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湖南省娄底市部分学校2025-2026学年高一下学期7月期末考试数学试题
一、单选题
1．已知复数，且，则的值分别是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，集合，求（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量满足与的夹角为，则（ ）
A． B． C．3 D．
4．要得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．已知随机事件互为对立事件，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知一个正方体的8个顶点都在同一个球面上，则球的表面积与这个正方体的表面积之比为（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，B′在x′轴上，A′O′和x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为
A．4 B．4 C．2 D．2
8．任意一个复数（i为虚数单位）均可以表示为的形式，由棣莫弗定理可知：若，则，已知则（ ）
A．1 B．0 C． D．
二、多选题
9．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一．划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级：日均值在，空气质量为二级：日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（ ）
A．这10天的日均值的第75百分位数为60
B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差
C．这10天的日均值的中位数为41
D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差
10．在中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则一定为等腰三角形
C．若，则一定为直角三角形
D．若三角形的三边的比是，则此三角形的最大角为钝角
11．若是定义在上的函数，当时，，且对任意恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是奇函数
C．的图象关于对称 D．若，则恒成立
三、填空题
12．在中，D为边上的中点，则________（用表示）
13．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g）：
492 496 494 495 498 497 501 502 504 496
497 503 506 508 507 492 496 500 501 499
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为_________．
14．如图，长方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，且为的中点．二面角的正切值最大值为________．
四、解答题
15．已知向量，求：
(1)；
(2)．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
17．2025年春节期间，国产电影《哪吒之魔童闹海》凭借其震撼的特效、生动的情节与深刻的思想使票房一路攀升，于2025年2月6日登顶中国影史票房榜，根据网络平台数据，截至2025年5月5日，总票房（含港澳台和海外票房）已超158.24亿元，排名全球影史票房第五，是登顶全球动画电影票房榜的亚洲电影．某影院为了解观看该影片的观众的年龄结构，随机抽取了100名观众作为样本，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中的值以及样本年龄的众数．
(2)从样本中年龄为的三组观众中，按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取多少人？
(3)若样本中年龄在的观众年龄的平均数是6，方差是2，年龄在的观众年龄的平均数是57，方差是5，求这两组样本总的平均数和方差．
18．如图，在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求C；
(2)设D为的中点，分别在边，上取点E，F，使点C，D关于直线对称，若，，求.
19．甲 乙 丙三人玩“剪刀 石头 布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.
(1)求甲在一局中得2分的概率；
(2)求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率；
参考答案
1．D
解析：因为，且，
所以，所以，，所以，.
2．A
解析：因为集合，，
所以.
故选：A.
3．C
解析：.
4．B
解析：函数图象左右平移，依照左加右减的法则，
把的图象向右平移个单位，可得到的图象.
5．A
解析：因为随机事件互为对立事件，
所以，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
6．B
解析：设正方体的棱长为a，球的半径为R，则，
球的表面积为，正方体的表面积为，
.
故选：B
7．A
解析：由直观图与原图形中边OB长度不变，得S原图形＝2S直观图，得·OB·h＝2××2·O′B′，∵OB＝O′B′，∴h＝4．
故选A
8．D
解析：，故，
由于的周期均为，
因此也是以3为周期，
由于，
因此.
9．ABD
解析：首先从折线图提取10天的PM2.5日均值，按日期顺序为：30,41,32,34,40,80,78,60,45,48，
将全部数据从小到大排序得：30,32,34,40,41,45,48,60,78,80，逐一判断选项：
选项A：因为，故，不是整数，向上取整得到位置为，
排序后第项为，因此第百分位数为，选项A正确.
选项B：前5天数据为，极差为；
后5天数据为，极差为，显然，B正确.
选项C：10个数据的中位数是第5项和第6项的平均值，
即，C错误.
选项D：前5天数据全部集中在区间，波动程度很小；
后5天数据分布在区间，数值差异大，波动程度远高于前5天，
因此前5天的方差小于后5天的方差，D正确.
10．ACD
解析：对于A，在中，若，则，
又，所以，故A正确；
对于B，当，，时，，，
满足，但不是等腰三角形，故B错误；
对于C，若，则，
又，所以，
所以，即，
因为，所以，即，
所以一定是直角三角形，故C正确；
对于D，设三角形最大的角为，
则，又，所以，
因此此三角形的最大角为钝角，故D正确.
11．ABC
解析：对于A，在中，令，
可得，故，即，故A正确；
对于B，令，则，结合，得，
当时，有，即不恒为0，故必有，即是奇函数，故B正确，
对于C，由于是奇函数，故，令，
则，
因此的图象关于对称，即的图象关于对称，故C正确，
对于D，当且时，此时，显然，故D错误.
12．
解析：因为D是BC边的中点，所以，
所以.
13． /
解：通过统计，可知自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的共有 袋，
所以袋装食盐质量在之间的概率为，
根据频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在之间的概率约为： .
14．
解析：依题意平面平面，且平面平面，平面，
由题意：，所以 平面，
过点作于点，连接，如下图所示：
由平面，又平面，所以，
又，且，平面，
所以平面，平面，可得；
即可得为二面角的平面角；
设，则，
由的面积，
得
又三角形为正三角形，所以，
在中，.
当时取等号，
即二面角的正切值最大值为.
15．(1)
(2)
解析：（1）因为，所以．
解得，
所以，
因此.
（2）由（1）可知，，
.
16．(1)证明见解析；
(2)．
解析：（1）（1）证明：平面
又
而
平面，
平面
平面．
（2）解：连结，设点到平面的距离为．
由（1）有平面
在中，有
由，有
故所求点到平面的距离为．
17．(1)，众数为
(2)4人
(3)
解析：（1）由题意可得，解得，
由频率分布直方图可知：众数为.
（2）由频率分布直方图可知年龄为的三组观众频率之比为：，
所以按比例用分层随机抽样的方法抽取10人，则年龄在中的观众应抽取（人）
（3）由频率分布直方图可知的频率为，的频率为，
所以，
．
18．(1)
(2)
解析：（1）在中，由余弦定理可得.
所以即，所以.
又因为，所以.
（2）因为，，由余弦定理得，即，
所以，，
连接，，则，设为，，设为y，
在中，由余弦定理得，解得，
在中，由余弦定理得，解得，
所以.
19．(1)
(2)
解析：（1）根据题意，画出树状图，如图：

所以每局中共有种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：
（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、
（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、
（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、
一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率.
（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：
①第一局甲得2分，第二局甲得1分：
则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
此时概率为种情况，
②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，
则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；
由（1）中树状图可知满足情况有：
第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）
第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、
此时概率为，
综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率.

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