下来就能拼成一个长方形，沿着其它线剪下来拼不成长方形。
师（继续追问）：沿着高剪开才能剪出直角，这样才能转化成长方形。那为什么非要转化成长方形呢？
生：因为长方形的面积咱们学过。
师：是呀，好多时候我们学习新的知识，都是把它转化成已经会的知识，用会的知识来解决新的问题。这里，我们把平行四边形这个“未知”转化成长方形这个“已知”，用长方形面积的计算方法就能算出原来这个平行四边形的面积。
师（继续追问）：刚才我们是从顶点沿着高剪开，剪下来一个三角形。只能沿着这条高剪开吗？
生：不是的，也可以沿着其他“高”剪开，也能拼成长方形。
师演示沿着另一条高剪开，将平行四边形分成2个直角梯形，再拼成长方形。
师（继续追问）：是不是所有的平行四边形都能通过“割补转化”成长方形？
生：是的。
师：将平行四边形“割补转化”成长方形，面积不变，平行四边形的底相当于长方形的——长，平行四边形的高相当于长方形的——宽，由长方形的面积=长×宽就可以推导出平行四边形的面积=底×高。（板书）我们知道，长方形的“长×宽”计算出的是长方形里包含的面积单位的个数，那平行四边形的“底×高”计算出的是什么？
生：平行四边形里所包含的面积单位的个数。
师：是的，平行四边形的“底×高”计算的也是面积单位的个数。用 S 表示平行四边形的面积，用 a 表示平行四边形的底，用 h 表示平行四边形的高，那么平行四边形的面积计算公式还可以写成 S=a×h。（板书：S=a×h）
【设计意图】通过学习任务驱动以及一系列的追问，引导学生建立平行四边形与转化后的长方形各要素之间的关系，促使学生思维不断深化，在推导出平行四边形的面积公式的同时，更进一步理解了面积计算的实质———度量面积单位的个数。
三、应用练习。
出示：
师：我们来计算一下不同角度的平行四边形停车位面积分别是多少？
学生独立计算，全班反馈。
生：斜列式30°的停车位面积是23.04米2，45°的停车位面积是18.7米2，60°的停车位面积是16.24米2，垂直式停车位的面积是12.72米2。
师：你有什么发现？
生：我发现角度越大，停车位的面积越小
师：这对你设计停车场有什么启发？
生：多设计一些垂直式的停车位或者角度大一些的斜列式停车位，这样停车位会多一些。
师：那是不是都设计成面积最小的长方形停车位就好呢？其实，设计时还要考虑的一个重要因素是车辆的通行是否方便。垂直式停车，驾驶人需要将车辆的行驶方向改变90度再进出泊位，这需要一个宽大的车道来满足转弯操作。斜列式停车，驾驶人就不需要做那么多的行车方向调整，停车场的通道也可以更窄。而且，夹角越小，越有利于停车操作。我们考虑问题的时候要全面，不能只看一个方面。
【设计意图】让学生回归到“设计停车场”这一真实问题的探究，运用刚刚学行四边形面积公式分别求出30°、45°和60°的斜列式停车位的大小。感受角度这个组成元素对平行四边形这个图形的影响，感悟到停车场的设计中除了要考虑尽可能多的停车位，还要考虑“车辆方便进出”等因素，体会“考虑问题要全面”。
四、课堂总结。
教学反思：
平行四边形的面积这节课的设计有许多新意，传统的课上得并不传统。一是真正体现了真实情境下的问题解决。《义务教学数学课程标准（2022年版）》提出明确教学建议：“注重创设真实情境”。那么，怎样判断是不是真实情境呢？格兰特·威金斯认为真实情境是“联系实际的、复杂而丰富的”。“课标2022年版”中也明确了三个标准：第一，设计的问题情境客观存在；第二，提供的数据真实可信且具有实际含义；第三，需要研究或解决的问题确实存在。可见，本节课创设的“设计停车场”就是这样的真实情境，从中引出的“如何计算平行四边形停车位的面积”就是真实的数学问题。值得一提的是，本节课并不是把情境仅仅当作“敲门砖”，而是贯彻始终，后面有呼应，让学生运用学到的新知去解决真实情境下的真实问题，增强了应用意识，积累了分析和解决实际问题的数学经验。二是给学生更大的探究空间。充分运用学生的前概念，产生了三种似对非对的方法，自然产生了认知冲突，这为学生的思考提供了较大空间。教学中，鼓励学生大胆表达、解释自己的想法，进而不失时机地组织小组讨论、全班交流，辅之以教师的适时追问，将学生的思维不断引向深入。三是更加鲜明地体现了学科本质和思考方法。在产生困惑的时候，回到面积的本质“图形中包含多少个面积单位”，用最原始的方法“数方格”，也是最有说服力的方法，进而深刻地体会到割补法的重要性。在推导面积公式的时候，引导学生建立图形与图形之间、图形要素与图形要素之间的关系，学习借助已知推导出新知的研究方法，发展推理意识。四是体现高阶思维与核心素养。求平行四边形的面积出现了不同答案，对答案产生质疑，解释某一个答案的正确与否等都体现了批判思维等高阶思维。而对什么是一个图形的面积，将“求面积就是确定这个图形中所包含的面积单位的个数”这个面积度量的本质体现在教学活动的关键阶段，不仅让学生在知识层面学会了求平行四边形的面积，还在素养层面培养了学生的量感和空间观念。

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