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北师大版初中数学九年级(上册)各章知识点
第一章 特殊平行四边形
第二章 一元二次方程
第三章 概率的进一步认识
第四章 图形的相似
第五章 投影与视图
第六章 反比例函数
第一章 特殊平行四边形
1.1菱形的性质与判定
菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对
角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
1.2 矩形的性质与判定
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。
．．
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对
称图形，有两条对称轴）
※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1.3 正方形的性质与判定
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图
形，有两条对称轴）
※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；
邻边相等的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图 3所示)：
※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。 一个内角为直角
菱形
一组邻边相等
（或对角线相等）
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
一组邻边相等且一个内角为直角
正方形
平行四边形 （或对角线互相垂直平分）
一邻边相等
矩形
一内角为直角
或对角线垂直
鹏翔教图 3
.
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
第二章 一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
．．．．．．
2.2
．．． 用．配．方．法．求．解．一．元．二．次．方．程．
2.3 用公式法求解一元二次方程
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
2.5 一元二次方程的跟与系数的关系
2.6 应用一元二次方程
※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax 2 bx c 0（a、b、c为
常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一．元．二．次．方．程
。
．
※把 ax 2 bx c 0（a、b、c 为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a 为二次
项系数；b为一次项系数；c为常数项。
※解一元二次方程的方法：①配方法 <即将其变为 (x m)2 0的形式>
b b2 4ac
②公式法 x （注意在找 abc 时须先把方程化为一般形
2a
式）
③分解因式法 把方程的一边变成 0，另一边变成两个一次因式的乘积来求
.
解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）
※配方法解一元二次方程的基本步骤：①把方程化成一元二次方程的一般形式；
②将二次项系数化成 1；
③把常数项移到方程的右边；
④两边加上一次项系数的一半的平方；
⑤把方程转化成 (x m)2 0的形式；
⑥两边开方求其根。
※根与系数的关系：当 b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；
当 b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当 b2-4ac<0时，方程无实数根。
※ 如 果 一 元 二 次 方 程 ax2 bx c 0 的 两 根 分 别 为 x 、 x ， 则 有 ：
1 2
b c
x x x x 。
1 2 a 1 2 a
※一元二次方程的根与系数的关系的作用：
（1）已知方程的一根，求另一根；
（2）不解方程，求二次方程的根 x 、x 的对称式的值，特别注意以下公式：
1 2
1 1 x x
① x 2 x 2 (x x )2 2x x ② 1 2 ③
1 2 1 2 1 2 x x x x
1 2 1 2
(x x )2 (x x )2 4x x
1 2 1 2 1 2
④ | x x | (x x )2 4x x ⑤
1 2 1 2 1 2
(| x | | x |)2 (x x )2 2x x 2 | x x |
1 2 1 2 1 2 1 2
⑥ x3 x3 (x x )3 3x x (x x ) ⑦其他能用 x x 或 x x 表达的代数
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
式。
（3）已知方程的两根 x 、x ，可以构造一元二次方程： x2 (x x )x x x 0
1 2 1 2 1 2
（4）已知两数 x 、x 的和与积 ，求此两数的问题 ，可以转化为求一元二次方程
1 2
x2 (x x )x x x 0 的根
1 2 1 2
※在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情
况只要设问题为 x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找
等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其
列出方程）。
分析 求解
※处理问题的过程可以进一步概括为： 问题 方程 解答
抽象 检验
第三章 概率的进一步认识
3.1 用树状图或表格求概率
3.2 用频率估计概率
※在频率分布表里，落在各小组内的数据的个数叫做频数；
．．
每一小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率； 即：．．
频数 频数
频率
数据总数 实验次数
在频率分布直方图中，由于各个小长方形的面积等于相应各组的频率，而各组频率的和等
于 1。因此，各个小长方形的面积的和等于 1。
※频率分布表和频率分布直方图是一组数据的频率分布的两种不同表示形式，前者准确，
后者直观。
用一件事件发生的频率来估计这一件事件发生的概率。
可用列表的方法求出概率，但此方法不太适用较复杂情况。
※假设布袋内有m个黑球，通过多次试验，我们可以估计出布袋内随机摸出一球，它为白
球的概率；
※要估算池塘里有多少条鱼，我们可先从池塘里捉上 100条鱼做记号，再放回池塘，之后
再从池塘中捉上 200条鱼，如果其中有 10条鱼是有标记的，再设池塘共有 x条鱼，则可
100 10
依照 估算出鱼的条数。（注意估算出来的数据不是确切的，所以应谓之“约是
x 200
XX”）
※生活中存在大量的不确定事件，概率是描述不确定现象的数学模型，它能准确地衡量出
事件发生的可能性的大小，并不表示一定会发生。
概率的求法：
（1）一般地，如果在一次试验中，有 n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相
m
等，事件 A包含其中的m个结果，那么事件 A发生的概率为 P（A）=
n
（2）、列表法
用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法。
（3）树状图法
通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法。
（当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出
所有可能的结果，通常采用树状图法求概率。）
第四章 图形的相似
4.1 成正比线段
4.2 平行线段成比例
4.3 形似多边形
4.4 探索三角形相似的条件
4.5 相似三角形判定定理的证明
4.6 利用相似三角形测高
4.7 相似三角形的性质
4.8 图形的位似
一. 线段的比
※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段 AB, CD的长度分别是m、
n,那么就说这两条线段的比 AB:CD=m:n ,或写成 A m .
B n
※2. 四条线段 a、b、c、d中,如果 a与 b的比等于 c与 d的比,即 a c ,那
b d
么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.
※3. 注意点:
①a:b=k,说明 a是 b的 k倍;
②由于线段 a、b的长度都是正数,所以 k是正数;
③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致;
④除了 a=b之外,a:b≠b:a, a b与 互为倒数;
b a
⑤比例的基本性质:若 a c a c , 则 ad=bc; 若 ad=bc, 则 A_ _C B_
b d b d
图_ 1
二. 黄金分割
.
※1. 如图 1,点 C把线段 AB分成两条线段 AC和 BC,如果 AC BC
,那么称线
AB AC
段 AB被点 C黄金分割,点 C叫做线段 AB的黄金分割点,AC与 AB的比叫做黄金
5 1
比. AC : AB 0.618 :1
2
※2.黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.
四. 相似多边形
¤1. 一般地,形状相同的图形称为相似图形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形
对应边的比叫做相似比.
五. 相似三角形
※1. 在相似多边形中,最为简简单的就是相似三角形.
※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应
边的比叫做相似比.
※3. 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于 1. 注意:证两个相
似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的
位置上.
※4. 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似
比.
※5. 相似三角形周长的比等于相似比.
※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
六.探索三角形相似的条件
※1. 相似三角形的判定方法:
A_ D_
_l
_1
_B E_
l_
C_ _F _l
一般三角形 直角三角形
基本定理 :平行于三角形的一边且和其他两边 (或两边的
延长线)相交的直线,所截得的三角形与原三角形相似.
①两角对应相等; ①一个锐角对应相等;
②两边对应成比例 ,且夹角相 ②两条边对应成比例:
等; a. 两直角边对应成比例;
③三边对应成比例. b. 斜边和一直角边对应成比
例.
※2. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比
例.
如图 2, l // l // l ,则 AB BC
1 2 3 .
DE EF
※3. 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的
三角形与原三角形相似.
八. 相似的多边形的性质
※相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.
九. 图形的放大与缩小
※1. 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一
点,那么这样的两个图形叫做位似图形; 这个点叫做位似中心; 这时的相似比又
称为位似比.
※2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
◎3. 位似变换:
①变换后的图形,不仅与原图相似,而且对应顶点的连线相交于一点,并
且对应点到这一交点的距离成比例.像这种特殊的相似变换叫做位似变换.
这个交点叫做位似中心.
②一个图形经过位似变换后得到另一个图形,这两个图形就叫做位似形.
③利用位似的方法,可以把一个图形放大或缩小.
第五章 投影与视图
5.1 投影
5.2 视图
※三视图包括：主视图、俯视图和左视图。
三视图之间要保持长对正，高平齐，宽相等。一般地，俯视图要画在主视图的下方，左
视图要画在正视图的右边。
主视图：基本可认为从物体正面视得的图象
俯视图：基本可认为从物体上面视得的图象
左视图：基本可认为从物体左面视得的图象
※视图中每一个闭合的线框都表示物体上一个表面(平面或曲面)，而相连的两个闭合线框一
定不在一个平面上。
※在一个外形线框内所包括的各个小线框，一定是平面体（或曲面体）上凸出或凹的各个
小的平面体（或曲面体）。
※在画视图时，看得见的部分的轮廓线通常画成实线，看不见的部分轮廓线通常画成虚
线。
物体在光线的照射下，会在地面或墙壁上留下它的影子，这就是投影。．．
太阳光线可以看成平行的光线，像这样的光线所形成的投影称为平 。．行．投．影．
探照灯、手电筒、路灯的光线可以看成是从一点出发的，像这样的光线所形成的投影称为
中心投影。．．．．
※区分平行投影和中心投影：①观察光源；②观察影子。
眼睛的位置称为视点；由视点发出的线称为视线；眼睛看不到的地方称为盲区。．． ．． ．．
※从正面、上面、侧面看到的图形就是常见的正投影，是当光线与投影垂直时的投影。
①点在一个平面上的投影仍是一个点；
②线段在一个面上的投影可分为三种情况：
线段垂直于投影面时，投影为一点；
线段平行于投影面时，投影长度等于线段的实际长度；
线段倾斜于投影面时，投影长度小于线段的实际长度。
③平面图形在某一平面上的投影可分为三种情况：
平面图形和投影面平行的情况下，其投影为实际形状；
平面图形和投影面垂直的情况下，其投影为一线段；
平面图形和投影面倾斜的情况下，其投影小于实际的形状。
第六章 反比例函数
6.1 反比例函数
6.2 反比例函数的图像与性质
6.3 反比例函数的应用
k
※反比例函数的概念：一般地， y （k为常数，k≠0）叫做反比例函数，即 y是 x的反
x
比例函数。 （x为自变量，y为因变量，其中 x不能为零）
k
※反比例函数的等价形式：y是x的反比例函数 ←→ y (k 0) ←→ y kx 1(k 0)
x
←→ xy k (k 0) ←→ 变量 y与 x成反比例，比例系数为 k.
※判断两个变量是否是反比例函数关系有两种方法：①按照反比例函数的定义判断；②看
两个变量的乘积是否为定值<即 xy k >。（通常第二种方法更适用）
※反比例函数的图象由两条曲线组成，叫做双曲线
※反比例函数的画法的注意事项：①反比例函数的图象不是直线，所“两点法”是不能画
的；
②选取的点越多画的图越准确；
③画图注意其美观性（对称性、延伸特征）。
※反比例函数性质：
①当k>0时，双曲线的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
②当 k<0时，双曲线的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随 x的增大而增大；
③双曲线的两支会无限接近坐标轴（x轴和 y轴），但不会与坐标轴相交。
※反比例函数图象的几何特征:(如图 4所示)
1 1
点 P(x,y)在双曲线上都有S | xy | | k | S | xy | | k |
矩形OAPB AOB 2 2
B P
P B
O A A O
图 4

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