资源简介

之江学盟2026年8月高二年级线上周测联考（北师大版）
数学参考答案及评分标准
1．B 【详解】，集合有个元素，故集合的真子集个数为.
2．A 【详解】先判断命题的真假：
分式不等式等价于且，解得或，
恰好对应命题给出的取值范围，
∴ ，恒成立，故为真命题，为假命题.
再判断命题的真假：不等式化简得，即，
∵ ，∴ 不等式等价于，解得，
即当时，成立，例如取，，满足条件，
∴ ，成立，故为真命题，为假命题.
综上，和都是真命题，A选项正确.
3．D 【详解】由题意，
所以，
因为，
所以时，，时，，
所以的范围是.
4．A 【详解】在中，，，
由正弦定理可得，
有两解，则满足，所以，
综上，的取值范围为.
5．D 【详解】由圆的方程，得圆心，半径.
设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得.
由弦长公式，得弦长.
∵ 的面积为，
∴ .
将上式两边平方得：，令，则，
整理得，解得或.
① 当时，，即，
展开化简得，解得或，均符合题意.
② 当时，，即，
展开化简得，其判别式，无实根.
综上，的值为或.
6．A 【详解】（），
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，.
所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为.
7．B 【详解】由圆与相切，则圆心到直线l的距离，则或，
若，由圆与相切，则圆心到直线l的距离，不合题意；
若，由圆与相切，则，
由于圆心距（分别为两圆半径），此时两个圆外切，
如图，过点作，则,，

于是.
8．A 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式：
，化简为， (1)
设环境音速为 c(单位:)， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6，所以
又因为 ，所以,
化简得， , (2)
当燃料质量为 时，马赫数为 10，
令并代入(1)式子中，
化简，
(3)
将式子(2)代入公式(3)中
故选：A
9．BCD 【详解】A选项：取标号为1、2、3的3个小球，标号之和为6，不满足大于6，故标号之和大于6不是必然事件，A错误；
B选项：任取3个小球的最小标号和为，故标号之和小于6是不可能事件，B正确；
C选项：任取2个小球的颜色仅存在颜色相同、颜色不同两类情况，二者为对立事件，C正确；
D选项：设A表示:“两球标号之和是3的倍数”，B表示“两球标号之积大于6”，
计算可得，且，
满足，故二者相互独立，D正确.
10．AC 【详解】由已知得，，
对于A，若，，
则，故A正确；
对于B，若，，
则
，故B错误；
对于C，若点，则，故C正确；
对于D，若点，，
则，，
所以，故D错误.
11．BCD 【详解】

因为，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，
所以这个六面体不是棱台，所以错误.
由题意可知，这个六面体的外接球球心在直线上，且，因为，
解得所以六面体的外接球半径，所以这个六面体的外接球体积是，B正确.
和显然不相交，因为，
所以与不平行，所以和不在同一平面内，C正确.
取和的中点分别为，，连接，则即所求二面角的平面角，，所以，D正确.故选：BCD.
12． 【详解】由，两边平方可得，解得，
则，.
故答案为：.
13．乙机床. 【详解】因为，；
，
.
因为，.所以性能更好的机床是乙机床.
14． 【详解】因为的顶点，，，
所以的重心为，即，
可得直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
直线的斜率为，则边上的高所在的直线斜率为，
则方程为，即，
联立方程，解得，即的垂心为，
则直线斜率为，则可得直线方程为，
故的欧拉线方程为.
故答案为：.
15．【详解】（1）当时，，
所以复数的模为，共轭复数为.
（2）因为，
因为该复数为实数，所以虚部为 0，
即：，解得.
16．【详解】（1）由频率分布直方图可知：各组频率依次为，，，，.
因为各组的频率和为，所以，解得：.
因为前三组的频率和为，前四组的频率和为，，所以第80百分位数在.设第80百分位数为,
则，解得：.
综上可得：，第80百分位数为.
（2）由（1）可知：成绩在，内的频率依次为，，
则两组的频率之比为.
因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，
所以成绩在内的教职工有人，记为A，B；成绩在内的教职工有人，记为C，D，E，F.
从这6人中随机抽取2人的所有可能结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15种.
其中恰有1人的竞赛成绩在内的情况有：，，，，，，，，共8种，
根据古典概型的概率公式可得：恰有1人的竞赛成绩在内的概率为.
17．【详解】（1）因为底面，底面，故；
又底面是正方形，故.
由，，，平面，所以平面.
又平面，所以.
因为，是中点，所以；
因为，，，平面，故平面.
又因为平面，所以平面平面.
（2）因为，平面，平面，故平面.
又平面，平面平面，由线面平行性质得.
由（1）知平面，且，所以平面，
又因为，得平面，故且，因此就是二面角的平面角.
在中，，，故.
因此二面角的平面角大小为.
（3）设.
因为是中点，底面，故到底面的距离为.
又因为是中点，，.
三棱锥的体积.
由（1）知平面，且平面，所以.
在直角三角形中，，所以，，.
在直角三角形中，，，所以.
在直角三角形中，.
设点到平面的距离为，由，代入得.
因为在平面上，设直线与平面所成角为，则.
因此直线与平面所成角的正弦值为.
18．【详解】（1）设动点，因为、，又，
得，化简整理得：，
所以圆的方程为.
（2）（ⅰ）由，
又，所以，令，则，
设，则有，又直线的斜率，则，
又由，得，代入，
得到，即，
∵，则，所以，
又，则，所以，故的取值范围.
（ⅱ）由（ⅰ）有，由阿氏圆定义知在以为定点的阿氏圆上，
设此阿氏圆圆心为，半径为，与直线的另一个交点为，
则有，即，整理得到，
又，解得，∴，
又，
∴，
设，则，整理得到，
解得或（舍去），
由，解得， ，
∴，则直线的方程为，即.
19．【详解】（1）设，则，
当时，则；当时，则；
当时，则；当时，则.
如图，点的轨迹是一个边长为的正方形，
点的轨迹所围成的图形面积为.
（2）证明：设，
则
，
当且仅当且时等号成立，
在中，.
（3）点到直线的距离为.
设，则，
当时，，又此时，满足题意；
当时，，
又且恒成立，当且仅当时等号成立.
综上，满足条件的直线有且只有两条，方程是和
数学参考答案及评分标准 第 2 页（共 4 页）之江学盟 2026年 8月高二年级线上周测联考（北师大版）
数学参考答案及评分标准
1．B 【详解】A x Z 1 x 4 2,3 ，集合 A有 2个元素，故集合 A的真子集个数为 22 1 3 .
2．A 【详解】先判断命题 p的真假：
x
分式不等式 0等价于 x(x 1) 0且 x 1，解得 x 0或 x 1，
x 1
恰好对应命题 p给出的取值范围 x ( ,0) (1, )，
∴ x ( , 0) (1, )
x
， 0恒成立，故 p为真命题， p为假命题.
x 1
再判断命题 q的真假：不等式 x3 x(x 0)化简得 x3 x 0，即 x(x2 1) 0，
∵ x 0，∴ 不等式等价于 x2 1 0，解得0 x 1，
1 1 3 1 1
即当 x (0,1)时， x3 x成立，例如取 x ， ，满足条件，2 2 8 2
∴ x 0， x3 x成立，故 q为真命题， q为假命题.
综上， p和 q都是真命题，A选项正确.
m 2cos
3．D 【详解】由题意
2 m
2 2sin ，
所以 2 4cos 2 2sin 4sin 2 2sin 2 4(sin
1
) 2 9 ，
4 4
因为 1 sin 1，
1 9
所以 sin 时， min ， sin 1时， 4 4 max
4，
所以 的范围是 [ 9 , 4] .
4
4．A 【详解】在 ABC中， a 9， sin B
1
，
3
a b sin A a sin B 3由正弦定理 可得 ，
sinA sinB b b
ABC有两解，则满足asin B b a，所以3 b 9，
综上，b的取值范围为 3,9 .
5．D 【详解】由圆C的方程 (x 1)2 (y 2)2 25 ，得圆心C(1, 2)，半径 r 5 .
|1 2m |
设圆心C到直线 x my 0的距离为 d，由点到直线距离公式得 d
1 m2
.
由弦长公式，得弦长 | AB | 2 r2 d 2 2 25 d 2 .
数学参考答案及评分标准 第 1页（共 9页）
∵ ABC的面积为 2 6 ，
S 1 AB d d 25 d 2∴ ABC 2 6 .2
将上式两边平方得： d 2 (25 d 2 ) 24，令 t d 2 (t 0)，则 t(25 t) 24，
整理得 t 2 25t 24 0，解得 t 1或 t 24 .
(1 2m)2
① 当 t 1时， d 2 1，即 1，
1 m2
4
展开化简得3m2 4m 0，解得m 0或m 3，均符合题意.
2
② 当 t 24时， d 2
(1 2m)
24，即 2 24，1 m
展开化简得 20m2 4m 23 0 ，其判别式 42 4 20 23 1824 0 ，无实根.
4
综上，m的值为0或 .
3
N 450v 450
6．A 【详解】 0.5v2 v 8 0.5v 8 1（ v 0），
v
8
因为0.5v 8 2 0.5v 8 4，当且仅当0.5v ，即 v 4时，等号成立，
v v v
8 450
所以0.5v 1 5
90
， 0.5v 8 1 .v v
所以当 v 4时，这条分拣线吞吐量 N取得最大值，最大值为90 .
1 n
7．B 【详解】由圆C1与 l相切，则圆心到直线 l的距离 d 1，则 n 2或n 4，3
2 2
若 n 2，由圆C2 与 l相切，则圆心C2 到直线 l的距离 d 0 m ，不合题意；
3
2 4
若 n 4，由圆C2 与 l相切，则 d 2 m，
3
由于圆心距 C1C2 3 r1 r2（ r1,r2分别为两圆半径），此时两个圆外切，
如图，过点C1作C1Q C2N，则C1M 1,C2Q 2 1 1，
于是MN C1Q 9 1 2 2 .
数学参考答案及评分标准 第 2页（共 9页）
8．A 【详解】我们已知飞行器最大速度 v、燃料质量 m、飞行器自身质量 M 满足关系式：
v 3600 lnM 3600 ln(M m) M m m，化简为， v 3600ln 3600ln
1 (1)
M M
am / s. 设环境音速为 c(单位: )， 当燃料质量为 a 时，马赫数为 6，所以 v1 3600ln 1
M
v1 6
a
又因为 ，所以3600 ln
c
1 6c ,
M
a 6c c
化简得， ln 1 , (2)
M 3600 600
当燃料质量为 e M a M 时，马赫数为 10，
e M a M
令m2 e M a M
m 并代入(1)式子中， v2 3600ln 1 2 3600ln 1
M M
化简，
e M a
v2 3600ln

3600 ln e ln
M a
M M (3)
3600 1 ln
a
2
1 10c
M
v 3600 1 c 3600 1 c将式子(2)代入公式(3)中 2 3600 1800 6c 2 600 2 600
1800 6c 10c，c 450故选：A
9．BCD 【详解】A选项：取标号为 1、2、3的 3个小球，标号之和为 6，不满足大于 6，故标号
之和大于 6不是必然事件，A错误；
B选项：任取 3个小球的最小标号和为1 2 3 6，故标号之和小于 6是不可能事件，B正确；
C选项：任取 2个小球的颜色仅存在颜色相同、颜色不同两类情况，二者为对立事件，C正确；
D选项：设 A表示:“两球标号之和是 3的倍数”，B表示“两球标号之积大于 6”，
P A 4 2计算可得 ,P B 5 1 ，且 P AB 2 1 ，
10 5 10 2 10 5
满足 P(AB) P(A)P(B)，故二者相互独立，D正确.

10 AC 2 2

． 【详解】由已知得 i j 1， i j i j cos 60
1

2，

对于 A，若OA x1, y1 ，OB x2 , y2 ，

则OA OB x1i y1 j x2i y 2 j x1 x2 ,y1 y 2 ，故 A正确；

对于 B，若OA x1, y1 ，OB x2 , y2 ，

则OA OB x1i jy1 x2i y2 j x1x2 y1y2 x1y2 x2 y1 i j
x1x y
1
2 1y2 x y x y ，故 B错误；2 1 2 2 1
数学参考答案及评分标准 第 3页（共 9页）

对于 C，若点 P 3,4 2 ，则 OP 3i 4 j 3i 4 j 9 16 24i j 37 ，故 C正确；
对于 D，若点 P x1,1 x1 ，Q x2 ,1 x2 ，

则 PQ x2 x1 ,1 x2 1 x1 x2 x1 ,x1 x2 ， PQ x2 x1 i x1 x2 j，

所以 PQ x2 x1
2 x 21 x2 x
2
1 x2 x
2
1 x2 0，故 D错误.
11．BCD 【详解】
A B AD
因为 1 1 1 1 ，所以四条侧棱的延长线不能交于一点，
AB AD
所以这个六面体不是棱台，所以A错误.
由题意可知，这个六面体的外接球球心O在直线O1O2上，且O1A 4 2,O2A1 2 5，因为
O 2 2 21A OO1 O2A1 6 OO
2 R21 ，
解得OO1 2
4
所以六面体的外接球半径 R 6，所以这个六面体的外接球体积是 πR3 288π，B正确.
3
AC和 AC
BC 7 BC 1
1 1显然不相交，因为 tan CAB , tan C A B 1 1 , tan CAB tan C A B ，AB 5 1 1 1 A1B1 2
1 1 1
所以 AC与 A1C1不平行，所以 AC和 A1C1不在同一平面内，C正确.
取 BC和B1C1的中点分别为M ， N，连接O2N ,MN ,O1M ，则 O1MN 即所求二面角的平面角，
OM O N 37
O1M 5,O N
1 2
2 4，所以 cos O1MN OO2 OM O N 2 37
，D正确.故选：BCD.
1 2 1 2

12． 7 【详解】由 2a b 2，两边平方可得
2 2
2a b 2a 2 b2 4a b 4 a 2 b 4a b 8 4a b 4，解得 a b 1，
2 2
则 a b a 2 b 2a b 1 4 2 7， a b 7 .
故答案为： 7 .
数学参考答案及评分标准 第 4页（共 9页）
x 3 0 2 1 3 2 3 413．乙机床. 【详解】因为 甲 1.5，10
S 1 3 0 1.5 2 2 1 1.5 2 3 2 1.5 2 3 1.5 2 4 1.5 2 165甲 ；10 10
x 2 0 5 1 2 2 3乙 1.2，10
S 1 2 0 1.2 2乙 5 1 1.2
2 2 2 1.2 2 3 1.2 2 19 .
10 5
因为 x x ， S甲 S甲 乙 乙 .所以性能更好的机床是乙机床.
14． x y 1 0 【详解】因为 ABC的顶点 A 0,3 ，B 2,1 ，C 4,5 ，
0 2 4 3 1 5
所以 ABC 的重心为G , ，即G 2,3 ，
3 3
1 3
可得直线 AB的斜率为 1，则 AB边上的高所在的直线斜率为1，
2 0
则方程为y 5 x 4，即 x y 1 0，
3 5 1
直线 AC的斜率为 ，则 AC边上的高所在的直线斜率为 2，
0 4 2
则方程为 y 1 2 x 2 ，即 2x y 5 0，
4
2x y 5 0 x 3 H 4 7 联立方程 ，解得 7，即
ABC的垂心为 ,
x y 1 0 3 3
，
y
3
3 7
则直线GH 3斜率为 4 1，则可得直线GH方程为 y 3 x 2，2
3
故 ABC的欧拉线方程为 x y 1 0 .
故答案为： x y 1 0 .
数学参考答案及评分标准 第 5页（共 9页）
15．【详解】（1）当m 3时， z 3 2i，
所以复数 z的模为 z 32 ( 2)2 13 ，共轭复数为 z 3 2i .
（2）因为 z 1 2i (m 2i) (1 2i) (m 4) (2m 2)i，
因为该复数为实数，所以虚部为 0，
即： 2m 2 0，解得m 1 .
16．【详解】（1）由频率分布直方图可知：各组频率依次为0.1，0.2，0.3，0.25，10a .
因为各组的频率和为1，所以0.1 0.2 0.3 0.25 10a 1，解得： a 0.015 .
因为前三组的频率和为0.1 0.2 0.3 0.6，前四组的频率和为 0.1 0.2 0.3 0.25 0.85，
0.6 0.8 0.85，所以第 80百分位数在 80,90 .设第 80百分位数为 x ,
则0.1 0.2 0.3 x 80 0.025 0.8，解得： x 88 .
综上可得： a 0.015，第 80百分位数为88 .
（2）由（1）可知：成绩在 50,60 ， 60,70 内的频率依次为0.1，0.2，
则两组的频率之比为0.1: 0.2 1: 2 .
因为用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在 50,60 ， 60,70 内的两组教职工中抽取 6
人，
所以成绩在 50,60 6 1内的教职工有 2 2人，记为 A，B；成绩在 60,70 内的教职工有 6 4
1 2 1 2
人，记为 C，D，E，F.
从这 6人中随机抽取 2人的所有可能结果有： A,B ， A,C ， A,D ， A,E ， A,F ， B,C ， B,D ，
B,E ， B,F ， C,D ， C,E ， C,F ， D,E ， D,F ， E,F ，共 15种.
其中恰有 1人的竞赛成绩在 60,70 内的情况有： A,C ， A,D ， A,E ， A,F ， B,C ， B,D ，
B,E ， B,F ，共 8种，
根据古典概型的概率公式可得：恰有 1人的竞赛成绩在 60,70 8内的概率为 .
15
17．【详解】（1）因为 PA 底面 ABCD， BC 底面 ABCD，故 PA BC；
又底面 ABCD是正方形，故 BC AB .
由 PA BC， BC AB， PA AB A，PA, AB 平面 PAB，所以BC 平面 PAB .
又 AE 平面 PAB，所以 BC AE .
因为 PA AB， E是 PB中点，所以 AE PB；
因为 BC AE， AE PB，PB BC B，PB,BC 平面 PBC，故 AE 平面 PBC .
又因为 AE 平面 AEF ，所以平面 AEF 平面 PBC .
数学参考答案及评分标准 第 6页（共 9页）
（2）因为 AD//BC， AD 平面 PAD，BC 平面 PAD，故 BC //平面 PAD .
又 BC 平面 PBC，平面PBC 平面 PAD l，由线面平行性质得 l //BC //AD .
由（1）知 BC 平面 PAB，且 BC //AD，所以 AD 平面 PAB，
又因为 l //AD，得 l 平面 PAB，故 l PA且 l PB，因此 APB就是二面角 B l D的平面角.
在Rt△PAB中， PA AB， PAB 90 ，故 APB 45 .
因此二面角 B l D的平面角大小为 45 .
（3）设 PA AB 2 .
因为 E是 PB中点， PA 底面 ABCD，故 E到底面 ABCD
1
的距离为 PA 1 .
2
又因为 F是 BC S
1
中点， BF 1， ABF AB BF 1.2
1 1
三棱锥 E ABF 的体积V S
3 ABF
1 .
3
由（1）知 AE 平面 PBC，且 EF 平面 PBC，所以 AE EF .
1
在直角三角形 PAB中， PA AB 2，所以PB 2 2， AE PB 2， . 2 BE 2
在直角三角形 EBF中， BE 2， BF 1，所以EF BE2 BF 2 3 .
在直角三角形 AEF S 1 AE EF 6中， AEF .2 2
设 B点到平面 AEF 的距离为 h，由VB AEF V
1 1 6
E ABF S AEF h，代入得 h .3 3 3
6
因为 A在平面 AEF 上，设直线 AB与平面 AEF 所成角为 ，则 sin h 3 6 .
AB 2 6
因此直线 AB与平面 AEF 6所成角的正弦值为 .
6
PF 1
18．【详解】（1）设动点 P(x, y)，因为 F( 2,0)、 E(4 2,0)，又 PE 2，
得 2 (x 2)2 y2 (x 4 2)2 y2 ，化简整理得： x2 y2 8，
所以圆C的方程为 x2 y2 8 .
数学参考答案及评分标准 第 7页（共 9页）
1
S SB SF sin BSF SB
（2）（ⅰ）由 SBF 2 ，
S 1 SDF SD SF sin DSF SD
2
S SBF BF BS BF BF
又 ，所以 S DF DS DF ，令
( 0)
DF ，则 BF .FD， SDF
2 2
设D(x0 , y0 )，则有 x0 y0 8，又直线 l的斜率 k 0，则 x0 2 2, 2 ，
x 2( 1) x
又由 BF .FD x 0 2, y B 0 2 20 ，得 ，代入 x y 8，
yB y0
2
得到 2 2 2 1 x0 y0 8 0 ，即 1 5 3 2 x0 0，
3
∵ 0，则5 3 2 x0 0，所以 5 ， 2x0
3 1 BS
又 x0 2 2, 2 ，则3 5 2x 10 9，所以 ( ,1)5 2x 3 ，故 DS 的取值范围 ( ,1) . 0 3
SB TB BF
（ⅱ）由（ⅰ）有 SD TD DF ，由阿氏圆定义知
S ,T ,F 在以 B,D为定点的阿氏圆上，
设此阿氏圆圆心为C1，半径为 r，与直线 l的另一个交点为 N，
BF NB BF 2r 1 BF r
则有 ，即 1 1DF ND DF 2r DF ，整理得到 ，BF DF
又 S 2
1 1 1
圆C πr 12π1 ，解得 r 2 3，∴ | BF | |DF | ，2 3
2 2
又 DF x 2 y20 0 x0 2 8 x20 10 2 2 x0，
1 1 1 1 1 1 1 1
5 2x 1
∴
0 1
BF DF DF DF DF ， 10 2 2 x 3 2 30
1 (t
2
设 t 5 2x 0，则 1)
1
6
0 ，整理得到 t
2 t 3 0，
2t 3 2 3 2
6
解得 t 6或 （舍去），
2
5 2x 6 x 2 y 8 x 2 30由 0 ，解得 0 ， 0 2 0
，
2

∴ k
y0 15 30 15 2 ，则直线 l 15 30的方程为 y x ，即 .2 x0 3 2 3
y x
2 3 3
数学参考答案及评分标准 第 8页（共 9页）
19．【详解】（1）设M x, y ，则 x y 1，
当 x 0, y 0时，则 x y 1；当 x 0, y 0时，则 x y 1；
当 x 0, y 0时，则 x y 1；当 x 0, y 0时，则 x y 1 .
如图，点M 的轨迹是一个边长为 2的正方形，
点M 的轨迹所围成的图形面积为 ( 2)2 2 .
（2）证明：设 A xA , yA ,B xB , yB ,C xc , yc ，
则 d A,C d C,B xA xC yA yC xC xB yC yB
xA xC xC xB yA yC yC yB xA xB yA yB d A, B ，
当且仅当 xA xC xC xB 0且 yA yC yC yB 0时等号成立，
在 ABC中， d A,C d C,B d A,B .
1 k 1 k
（3） 点O到直线 kx y 1 k 0的距离为 , D(O,P)
2 min
.
k 1 k 2 1
设Q x,kx 1 k ，则 d O,Q x kx 1 k ，
当 k 0时， d O,Q x 1 1, d(O,Q)min 1，又此时D(O,P)min 1，满足题意；
d O,Q x k x k 1 , d(O,Q) min 1 k , k 1 当 k 0时，
k min
，
k
1 k k 1 1 k
又 1 k 且 k 恒成立，当且仅当
k 1时等号成立.
k 2 1 k 2 1
综上，满足条件的直线 l有且只有两条，方程是 y 1和 y x
数学参考答案及评分标准 第 9页（共 9页）◆
■
■
■
请在各脚目的答脚区域内作菩，超出答搬区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
之江学盟2026年8月高二年级线上周测联考（北师大版)
四、解答题（共77分）
16.（15分)
15.(13分)
数学答题卡
姓
贴条形码区
准考证号
注
写框内
在指定位置，
2.答选择时
,必须使用2B铅笔填涂拉
3.
事
食提题送餐，品香区书雾的案无器在，
严樊使用涂改液、胶带纸和修
项
此栏考生禁填缺考标记 缺烤考生，由监考员贴形码，并用2B铅笔填涂左边的缺烤标配
第I卷（用2B铅笔填涂）
选择题（第1-8小题，每小题5分；第9~11小题，每小题6分，共58分
1口团TI
5四西四四
9口团码I
2团四四
6四四gD
10a四四四
3①四a四
7口团刀
1知四四四
4四
8四四
第Ⅱ卷（用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写】
三、填空题（每小题5分，共15分）
2
13
14
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
■
■
数学第1页（共2页）
■
■
■
■
■
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
清在各题目的答区威内作签，超出答区域的率无效
发
器口口
考生务必将姓名、准考证号末两位用0.5毫米的
姓名
18.(17分)
19.(17分)
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
17.(15分)
D
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效
■
数学第2页（共2页）秘密★启用前
之江学盟2026年8月高二年级线上周测联考（北师大版）
数 学
命题、审题单位：之江学盟数学组 试卷类型：线上周测联考
本试卷共6页，共19题，满分150分，考试用时120分钟 2026年8月6日下午15:00—17:00
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试题考查范围：北师大版必修全册占60%+选择性必修一第一章占40%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．集合的真子集个数为
A． B． C． D．
2．已知命题p：，，命题q：，，则
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
3．已知复数，．若，则实数的取值范围为
A． B．
C． D．
4．已知的内角的对边分别为，若满足的有两解，则的取值范围为
A． B． C． D．
5．已知直线与：交于，两点，当面积为时，
A． B． C．或 D．或
6．在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为
A．90 B．110 C．135 D．160
7．已知圆和圆，直线与，均相切，切点分别为，，则
A．3 B． C．4 D．
8．在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度(单位:) 燃料的质量(单位:)与该飞行器(除燃料外)的质量(单位:)满足关系式.已知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音速的比值，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质量为时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境的音速为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．袋中有5个质地均匀的小球，其中两个红球标号为1，2，三个白球标号为3，4，5，则
A．任取3个小球，标号之和大于6是必然事件
B．任取3个小球，标号之和小于6是不可能事件
C．任取2个小球，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件
D．任取2个小球，“两球标号之和是3的倍数”与“两球标号之积大于6”相互独立
10．如图，，是平面内相交成角的两条数轴，分别为轴，轴正方向上的单位向量．若，记，，则下列说法正确的是
A．若，，则
B．若，，则
C．若点，则
D．若点，，则的最小值为
11．上海世博会中国国家馆以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的六面体，设矩形和的中心分别为和，若平面，，，，，，，，，，则
A．这个六面体是棱台
B．该六面体的外接球体积是
C．直线与异面
D．二面角的余弦值是
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．平面向量，满足，，，则______．
13．甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：甲：0，1，0，2，2，0，3，1，2，4乙：2，3，1，1，0，2，1，1，0，1
分别计算平均数和标准差，从计算结果看，性能更好的机床是______．
14．数学家欧拉1765年在《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上”，这就是著名的欧拉线定理后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点，，，则的欧拉线的方程为__________.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知为虚数单位，为实数，复数．
（1）当时，求的模和；
（2）若为实数，求的值．
16．（15分）
某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分100分），共有100名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成，，，，五组，制成如图所示的频率分布直方图．
（1）求的值，并计算第80百分位数；
（2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在，内的两组教职工中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人参加交流会，求其中恰有1人的竞赛成绩在内的概率．
17．（15分）
我国古代数学名著《九章算术》在“商功”一章中，将“底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥”称为“阳马”．现有如图所示一个“阳马”形状的几何体，底面是正方形，底面，，，分别为线段，的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）记面与面的交线为，求二面角的平面角的大小；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
18．（17分）
古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：“平面内到两个定点的距离之比为定值的点的轨迹是圆”，现在人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，定点、，动点满足，则的轨迹为阿氏圆，以下称该阿氏圆为圆.
（1）求圆的方程.
（2）如图，过点斜率为的直线与圆相交于，（点在轴上方），点，是不在直线上的两点，满足平分，平分.
（ⅰ）求的取值范围.
（ⅱ）将点、、看作一个阿氏圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程.
19．（17分）
人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术，主要应用距离测试样本之间的相似度.在平面直角坐标系中，，定义两种距离：欧几里得距离；曼哈顿距离.
（1）求满足的点的轨迹所围成的图形面积；
（2）在中，求证：；
（3）已知点是直线上的两动点，问是否存在直线使得？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由.
数学试题 第 2 页（共 4 页）秘密★启用前
之江学盟2026年8月高二年级线上周测联考（北师大版）
2026
数学
之江学盟
命题、审题单位：之江学盟数学组
试卷类型：线上周测联考
本试卷共6页，共19题，满分150分，考试用时120分钟
2026年8月6日下午15：00-17：00
注意事项：
1,答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写
在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试题考查范围：北师大版必修全册占60%+选择性必修一第一章占40%。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1.集合A-{x∈ZA.2
B.3
C.7
D.15
2.已知命题p:xe(-0U1+w),>0,命题g:3x>0,A.p和g都是真命题
B.p和q都是真命题
C.p和一g都是真命题
D.p和一g都是真命题
3.已知复数z,=m+(2-m2)i(m∈R),2=2cos0+(1+2sin0)i(2,0∈R).若名=z2,则实
数1的取值范围为
A.[-2,4
B.【-1,3]
c.
数学试题第1页（共6页）
4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足a=9,sinB=的△ABC有两解，
3
则b的取值范围为
A.(3,9)
B.[3,9)
C.(3,6)
D.(9,12)
5.已知直线x-y=0与⊙C:(x-1)2+y-2)2=25交于A,B两点，当△ABC面积为2√6
时，m=
A.0
B.2
C.2或4
3
3
D.0或
6.在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞
吐量.某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：N=
450w
(v>0),其中v为
0.5v2+v+8
传送带的运行速度（单位：m/s),则这条分拣线吞吐量的最大值为
A.90
B.110
C.135
D.160
7.已知圆C:(x+1)+y2=1和圆C2:(x-2)+y2=m2(m>0),直线1：x+2W2y+n=0与C,
C,均相切，切点分别为M,N,则MN=
A.3
B.2W5
C.4
D.2W5
8.在不考虑空气阻力的前提下，某飞行器的最大速度v(单位：m/s)、燃料的质量m(单
位：kg)与该飞行器（除燃料外）的质量M(单位：kg)满足关系式
v+3600lnM=3600ln(M+m).己知飞行马赫数是飞行器的最大速度与所处环境下音
速的比值，当燃料的质量为α时，最大速度所对应的飞行马赫数为6，当燃料的质
量为V·(M+a)-M时，最大速度所对应的飞行马赫数为10，则该飞行器所处环境
的音速为
A.450m/s
B.420m/s
C.900m/s
D.480m/s
数学试题第2页（共6页）

展开更多......

收起↑