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新人教版七年级数学上名师点拨与训练
第5章 一元一次方程 知识清单
知识点一：方程
1、含有未知数的等式叫做方程.
【注意】判断方程的条件：1、有未知数；2、是等式.
知识点二：方程的解
1、使方程的左右两边相等的未知数的值叫做方程的解. 如是的解.
2、解方程就是求出方程的解的过程.
所谓“解方程”就是求出方程的解“”的形式.
【归纳】检验一个数值是不是方程的解的步骤：
（1）将数值代入方程左边进行计算；
（2）将数值代入方程右边进行计算；
（3）比较左右两边的值，若左边＝右边，则是方程的解；反之，则不是.
知识点三：一元一次方程
1、在一个方程中，只含有一个未知数（元），且未知数的指数是1（次），这样的方程叫做一元一次方程.
2、一元一次方程的标准形式是：（其中是未知数，、是常数，且）
【归纳】判断一个方程是否为一元一次方程
（1）只含有一个未知数； （2）未知数的次数是1；
（3）整式方程； （4）看化简后的方程
注：未知数的系数不能是0.
知识点四：等式的基本性质
等式的基本性质1：等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍然成立.
等式的基本性质2：等式的两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立.
【注意】等式的基本性质注意事项：
（1）等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算. 　　　
（2）等式两边加或减,乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子.
（3）等式两边不能都除以0，即0不能作除数或分母.
【要点诠释】
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变.
即： (其中)
如，解方程.
先利用分式的基本性质，将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，可以将上述方程化为 .
知识点五：解一元一次方程
1、把等式一边的某项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
2、解方程时，移项的作用是：把同类项移到等式的某一边，以进行合并.
一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边.
【注意】
（1）去括号法则：去括号，看符号：是“”号，不变号；是“”号，全变号.
（2）去括号时应将括号前面的符号连同括号一起去掉；
（3）去括号时不要漏项.
【归纳】去分母时的注意事项：
（1）方程两边的每一项，都要乘以各分母的最小公倍数；
（2）去分母的依据是等式的基本性质2，去分母时不能漏乘没有分母的项；
（3）如果分子是多项式，去分母后，应将该分子添上括号（分数线起到括号的作用）.
【归纳】解一元一次方程的一般步骤：
步骤 具体做法 依据
去分母 乘所有的分母的最小公倍数. 等式的基本性质2.
去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号. 去括号法则
移项 把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边. “过桥变号”. 等式的基本性质1
合并同 类项 将未知数的系数相加，常数项相加. 合并同类项法则
系数化 为1 在方程的两边同时除以未知数的系数. 等式的基本性质2
【温馨提醒】求出方程的解后，养成检验的习惯.
知识点六：列一元一次方程解应用题的一般步骤
1、实际问题，通过建立数学模型，借助一元一次方程解决.
关键是找等量关系，设未知数，把等量关系用一元一次方程表示出来.
【注意】列方程解应用题，必须根据实际意义检验解的合理性.
【归纳】列一元一次方程解应用题的一般步骤
（1）审题，分析题目中已知什么，未知什么，寻找等量关系；
（2）设未知数，一般是求什么设什么为未知数，但有时也可以间接设未知数；
（3）列方程，借助等量关系，列出方程；
（4）解方程
（5）检验，看方程的解是否符合题意；
（6）答，写出结果.
知识点七：常见列一元一次方程解应用题的类型
1、日历问题
日历中每一竖列相邻两个数字之间相差7；
日历中每一横行相邻两个数字之间相差1.
日历中，一般设中间数字为，可得下图
2、数字问题
（1）如果个位数字是，十位数字是，百位数字是
则，两位数表示为；三位数表示为.
（2）一般情况下，
三个连续的自然数表示为 ，，；
三个连续的偶数表示为 ，，；
三个连续的奇数表示为，，.
3、和、差、倍、分问题
增长量原有量增长率
现有量原有量增长量原有量增长率
4、等积变形问题
“等积变形”即形状发生改变而体积不变.
常用的等量关系是（1）形状变了，周长没变；（2）原料体积=成品体积.
常见体积公式（1）圆柱体体积 底面积高
(2)长方体体积 长宽高.
5、利润率问题
进价：购进商品时的价格，也称成本价
售价：在销售商品时的售出价
标价：在销售商品时标出的价格，也称原价
利润：在销售商品过程中的纯收入.
利润率：利润占成本的百分比.
利润=售价-成本 利润率=
销售总额=售价销量 售价=(1+利润率)成本
售价=原价折扣率
(折扣率：商品打几折出售，就是按原价的百分之几十出售，)
6、银行储蓄问题
【知识点】
本息和本金利息 利息本金利率期数
本息和本金
7、行程问题
路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间
(1)相遇问题（相向而行）两人的路程之和等于总路程；
(2)追及问题（同向而行）两人的路程差等于追及的路程；
(3)环形跑道的相遇和追及问题：
①同地反向而行：两人的路程之和等于一圈的路程；
②同地同向而行：两人所走的路程之差等于一圈的路程.
(4)航行问题：
③顺水速度船在静水中的速度水流的速度；
④逆水速度船在静水中的速度水流的速度
(5)飞行问题：
⑤顺风速度无风速度风速；
⑥逆风速度无风速度风速
8、工程问题
工作总量工作时间工作效率
合作的效率各单独做的效率之和
当题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.
9、劳动调配问题
【常见类型】
（1）既有调入又有调出；
（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；
（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变.
10、鸡兔同笼类问题
19．《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何.”设鸡有x只，可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
答案：D
解析：因为上有三十五头，且鸡有x只，所以兔有只.依题意得.
20．鸡兔同笼,共有25个头,70只脚,鸡有( )只,兔有( )只.
答案：15；10
解析：设鸡有x只,则免有只,由题意
,
解得,,.
故答案为：15,10.
11、年龄问题
问题关键：两人年龄差始终不变.
21 .父亲和女儿现在的年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍时，女儿的年龄是父亲现在年龄的.求女儿现在的年龄.
答案：28岁
解析：设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄为岁.
根据题意，得，
解得.
答：女儿现在的年龄是28岁.
22 .已知今年桐桐爸爸的年龄是37岁,桐桐的年龄是12岁,那么再过 年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍.
答案：13
解析：设再过x年,桐桐爸爸的年龄是桐桐年龄的2倍,根据题意,有.解得.
12、分段收费问题
问题关键：确定被求解的量，处于哪一个范围内.
23 .某市为提倡节约用水，采取分段收费.若每户每月用水不超过20，每立方米收费2元；若用水超过20，超过部分每立方米加收1元.孔明家5月份交水费64元，求孔明家5月份用水多少立方米.
答案：解：设孔明家5月份用水x，
当用水量为20时，应交水费为（元）.
因为，所以.
根据题意，得，解得.
答：孔明家5月份用水28.
24．为了鼓励市民节约用水，某市水费实行分段计费制，每户每月用水量不超过8吨按2元/吨收费，超过8吨的部分按a元/吨收费.根据下表小明家4个月的用水量和缴纳水费的情况，解答下列问题：
月份 1 2 3 4
用水量/吨 6 7 10 12
水费/元 12 14 22 28
（1）__________.
（2）若小明家11月份用水20吨，则应缴纳水费多少元？
（3）若小明家10月份应缴纳水费49元，则10月份他家的用水量是多少吨？
答案：（1）
（2）应缴纳水费52元
（3）10月份他家的用水量是19吨
解析：（1）根据题意，得，
解得.
（2）（元）.
答：应缴纳水费52元.
（3），
月份他家的用水量超过8吨.
设10月份他家的用水量是x吨.
根据题意，得，
解得.
答：10月份他家的用水量是19吨.
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