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2025-2026学年湖南省怀化市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，为虚数单位，求( )
A. B. C. D.
2.已知，与夹角为，则( )
A. B. C. D.
3.为了调查某校高一学生心理健康情况，计划采用分层随机抽样的方法抽取名学生进行调查，已知该校高一学生中男生、女生人数分别，名，则应抽取男生的人数为( )
A. B. C. D.
4.在中，设，，若，则( )
A. B. C. D.
5.将一个棱长为的正方体铁块磨制成一个球体零件，则可能制作的最大零件的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知向量满足，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
8.棱长为的正方体中，为正方体表面的动点，为正方体外接球的球心，满足，则点的运动轨迹的长度( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，不正确的是( )
A. 底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B. 一个多面体至少有个面
C. 有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
D. 用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
10.设，，是样本空间中三个概率都大于的随机事件，则下列选项正确的是( )
A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B. 事件与事件中至少有一个发生的概率不小于与中恰有一个发生的概率
C. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立
D. 若成立，则事件，，一定两两独立
11.复数为虚数单位的三角形式为，我们把这个结论：是复数的模，是复数的辐角，叫做棣莫弗定理根据以上信息判断下列选项正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，存在满足，这样的共有个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个非零向量，，且，若，则 ．
13.有一组样本数据：，，，，，，，已知它的平均数为，方差为，则新数据，，，，的方差为 ．
14.已知一个圆锥的底面半径为，侧面积为若在该圆锥内能放入一个可以任意方向自由旋转的正方体圆锥表面厚度忽略不计，则该正方体体积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
抛掷两枚质地均匀的正四面体骰子标记为Ⅰ号和Ⅱ号，分别观察底面上的数字各面分别印有“”“”“”“”四个数字设事件“两个数字之和是若“两个数字之积不小于”．
用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
求事件及事件的概率，判断这两个事件是否独立，并说明理由．
16.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
求角；
点在的延长线上，若是斜边为的直角三角形，求的面积．
17.本小题分
某市政府为了鼓励居民节约用水，拟确定一个合理的月用水量标准吨，一户居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费通过抽样，获得了户居民的月均用水量单位：吨，将数据分成组制成了下方所示的频率分布表．
分组 频率
若该市有万户居民，请估计全市月均用水量不低于吨的户数；
若该市政府希望使的居民的月均用水量不超过标准吨，请估计的值；
现拟定收费标准如下：月用水量不超过吨的部分按元吨收费，超出吨的部分按元吨收费若取，试利用该样本数据估计该市每户居民月均水费的平均值每组数据用区间中点值作为该组居民的月均用水量．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，分别是，的中点．
求证：；
设面面
求证：；
若直线与直线所成角为，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知，，定义运算设为坐标原点，，为平面直角坐标系中的两点，且．
求证；
若，设，求证是一个仅与有关的量；
设，，利用的结论证明的面积为．
已知，，设的面积为，若，恒成立，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】，，其中为Ⅰ号骰子点数，为Ⅱ号骰子点数，
，，，，
，，，，，，，
相互独立，理由如下：
事件，，
所以，
又因为，，
所以，
所以事件与事件相互独立
16.【答案】

17.【答案】万户
元
18.【答案】证明：底面为正方形，因此，
又底面，因此，
而，因此面，
因此又，分别是，的中点，
因此因此
证明：因为，面，面，因此面，
而面面，面，因此；
19.【答案】
，
是一个仅与有关的量
的面积
；
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