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山西省运城市万荣县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．作为传承中华文脉的重要场所，博物馆的标志设计在展现传统美学底蕴的同时，也融入了精密的几何构造理念．下列博物馆标志中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列分式中是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．运城芮城永乐宫是我国经典元代古建筑，三清殿主藻井为方套八角、内接圆形的多层结构，其中间层为正八边形，则正八边形的一个内角度数为( )
A． B． C． D．
4．如果，则下列式子正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．运城某社区被学苑路、禹都大道、条山街三条道路合围而成．随着电动车辆增多，社区打算增设便民电动车集中充电点，规范充电秩序、消除安全隐患．现要求充电点选址到三条道路的距离均相等，则该充电点应该建在（ ）
A．三个角的平分线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三条边的垂直平分线的交点处
D．三条高线的交点处
6．如图，下列条件中不能判定四边形为平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．运城市烈士陵园是当地重要的红色教育基地，承载着革命先烈的英勇事迹，是缅怀先烈、传承红色精神的重要场所．某校八年级师生前往该烈士陵园参观学习，一部分师生乘慢车先走，过了15分钟后，其余师生乘快车出发，结果他们同时到达．已知该校距离烈士陵园，快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度？设慢车的速度为，根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．对于一个关于的整式，我们可以通过因式分解，分解为不能再分解的非常数因式的乘积，将其写成个整式的乘积，取的值为，这个整式的和记作整式的密匙值．如当时，因式分解的结果为，则的值为2，，，由此可以得到整式的密匙值为．当时，整式的密匙值是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．24
9．两个完全相同的三角板如图所示摆放，已知，，，点F是边中点，则下列结论：①是等边三角形，②，③，④四边形是平行四边形，其中正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
10．如图，中，点，分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．将点先向左平移4个单位长度，再向上平移5个单位长度后得到点，则点的坐标为________．
12．有一块周长为米的长方形菜地，若米，米，且满足．则的长为________米．
13．如图，函数，的图象交于点，则关于的不等式的解集为________．
14．若是不等于2的有理数，则我们把称为的“相伴数”．例如：1的“相伴数”是．若，是的“相伴数”，是的“相伴数”，是的“相伴数”……以此类推，则的值是________．
15．如图，在中，，交于点，平分，交于点，连接，．若，，则的长是________．
三、解答题
16．解分式方程（组）
(1)；
(2)，并把它的解集表示在数轴上．
17．如图，在等腰中，，，的垂直平分线分别交于点E、D．
(1)请用直尺和圆规在图中作出直线；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若，求的长．
18．先化简：，再从0，1，2中选择一个合适的数作为代入求值．
19．如图，在中，，为边上一点，连接，为中点，过点作，交的延长线于点，连接交于点．
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若，，，求的长．
20．端午节是我国的传统节日，粽子是必不可少的美食．关公礼粽、老醋红枣粽是运城本地特色美食．某超市在端午节来临前夕，准备购进一批粽子进行销售，据了解，每袋关公礼粽的单价比老醋红枣粽的单价贵3元；花1200元购进的老醋红枣粽数量是花1200元购进关公礼粽数量的1.3倍．
(1)求每袋关公礼粽、老醋红枣粽的单价各是多少元；
(2)该超市计划购进这两种粽子共500袋，其中关公礼粽的数量不超过老醋红枣粽数量的1.5倍．关公礼粽每袋售价19元，老醋红枣粽每袋售价15元．若这批粽子全部售出，如何进货可使获得的利润最大，最大利润是多少？
21．根据以下思考，探索完成任务．
因式分解的思考
素材 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解．例如和．像这样的式子可以先分组，再分解．方法如下：；．
问题解决：
(1)分解因式：；
(2)实际应用：运城素有“三晋粮仓”的美誉，盐湖区某村庄要在河东农田里划分一块三角形麦田种植优质小麦，工作人员实地测量出这块三角形地块的三边长依次为，，，三边满足关系式：，请你通过因式分解判断这块三角形麦田是什么形状的三角形．
22．阅读与思考
数学课上老师出了一道与中点有关的问题，已知：如图1，在中，，，点是的中点，点在边上，，求的长．下面是小明的解题过程：
解：取的中点，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，（依据1： ）．
．
．
，
在中，（依据2： ）．
反思：在解决与中点有关的问题时，当已知条件仅给出一个中点时，我们可以像小明这样再取一边中点构造中位线基本图形，也可以延长某条线段，如图2：已知，是的中点，我们可以延长至，使，构造中位线基本图形来解决问题．
根据上面的阅读材料，完成下列问题：
(1)补充上面小明解题过程的空缺部分：
依据1： ；
依据2： ．
(2)如图3，在等边三角形中，是内一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，取的中点，连接，，．
①试探究线段，的数量关系，并证明你的结论；
②若，，，求的长．
23．【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以特殊三角形为背景，探究动点运动的几何问题．如图，在中，点，分别为，上的动点（不含端点），且．
【初步尝试】
(1)如图1，当为等边三角形时，小彤发现：将绕点逆时针旋转得到，连接，请写出与的数量关系，并证明；
【类比探究】
(2)小彤尝试改变三角形的形状后进一步探究：如图2，在中，，，于点，交于点，将绕点逆时针旋转得到，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)刘老师提出新的探究方向：当是边长为2的等边三角形，且时，将绕点顺时针旋转得到，当直线与直线互相垂直时，请画出图形，并直接写出的面积．
参考答案
1．C
2．B
3．B
4．D
5．A
6．D
7．A
8．C
9．A
10．A
11．
12．
13．
14．
15．
16（1）解：
方程两边同乘得，，
解得：，
检验：时，，
∴是原分式方程的解．
（2）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
原不等式组的解集为：．
该不等式组的解集在数轴上表示为：
17．（1）解：如图，即为所求作的直线；
（2）解：如图，连接，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
18．解：原式，
，
，，
，，
，
当时，原式．
19．(1)四边形是平行四边形，理由如下：
为中点，
．
，
，．
在和中，
，
．
．
，
四边形是平行四边形
（2）解：∵四边形是平行四边形，
．
，，
．
在中，．
设，则，
．
解得（负值舍去），
．
．
20．（1）解：设每袋老醋红枣粽的单价是元，则每袋关公礼粽的单价是元．
根据题意，得：．
解得：，经检验，是原方程的解．
．
答：每袋老醋红枣粽的单价是10元，每袋关公礼粽的单价是13元．
（2）设购进老醋红枣粽袋，购进关公礼粽袋．
．
．
设利润为元，由题意得：．
，
随的增大而减小．
当时，最大值为2800，此时．
答：购进老醋红枣粽200袋，购进关公礼粽300袋，最大利润为2800元．
21．（1）解：
；
(2)这块三角形麦田是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
22．(1)依据1：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
依据2：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半
(2)①，
证明如下：
如图，延长至点，使，连接，，
是的中点，，
是的中位线，
，
由旋转的性质得，，
，，
，
是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
②如图，过点作于点，
，，
，
，，
，，
，
,
，
由①得，
．
23．(1)解：，理由如下：
由旋转的性质得，，，
．
为等边三角形，
．
，
在和中
，
，
．
(2)解：四边形是平行四边形，理由如下：
由旋转的性质得，，，
，．
，，
．
．
．
在和中
．
．
，
．
．
，
．
．
．
又，
四边形是平行四边形；
（3）解：如图，当直线与直线第一次垂直时，过作，交延长线于，
此时绕点顺时针旋转，即，
，
，
由题意，,，，
，
；
如图，当直线与直线第二次垂直时，过作，交于，
此时将绕点顺时针旋转，即，
，
，
；
综上，的面积为．

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