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第1章《特殊平行四边形》单元测试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线平分一组对角
2．如图，在菱形中，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形是平行四边形，则下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形
5．如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．1.5 D．1.6
7．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，．则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．已知菱形的边长为，按如图的方式，将其无重叠、无空隙地剪拼成正方形，其中点，分别为，的中点，则正方形的边长为（ ）．
A． B．4 C． D．5
9．“方胜”是中国传统吉祥纹样和文化符号，源于古代妇女的一种头饰，其图案由两个全等的正方形相叠组成，寓意是美好吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线的方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形中，点E、F分别在、上，是等边三角形，连接交于G，下列结论：①，②，③，④．其中正确结论有（ ）个
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．正方形对角线的长是则正方形边长为____________．
12．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是__________．
13．已知矩形对角线夹角，较短边，则矩形面积为______．
14．如图，在菱形中，过点作交对角线于点，已知，则__________°．
15．在平面直角坐标系中，正方形和正方形按如图所示的方式放置在 轴的上方，其中，，则点的坐标为__________．
16．如图，矩形中，，，点为边的中点，点在边上运动，为的中点，当为等腰三角形时，的长为______．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作对角线的垂线交的延长线于点．
(1)证明：四边形是平行四边形；
(2)若，，求的周长．
18．如图，在正方形中，点是边的中点，连接，．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，求的周长．
19．如图，是一正六边形，请你仅用无刻度的直尺，分别按照下列要求作图（保留作图痕迹）．
(1)在图1中，作一个以为边的矩形；
(2)在图2中，作一个以为对角线的菱形．
20．如图，矩形的对角线、相交于点O，过点O作，交于点F，过点B作的平行线交的延长线于点E，连接．
(1)求证：；
(2)若，，求的面积．
21．如图，菱形的对角线相交于点是的中点，点在上，，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，求长．
22．如图，在矩形中，平分交于点，于点，于点，与交于点．
(1)求证：四边形是正方形；
(2)若，则 ．
23．如图，在矩形中，，为边的中点，连接，延长交的延长线于点，在边上取一点，连接，使为的角平分线．
(1)求证：；
(2)若，，求的值；
(3)若点将边分成的两部分，请求出的值．
24．综合与实践
从“特殊”到“一般”是常用的数学思想，在学习特殊的平行四边形时，发现特殊的平行四边形的对角线和边长存在某些数量关系．下面是小明对此问题的探究过程：
【特例认识】
(1)如图1，在正方形中，对角线，相交于点O．求证：．
(2)【初步探究】
如图2，四边形是菱形，试探究，与之间的数量关系．
(3)【深入探究】
如图3，当四边形是平行四边形，则对角线，与边，之间的数量关系为________．
25．综合与探究
【问题情境】折叠问题的实质是图形的轴对称变换，找出对应相等的元素是解题的关键．
如图1，在矩形中，，为射线上一动点，连接，将沿折叠得到，点的对应点为．
【数学思考】
(1)如图2，当点落在边上时，判断四边形的形状，并说明理由．
(2)如图3，当点落在对角线上时，求线段的长；
(3)在点运动的过程中，当三点共线时，请直接写出线段的长．
参考答案
一、选择题
1．A
解：矩形的对角线互相平分且相等，不垂直，不平分一组对角；菱形的对角线互相平分且垂直，平分一组对角，对角线不相等；正方形的对角线同时具备矩形和菱形对角线的所有性质，
矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
2．B
解：四边形是菱形，
，
，
，
，
四边形是菱形，
平分，
．
3．D
解：∵矩形，对角线，相交于点，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
4．D
解：当时，邻边相等，是菱形，不符合题意；
当时，
∵，
∴，
∴，
∴，由选项A可知，是菱形，不符合题意；
当时，对角线相等是矩形，不符合题意；
当时，对角线互相垂直是菱形，选项D判定错误，符合题意．
5．B
解：菱形的对角线交于点，
，
是等边三角形，
，
点为的中点，
．
6．C
解：∵，D为的中点，
∴，
∵为的中位线，
∴，
∴．
7．C
解：如图，作于M，交于N，
∵四边形是矩形，
∴四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
8．B
解：设正方形的边长为．
是中点，是中点，
．
观察图形，菱形的边可看作直角三角形斜边，两条直角边分别为正方形的边长、线段．
已知菱形边长，
由勾股定理：，
，
，
长度为正，
，
正方形边长．
9．D
解：由题意得，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得，
．
10．B
解：∵正方形，是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，故①正确；
∴，
∴，
∴，故②正确；
∴，，
若，则，
∵，
∴，
∴，与实际不相符，
∴，故③错误；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．故④正确.
综上，正确的有3个.
二、填空题
11．4
解：正方形中，，
∴，
∴．
12．
解：如图，连接，设与交于点，
四边形是菱形，
，，，，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
菱形的面积．
13．
解：四边形是矩形
，，
是等边三角形
在中，由勾股定理得：
矩形的面积．
14．120
解：由题意得，在菱形中，平分，
，
，
，
，
．
15．
解：如图，分别过点，，作 轴的垂线，垂足分别为，，，
，
，．
四边形是正方形，
，，
．
又，
．
又，
，
，，
．
同理可证，
，，
，
．
16．或4或
解：连接，
点为的中点，点为的中点，
，且，
四边形是矩形，，，
，，，，
如图1，为等腰三角形，且，
，
，
；
如图2，为等腰三角形，且，连接，
，，
，
，
，
，
四边形是矩形，
；
如图3，为等腰三角形，且，
，，且，
，
，
，
综上所述，的长为或4或.
三、解答题
17．(1)证明：四边形是菱形，
，，
，，
，即，
，
，
四边形是平行四边形
（2）解：四边形是菱形，，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，，
的周长为．
18．(1)证明：∵四边形是正方形，
∴
∵点是边的中点，
∴
∴；
（2）解：∵四边形是正方形
∴
∵点是边的中点
∴
∴
∵
∴
∴的周长．
19．(1)解：如图，矩形为所求；
(2)解：如图，菱形为所求．
20．(1)证明：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∵．
∴是的中位线，
∴，
∴．
21．(1)证明：四边形为菱形，
，
点为中点，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
平行四边形为矩形．
（2）四边形为菱形，
，，
，
点为的中点，
，
，，
，
由(1)知，四边形是矩形，
，，
．
22．(1)证明：∵四边形是矩形，，
∴，
∴四边形是矩形，
又∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形．
（2）解：由（1）知四边形是正方形，为正方形对角线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，，，
∴是等腰直角三角形，，，，
∴，
又，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴．
23．(1)证明：四边形为矩形，
，，
，
．
为边的中点，
．
在和中，
，
∴．
（2）解：，
，．
为的角平分线，
．
由（1）可知，，，，
，
，
，
∴ AGF是以为底边的等腰三角形．
，
，
矩形为正方形，
．
，
，
．
设，则，，
在中，，
，
解得，即．
（3）解：①当时，
设，则，，．
，
．
由（2）可知，，
，
在中，，
，
整理得，，
解得，（舍去负值）；
②当时，
设，则，，，
．
，
．
，
在中，，
，
整理得，，
解得（舍去负值）．
综上，或．
24．(1)证明：∵四边形是正方形，
，．
在中，由勾股定理可得，
（负值已舍去），
．
(2)解：，
∵四边形是菱形，
，，，
．
．
即．
（3）解：．
如图，过点D作于点E，过点C作，交的延长线于点F，
．
∵四边形是平行四边形，
，，
，，
，．
在中，．
在中，，
，
．
25．(1)解：四边形是正方形，理由如下，
由折叠的性质得，
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
又∵，
∴四边形是正方形．
（2）解：由对称的性质得，
又∵四边形是矩形，
∴，
在中，，
∴，
设，则，
在中，，
即，解得，
∴．
（3）解：情况1：当点在线段上，F，E，D三点共线时，如下图所示，
由对称的性质以及矩形的性质，
得，
在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
情况2：当点在线段的延长线上，如下图所示，
由对称的性质以及矩形的性质，
得，
在中，，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴；
综上所述，的长度为或．

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