资源简介

1.3勾股定理的应用
A组 基础巩固
1.《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长午横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门.试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长AC为x尺，依题意可得方程(　　)
A.(x－4)2＋(x－2)2＝x2
B.42＋(x－2)2＝x2
C.(x－4)2＋(x－2)2＝2x2
D.(x－4)2＋22＝x2
第1题图
2.(2025·揭阳期中)如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是　　.
第2题图
3.(2025·河源期末)【问题情境】如图，某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度.
【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.
【实践探究】设计测量方案：
第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1 m；
第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5 m.
【问题解决】设旗杆的高度AB为x m，通过计算即可求得旗杆的高度.
(1)依题知BC＝　　m，用含有x的式子表示AC为　　m；
(2)请你求出旗杆的高度.
B组 能力提升
4.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，半圆的半径为4 m，AB＝CD＝18 m，CE＝2 m.一位滑行爱好者从A点到E点滑行的最短距离是　　m(π取3).
5.如图，一个无盖的半圆柱形容器，它的高为6 cm，底面半圆直径AC为4 cm，点A处有一只蚂蚁沿如图所示路线爬行，它想吃到上底面圆心B处的食物，则爬行的最短路程是(π取3)(　　)
A.6 cm B.8 cm C.2 cm D.10 cm
第4题图
6.如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A出发，在盒子表面上爬到点G，已知AB＝6，BC＝5，CG＝3，这只蚂蚁爬行的最短路程是　 　.
7.如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20 m的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算.若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米？
8.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3.求AC的长.
C组 思维拓展
9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为斜边AB上的一点，连接CD，将△BCD沿CD翻折，使点B落在点E处，点F为直角边AC上一点，连接DF，将△ADF沿DF翻折，点A恰好与点E重合.若AD＝5，则EF的长为 　 .
10.如图，大风把一棵树刮断，已知树高8 m，AC＝4 m，则树折断处与地面的距离BC的长为　 　m.
11.(2025·揭阳期末)某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50 cm，底面边长为40 cm，则这圈彩带的长度至少为(　 　)
A.50 cm B.120 cm
C.130 cm D.150 cm
12.如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C'处，BC'交AD于点E.若AB＝4，AD＝8，则△BDE的面积为　 　.
13.【空间观念】如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点.一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为　 　.
14.如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H(A，H，B在一条直线上)，并新修一条路CH，测得BC＝6 km，CH＝4.8 km，BH＝3.6 km.
(1)问CH是否为从村庄C到河边的最近路线(即CH与AB是否垂直)？请通过计算加以说明.
(2)求原来的路线AC的长.
1.3勾股定理的应用
A组 基础巩固
1.(　A　)
2　3 cm　.
3. (1)　5　m，　(x＋1)　m；
(2)解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2＋AB2＝AC2，即52＋x2＝(x＋1)2.
解得x＝12.
答：旗杆的高度为12 m.
B组 能力提升
4.　20　
5. (　D　)
6.　10　.
7.解：设树的高度CD为x m.
因为两只猴子所经过的距离相等都为10＋20＝30 (m)，
所以由勾股定理，得x2＋202＝[30－(x－10)]2，解得x＝15.
因此，这棵树高15 m.
8.解：因为BC＝5，CD＝4，BD＝3，42＋32＝52，
所以CD2＋BD2＝BC2.
所以△BDC为直角三角形且∠BDC＝90°.
在△ADC中，因为∠ADC＝180°－90°＝90°，
所以△ADC是直角三角形.
依题意，得AC2＝(AB－BD)2＋CD2，
即AC2＝(AC－3)2＋42，解得AC＝.
故AC的长为.
C组 思维拓展
9.
10.　3　
11. (　C　)
12.　10　.
13.　10　.
14.解：(1)CH是从村庄C到河边的最近路线.理由如下：
因为在△CHB中，CH2＋BH2＝4.82＋3.62＝62＝BC2，
所以△CHB是直角三角形，且∠CHB＝90°.
所以CH⊥AB，即CH是从村庄C到河边的最近路线.
(2)设AC＝AB＝x km.
在Rt△ACH中，AH＝(x－3.6)km，CH＝4.8 km，
由勾股定理，得AC2＝AH2＋CH2，即x2＝(x－3.6)2＋4.82.解得x＝5.
因此，原来的路线AC的长为5 km.

展开更多......

收起↑