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第一章《特殊平行四边形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．如图，菱形中，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）．
A． B． C． D．
3．如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，四边形是正方形，是等边三角形，的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在菱形中，为对角线与的交点，，为边上的高，连接，则的长为（ ）．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，正方形的对角线与相交于点O，的平分线分别交，于点M，N，若，则线段的长为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（ ）
A．5 B． C． D．6
8．已知：如图，在中，是中线，的交点，G，H分别是，的中点，连接，，，，．
①四边形是平行四边形；
②若，则四边形是矩形；
③若，则四边形是菱形；
④若，，则四边形是正方形
上述四个结论中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，已知正方形的边长为12，点是边上一点，在边的延长线上取一点，使，连接，，与交于点，若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形中，，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点和点，直线分别交、于点、，连接、．给出下面四个结论：
①；
②四边形是菱形；
③；
④．
其中正确的是（ ）

A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在菱形中，，则________．
12．如图，在菱形中，．以为边向外作正方形．连接，则的大小为________．
13．如图，在中，，，分别为，的中点，点在线段上，，，，则的长是_______．
14．如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，将沿翻折得到，若恰好为的中点，则的长为______．
15．如图，在正方形中，点E是边上的一点，点F在边的延长线上，且，连接交边于点．过点作，垂足为点，交边于点．若，，则线段的长为_________．
16．在矩形中，，，点是折线上的动点(且点不与点重合)，当的长为整偶数时，则的长是______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．已知：如图，把矩形纸片沿折叠后，点与点重合，点落在点的位置上．若．
(1)求的度数；
(2)求矩形纸片的面积．
18．如图，为矩形一边的中点，垂直平分，分别交，于，两点，连接．
(1)求证：为等边三角形；
(2)若，求的长．
19．如图，是的边的中线，E是的中点，过点A作，交的延长线于点F，交于G，连接．
(1)若四边形是菱形，求证：是直角三角形：
(2)若，求长．
20．如图，在矩形中，E、F分别是边、上的点，，连接、，与对角线交于点O，且，．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
21．石家庄火车站始建于清光绪二十三年（年），经过多年的改建扩建，现已成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图），其正面的平面图如图所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，．
(1)求证：四边形内部框架为菱形．
(2)若，为的中点，，求四边形的周长．
22．如图，矩形中，为对角线．为延长线上一点，连接，为的中点，连接，，．
(1)若，，求的长度；
(2)若，求证：．
23．如图，在中，，是边的中线，平分的外角，，垂足为E．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点O，若，，求的面积．
24．四边形为正方形，点E为线段上一点，连接，过点E作，交射线于点F，以、为邻边作矩形，连接．
(1)如图1，求证：矩形是正方形；
(2)若，，求的长度；
(3)当线段与正方形的某条边的夹角是时，直接写出的度数．
25．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形．
(1)求证：平行四边形是菱形；
(2)若，连接、、，
求证：①；
②是等边三角形．
(3)若，，，是中点，直接写出的长．
参考答案
一、选择题
1．C
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴平分，
∴．
2．C
如图，连接交于点，
∵矩形，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵是的外角，
∴，即，．
3．B
解：∵四边形是菱形，
∴．
∵，
∴．
4．B
解：∵四边形是正方形，
∴，，
又∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
同理，
在中，，，
∴，
同理，
∴，，
在中，．
5．B
在菱形中，为对角线与的交点，
是的中点，
为边上的高，
，
在中，是斜边上的中线，
．
6．B
解：如图，过点M作于点E，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵是的平分线，
∴．
7．B
解：连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点P为斜边上一动点，
∴当时最短，
由勾股定理，得：，
当时，则：，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长不可能为．
8．D
解：∵E，F分别是的中点，
∴是的中位线，
∴ ，
∵G，H分别是，的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故①正确；
∵是中线，的交点，
∴，， 是中线的一部分，
若，则，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，即，
∴，
∴（等腰三角形三线合一），
∵F，G分别是的中点，
∴是的中位线，
∴， ，
∴，即，
∴平行四边形是矩形，故②正确；
∵是的中位线，
∴，
若，则，
∴平行四边形是菱形，故③正确；
若，，
由③可知四边形是菱形， 由②可知四边形是矩形，
∴四边形是正方形，故④正确．
综上，正确的结论有4个．
9.B
解：过E作交于点H，则，
正方形的边长为12，
，，，
∴，是等腰直角三角形，，
，
设，则，
∵，
，，
∵，
，
，
，
，
，
，
，即．
10.A
解：四边形是矩形，
，，故①正确，
如图，设与交于点，

，
由题意得垂直平分，
，，，，
在和中，
，
，
，
，
四边形是菱形，故②正确，
，，
，故③错误，
，
，
，故④正确，
综上所述，①②④正确．
二、填空题
11．
解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，，
∴．
12．
解：四边形是菱形，，
，，
四边形是正方形，
，，
， ，
在中，，
．
13．
解：，分别为，的中点，
，，
，
，
为的中点，，，
，
，
，
，
．
14．
解：如图，连接、，
∵四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∵点M恰好为边的中点，
∴，
在中，，
设，则，
∵沿翻折得到，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得．
15．
解：如图，连接，，，
四边形为正方形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
为等腰直角三角形，
，
垂直平分，
，
设，
，，
，
，
，
，
，
在中，
，
即，
解得，
．
16．或或
解：∵四边形为矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵点是折线上的动点(且点不与点重合)，
当点在上运动时，如图，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵的长为整偶数，
∴或，
当时，解得或（不合题意，舍去）；
当时，解得或（不合题意，舍去）；
∴的长为或；
当点在上运动时，如图，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵的长为整偶数，
∴或，
当时，解得，
当时，点和点重合，此时；
当时，解得或（不合题意，舍去），
当时，和点重合，此时；
综上，的长是或或．
三、解答题
17．（1）解：∵ 四边形是矩形，
∴，，
∴．
根据折叠性质，折叠前后对应角相等，
∴．
∴．
在中，．
（2）解：∵，，，
∴．
由勾股定理得： ．
根据折叠性质，得，
∴．
∴矩形面积 ．
18．(1)证明：在矩形中，是的中点，
，，，
，
，
垂直平分，
，
，
为等边三角形；
（2）解：如图，连接，
四边形是矩形，
，，
由（1）知，，
，
垂直平分，
，，
，
，
，，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
在中，，
，，
，
．
19．(1)证明：∵四边形是菱形，是的中线，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴是直角三角形．
（2）解：取中点，连结，如图所示：
∵是的边的中线，则是的中点，
是的中位线，
∴，，
∴，
是的中点，
，
在和中，
，
∴．
20．(1)证明：∵ 四边形是矩形，
∴，
∴，．
在和 中，
，
∴，
∴．
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴ ，即．
设 ，则，
∴ ， 即，
，
∴ ．
∵四边形是矩形，，
∴，，
由得，即是矩形对角线 的中点，
，
∴ ，即．
在中，，即，
解得，即．
∵，
∴，
由勾股定理得：．
21．(1)证明：四边形是菱形，
，．
，
，
四边形是平行四边形．
四边形是菱形，
，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，，
，
在中，为的中点，
，
在中，，
，
四边形为菱形，
菱形的周长为．
22．（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
由勾股定理得，
∵为的中点，，
∴．
(2)证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
即，
在 FDC与中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴垂直平分线段，
∴．
23．(1)证明：∵在中，，是边的中线，
∴，，
∴，
∵为的外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵是边的中线，，
∴，
由（1）得四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴．
24．(1)证明：如图1，过点作于点，作于点，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴（角平分线的性质定理），
又∵，，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）解：∵四边形为正方形，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
由（1）已证：，
∴，
又∵过点作，交射线于点，
∴如图2，此时点与点重合，则，
由（1）已证：四边形是正方形，
∴，
∴．
（3）解：①如图3，当线段与正方形的边的夹角是时，即，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴在四边形中，；
②如图4，当线段与正方形的边的夹角是时，即，
设与交于点，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
即；
综上，的度数为或．
25．(1)
证明：∵平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
(2)证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
由（1）得，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：连接，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∵平分，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴；

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