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广东省中山市2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷
一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
5．下列各分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，平分，交于点D，，则点D到的距离是（　　）
A．4 B．2 C．3 D．6
9．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
二、填空题(共5个小题，每小题4分，满分20分)
11．要使分式 有意义，则x的取值范围为　 　．
12．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=　 　 °。
13．分解因式：　 　．
14．如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，若，，则　 　．
15．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为　 　cm2.
三、解答题(一)(共4个小题，每小题6分，满分24分)
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．
19．如图，在平面直角坐标系中．A，B，C三点在格点上，每个小方格的边长为1．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）直接写出关于x轴对称的的各顶点坐标．
四、解答题(二)(共3个小题，每小题8分，满分24分)
20．已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．
（1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD＝3CD．
21．某校积极开展科技创新活动，在一次用电脑编程控制小型赛车进行比赛的活动中，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差．已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快．求“梦想号”和“创新号”的平均速度．
22．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
五、解答题(三)(共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分)
23．如图，中，，，点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动的速度相同，连接与线段相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
24．定义：如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的勃罗卡点，同时称为的勃罗卡角．
（1）如图2，P为等边内部一点．其中，，请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由；
（2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数；
（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于的对称点，连接与相交于点O，连接，，记的勃罗卡点为M，的勃罗卡点为N，求证：为等边三角形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴这三条线段不能组成三角形，∴A不符合题意；
B、∵2+2=4，∴这三条线段不能组成三角形，∴B不符合题意；
C、∵3+4>5，∴这三条线段能组成三角形，∴C符合题意；
D、∵3+6=9<10，∴这三条线段不能组成三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
4．【答案】A
【知识点】求比值和化简比；求比值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】先根据比值得到，进而整体代入即可求解。
5．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵，∴原式不是最简分式，∴A不符合题意；
B、∵，∴原式不是最简分式，∴B不符合题意；
C、∵是最简分式，∴C符合题意；
D、∵，∴原式不是最简分式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）和最简分式的定义逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴原式不正确，∴A不正确；
B、∵，∴原式正确，∴B正确；
C、∵，∴原式不正确，∴C不正确；
D、∵，∴原式不正确，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用0指数幂的性质、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
7．【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案为：A.
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，再利用角平分线的性质可得DE＝4，从而得解.
9．【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a＋b）2和（a b）2＋4ab，
∴（a＋b）2＝（a b）2＋4ab，
故答案为：B.
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到（a＋b）2＝（a b）2＋4ab，从而得解.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴的周长，
∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
∴的周长的最小值为，
故答案为：C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，即可求出答案.
11．【答案】x≠﹣2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2.
【分析】要使分式有意义，由分母≠0，建立不等式求解。
12．【答案】280
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°.
【分析】此题考查三角形内角和定理.此题不能直接求出∠1，∠2，∠3，∠4，也不需要求出它们的角度，题中要求的是它们和，所以从求它们的和的角度思考．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为： .
【分析】提取公因式3ab进行因式分解即可.
14．【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据垂直可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．【答案】4.5
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴
∴ cm2，
故答案为4.5.
【分析】延长AP交BC于E，由题意用角边角可证△ABP≌△EBP，由全等三角形的性质可得AP=PE，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△APB=S△EPB，S△ACP=S△ECP，所以得S△BCP=S△ABC可求解.
16．【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差公式展开，再利用单项式乘多项式的计算方法展开，再合并同类项即可.
17．【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将代入计算即可.
18．【答案】解：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC，
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠E=∠F．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换求出AD=BC，再利用”SAS“证出△ADE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得∠E=∠F．
19．【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：由图可知，，，
则关于x轴对称的的各顶点坐标，，．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）分析求解即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，AD即为所求；
（2）证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∴BC＝4CD，
∴BD＝3CD
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）利用尺规即可作△ABC的高AD交BC于点D；
（2）根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明BD＝3CD．
21．【答案】解：设“创新号”赛车的平均速度为，则“梦想号”赛车的平均速度为，
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则“梦想号”赛车的平均速度为：，
答：“创新号”赛车的平均速度为，“梦想号”赛车的平均速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设“创新号”赛车的平均速度为，则“梦想号”赛车的平均速度为，根据““梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差”列出方程，再求解即可.
22．【答案】（1）解：
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
即，
为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式的计算方法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为=0，可得，即，从而可得为等腰三角形．
23．【答案】（1）证明：、的移动速度相同，
，
，
；
（2）解：如图，过点P作，交于点F，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
在与中，
，
，
；
（3）解：为定值5，理由如下：
如图，过点P作，交于点F，
由（2）得：，
为等腰三角形，
，
，
由（2）得，
，
，
为定值5．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先证出CQ=PB，再结合AB=AC，利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点P作，交于点F，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，交于点F，先利用，可得FD=CD，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解.
24．【答案】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下：
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
是的中垂线，
平分，
，
，
点P不是等边的勃罗卡点；
（2）解：点P为等边的勃罗卡点，
，
，
即，
，
同理可得，
在与中，
，
，
，
，
，
，
等边的勃罗卡角的度数为；
（3）证明：点P，关于对称，
为的中垂线，
，
为等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
为等边三角形，同理可得为等边三角形，
如图，在内部作交于点N，连接，
为的中垂线，
，
，
，
，
，
点N为的勃罗卡点，且，
在内部作交于点M，
同理可证点M为的勃罗卡点，且，
，
，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质证出，，再结合中垂线和角平分线的定义可得，从而可证出点P不是等边的勃罗卡点；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再求出，可得等边的勃罗卡角的度数为；
（3）先证出为等边三角形，为等边三角形，在内部作交于点N，连接，再求出点N为的勃罗卡点，且，点M为的勃罗卡点，且，再求出，可证出为等边三角形．
1 / 1广东省中山市2023-2024学年八年级上学期数学期末试卷
一、单项选择题(共10个小题，每小题3分，满分30分)
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，∴这三条线段不能组成三角形，∴A不符合题意；
B、∵2+2=4，∴这三条线段不能组成三角形，∴B不符合题意；
C、∵3+4>5，∴这三条线段能组成三角形，∴C符合题意；
D、∵3+6=9<10，∴这三条线段不能组成三角形，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用三角形三边的关系（ 三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边 ）逐项分析判断即可.
2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史.下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．下列图形中具有稳定性的是（　　）
A．四边形 B．三角形 C．长方形 D．正方形
【答案】B
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：三角形具有稳定性，
故答案为：B.
【分析】利用三角形的稳定性分析求解即可.
4．若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求比值和化简比；求比值
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：A
【分析】先根据比值得到，进而整体代入即可求解。
5．下列各分式是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】解：A、∵，∴原式不是最简分式，∴A不符合题意；
B、∵，∴原式不是最简分式，∴B不符合题意；
C、∵是最简分式，∴C符合题意；
D、∵，∴原式不是最简分式，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用分式的基本性质（分式的分子、分母同时乘以或除以一个不等式的数或等式，分式的值不变）和最简分式的定义逐项分析判断即可.
6．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；零指数幂；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴原式不正确，∴A不正确；
B、∵，∴原式正确，∴B正确；
C、∵，∴原式不正确，∴C不正确；
D、∵，∴原式不正确，∴D不正确；
故答案为：B.
【分析】利用0指数幂的性质、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法的计算方法逐项分析判断即可.
7．如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：A、 当 时，可利用AAS证全等，故A不符合题意；
B、当 时，不能证明全等，故B不符合题意；
C、当 时，可利用AAS证全等，故C不符合题意；．
D、当 时，可利用HL证全等，故D符合题意；．
故答案为：D．
【分析】HL定理：在两个直角三角形中，如果其中一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，根据HL定理的条件逐一进行判断即可.
8．如图，在中，，平分，交于点D，，则点D到的距离是（　　）
A．4 B．2 C．3 D．6
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD＝4，
∴DE＝4．
故答案为：A.
【分析】过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，再利用角平分线的性质可得DE＝4，从而得解.
9．如图，小明利用4张图①所示的长为a、宽为b的长方形卡片，拼成图②所示的图形，则根据图②的面积关系能验证的恒等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式的几何背景；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵用整体和各部分求和两种方法表示出图②的面积的面积各为：（a＋b）2和（a b）2＋4ab，
∴（a＋b）2＝（a b）2＋4ab，
故答案为：B.
【分析】利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到（a＋b）2＝（a b）2＋4ab，从而得解.
10．如图，已知中，，，边的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一点，则的周长最小值为（　　）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵边的垂直平分线分别交，于点，，
∴，
∴的周长，
∴当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，
∴的周长的最小值为，
故答案为：C
【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质得到，由三角形周长公式得到的周长，故当A、D、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，此时点D与点F重合，最小值即为的长，即可求出答案.
二、填空题(共5个小题，每小题4分，满分20分)
11．要使分式 有意义，则x的取值范围为　 　．
【答案】x≠﹣2
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可知：x+2≠0，
∴x≠﹣2，
故答案为：x≠﹣2.
【分析】要使分式有意义，由分母≠0，建立不等式求解。
12．如图，∠1+∠2+∠3+∠4=　 　 °。
【答案】280
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】根据三角形内角和定理，可得：∠1+∠2=180°-40°=140°，∠3+∠4=180°-40°=140°，则∠1+∠2+∠3+∠4=140°+140°=280°.
【分析】此题考查三角形内角和定理.此题不能直接求出∠1，∠2，∠3，∠4，也不需要求出它们的角度，题中要求的是它们和，所以从求它们的和的角度思考．
13．分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为： .
【分析】提取公因式3ab进行因式分解即可.
14．如图，点D、A、E在直线m上，，于点D，于点E，若，，则　 　．
【答案】8
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：8．
【分析】根据垂直可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据边之间的关系即可求出答案.
15．如图，△ABC的面积为9cm2，BP平分∠ABC，AP⊥BP于P，连接PC，则△PBC的面积为　 　cm2.
【答案】4.5
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：解：延长AP交BC于E，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠EBP，
∵AP⊥BP，
∴∠APB=∠EPB=90°，
在△ABP和△EBP中， ，
∴△ABP≌△EBP（ASA），
∴AP=PE，
∴
∴ cm2，
故答案为4.5.
【分析】延长AP交BC于E，由题意用角边角可证△ABP≌△EBP，由全等三角形的性质可得AP=PE，根据等底同高的两个三角形的面积相等可得S△APB=S△EPB，S△ACP=S△ECP，所以得S△BCP=S△ABC可求解.
三、解答题(一)(共4个小题，每小题6分，满分24分)
16．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【分析】先利用平方差公式展开，再利用单项式乘多项式的计算方法展开，再合并同类项即可.
17．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先计算分式的乘除法（先将除法变成乘法，再约分，最后将分式的分母相乘作为积的分母，分式的分子相乘作为积的分子），再计算分式的加减法（①分母相同，分子相加减；②分母不同，先通分，再将分子相加减），再将代入计算即可.
18．已知：如图，点A，C，D，B在同一条直线上，AC=BD，AE=BF，∠A=∠B．求证：∠E=∠F．
【答案】解：∵AC=BD，
∴AC+CD=BD+CD，
即AD=BC，
在△ADE和△BCF中
∴△ADE≌△BCF（SAS），
∴∠E=∠F．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先利用线段的和差及等量代换求出AD=BC，再利用”SAS“证出△ADE≌△BCF，最后利用全等三角形的性质可得∠E=∠F．
19．如图，在平面直角坐标系中．A，B，C三点在格点上，每个小方格的边长为1．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）直接写出关于x轴对称的的各顶点坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求，
（2）解：由图可知，，，
则关于x轴对称的的各顶点坐标，，．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）先利用关于y轴对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标不变）找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）利用关于x轴对称的点坐标的特征（横坐标不变，纵坐标变为相反数）分析求解即可.
四、解答题(二)(共3个小题，每小题8分，满分24分)
20．已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°．
（1）作图：作△ABC的高AD交BC于点D（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：BD＝3CD．
【答案】（1）解：如图所示，AD即为所求；
（2）证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，
∴BC＝2AC，∠C＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝30°，
∴AC＝2CD，
∴BC＝4CD，
∴BD＝3CD
【知识点】含30°角的直角三角形；尺规作图的概念
【解析】【分析】（1）利用尺规即可作△ABC的高AD交BC于点D；
（2）根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可证明BD＝3CD．
21．某校积极开展科技创新活动，在一次用电脑编程控制小型赛车进行比赛的活动中，“梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差．已知“梦想号”的平均速度比“创新号”的平均速度快．求“梦想号”和“创新号”的平均速度．
【答案】解：设“创新号”赛车的平均速度为，则“梦想号”赛车的平均速度为，
根据题意列方程得：，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则“梦想号”赛车的平均速度为：，
答：“创新号”赛车的平均速度为，“梦想号”赛车的平均速度为．
【知识点】分式方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设“创新号”赛车的平均速度为，则“梦想号”赛车的平均速度为，根据““梦想号”和“创新号”两辆车从起点同时出发，“梦想号”到达终点时，“创新号”离终点还差”列出方程，再求解即可.
22．阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组，从而得到，这时中又有公因式，于是可以提出，即，我们称这种方法为分组法．请你利用分组法解答下列问题：
（1）解决问题：分解因式．
（2）拓展运用：已知a，b，c是的三边，且满足，请判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：
（2）解：是等腰三角形，理由如下：
，
，
，
即，
为等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法
【解析】【分析】（1）参照题干中的计算方法利用分组分解因式的计算方法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法将原式变形为=0，可得，即，从而可得为等腰三角形．
五、解答题(三)(共2个小题，第23题10分，第24题12分，满分22分)
23．如图，中，，，点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点P同时停止．已知点P，Q移动的速度相同，连接与线段相交于点D(不考虑点P与点A，B重合时的情况)．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
【答案】（1）证明：、的移动速度相同，
，
，
；
（2）解：如图，过点P作，交于点F，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
在与中，
，
，
；
（3）解：为定值5，理由如下：
如图，过点P作，交于点F，
由（2）得：，
为等腰三角形，
，
，
由（2）得，
，
，
为定值5．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；三角形的综合；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先证出CQ=PB，再结合AB=AC，利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点P作，交于点F，先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）过点P作，交于点F，先利用，可得FD=CD，再利用线段的和差及等量代换可得，从而得解.
24．定义：如图1，若P是内部一点，且，则称点P为的勃罗卡点，同时称为的勃罗卡角．
（1）如图2，P为等边内部一点．其中，，请判断点P是不是等边的勃罗卡点，并说明理由；
（2）如图3，P为等边的勃罗卡点，求等边的勃罗卡角的度数；
（3）如图4，在（2）的条件下，作点P关于的对称点，连接与相交于点O，连接，，记的勃罗卡点为M，的勃罗卡点为N，求证：为等边三角形．
【答案】（1）解：点P不是等边的勃罗卡点，理由如下：
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
是的中垂线，
平分，
，
，
点P不是等边的勃罗卡点；
（2）解：点P为等边的勃罗卡点，
，
，
即，
，
同理可得，
在与中，
，
，
，
，
，
，
等边的勃罗卡角的度数为；
（3）证明：点P，关于对称，
为的中垂线，
，
为等腰三角形，
，
由（2）可知，
，
，
为等边三角形，同理可得为等边三角形，
如图，在内部作交于点N，连接，
为的中垂线，
，
，
，
，
，
点N为的勃罗卡点，且，
在内部作交于点M，
同理可证点M为的勃罗卡点，且，
，
，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-AAS；三角形的综合
【解析】【分析】（1）先利用等边三角形的性质证出，，再结合中垂线和角平分线的定义可得，从而可证出点P不是等边的勃罗卡点；
（2）先利用“AAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，利用等边对等角的性质可得，再求出，可得等边的勃罗卡角的度数为；
（3）先证出为等边三角形，为等边三角形，在内部作交于点N，连接，再求出点N为的勃罗卡点，且，点M为的勃罗卡点，且，再求出，可证出为等边三角形．
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