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2026-2027学年高中数学人教A版必修二单元测试 第八章 立体几何初步
一、选择题
1．已知平面α，β，直线，直线m不在平面α上，下列说法正确的是( )
A.若，，则 B.若，，则
C.若，，则 D.若，，则
2．在正四棱台中，，，高为1，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A.2 B. C.4 D.
4．已知l,m,n为三条不同直线,,,为三个不同平面,则下列判断正确的是( )
A.若,,则 B.若,,则
C.若,,则 D.若,,则
5．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题正确的是( )
A.，，则 B.，，
C.，，则 D.，，则
6．已知两条不同的直线a，b，三个不同的平面α，β，γ，则下列结论正确的是( )
A.若，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，，则
7．正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )

A. B. C. D.
8．如图，内接于圆O，为圆O的直径，，，平面，E为的中点，且异面直线与所成角为，则点A到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知三棱锥的各顶点都在球O上,点M,N分别是,的中点,平面,,,则下列说法正确的是( )
A.三棱锥的四个面均为直角三角形
B.球O的体积为
C.直线与平面所成角的正切值是
D.点O到平面的距离是
10．下列说法正确的是( )
A.若一条直线平行于两平行平面中的一个,则它也平行于另一个平面
B.若两个平面,则
C.若两个平面,则a与b一定不相交
D.若两个平面,则a与可能相交也可能平行
11．已知是两条不同的直线,是两个不同的平面,则( )
A.若,则 B.若,则m与n为异面直线
C.若,则 D.若,则
三、填空题
12．如图，在正四棱柱中，，，则该正四棱柱的体积为______________.

13．如图,在正方体中,上底面中心为O,则异面直线AO与所成角的余弦值为______________.
14．在正方体中，E为的中点，则直线与直线所成角的余弦值为______.
15．已知圆锥的母线长为3，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为______.
四、解答题
16．如图，在四棱锥中，,M，N分别是，的中点，，
.
(1)求证平面；
(2)若平面，求λ的值；
(3)作出平面与平面的交线，并说明理由.
17．如图，在等腰梯形中，，，.将沿着翻折，使得点D到点P，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角平面角的正切值；
(3)求点C到平面的距离.
18．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是的中点，底面，.

(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的大小.
19．如图,已知四棱锥的底面是平行四边形,侧面是等边三角形,,,二面角的大小为,P,Q分别为和的中点.
(1)求证平面
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)设N为侧棱上一点,四边形是过A,N两点的截面,分别交,于E,F两点,且平面,是否存在点N,使得平面与平面夹角的余弦值为 若存在,求的值；若不存在,说明理由.
20．如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，，，.
(1)设M为上一点，若平面，求的值；
(2)设平面与平面的交线为l，证明平面；
(3)当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．答案：A
解析：对于A，若，，则，且，则.故A正确.
对于B，如图所示，，，，，此时，故B错误.

对于C， 如图所示，，， ，，此时l，m异面，故C错误.

对于D， 如图所示，，，，，此时，故D错误.

故选：A.
2．答案：B
解析：在正四棱台中，，，
所以，，
又高为，所以，
过点作的垂线，垂足为E，可得，，
所以，，
同理可得，
因为，所以为直线与所成角或补角，
在中，，，，
由余弦定理得，
即直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
3．答案：B
解析：设圆锥的母线长为l，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
4．答案：C
解析：对于A,若,,则,A错误.
对于B,若,,则或与相交,B错误.
对于C,若,,则,C正确.
对于D,若,,则,D错误.
5．答案：B
解析：对于A，若，，则m与平面平行或或m，α相交，故A错误；
对于B，因为，，故，而，故，故B正确；
对于C，，，则或，故C错误；
对于D，若，，则m与平面α的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误.
6．答案：C
解析：若，，则或，故A错误；
若，，则，又，所以，故B错误；
若，，，则，.
记，，
在平面α内过点P作，，
则，，
所以，；
因为，平面α，所以，故C正确；
若，则或，又，并不能确定α，β的位置关系，故D错误.
7．答案：A
解析：作出原图形如下图所示：
由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，
，，
所以平行四边形的周长是.
故选：A.

8．答案：C
解析：为圆O的直径，，，
∴，，
平面，平面，有，，
又∵，平面，
∴平面，
∵，平面，
∴平面，
F为中点，连接，，如图所示，
E为的中点，，，
平面，平面，，
异面直线与所成角为，
∴，，
∴，，，，，
E到平面的距离为，
∴，
，，
设点A到平面的距离为h，由，
∴.
故选：C
9．答案：ABD
解析：对于A,因为平面,平面,所以,,,
所以,为直角三角形.
在中,,
在中,,所以,则为直角三角形.
因为平面,,所以平面.
因为平面,所以,所以为直角三角形,故A正确.
对于B,三棱锥可补成以为棱的长方体,外接球直径等于长方体体对角线,
所以,则,
所以球O的体积为,B正确.
对于C,因为平面,所以即为直线与平面所成角.
在中,,C错误.
对于D,三棱锥可补成长方体,的中点即为球心O,连接.
因为平面,,所以平面.
因为平面,所以.
该长方体侧面为正方形,点M是中点,所以,且,.
因为平面,,所以平面.
因为,平面,平面,所以平面.
所以点N到平面的距离等于点C到平面的距离,即为.
在中,.
所以.
又,,
在中,,所以,
所以.
设点O到平面的距离为h,则,
所以,故点O到平面的距离为,D正确.
10．答案：BCD
解析：对于A,若一条直线平行于两平行平面中的一个,则它平行于另一个平面,或在另一个平面内;故A错误;
对于B,由面面平行的性质可知,若两个平面,则,故B正确;
对于C,由面面平行的性质可知,若两个平面,则a与b一定没有公共点,即a与b一定不相交,故C正确;
对于D,由两个平面,
可得:且,则或相交,
当时,因为,所以与平行,
当相交,因为,所以的交点在内,又,所以a与相交,
故D正确.
11．答案：AD
解析：对于A项,因,经过直线m可作平面,使,则,因,则,又,故得,即A项正确;
对于B项,若,则m与n可能相交、平行或异面,故B项错误;
对于C项,若,则或,故C项错误;
对于D项,因,经过直线n可作平面,使,则,又,,则,故得,即D项正确.
故选:AD.
12．答案：112
解析：因为且四边形为正方形，故，
而，故，故，
故所求体积为，
故答案为：112.
13．答案：
解析：建立如图的坐标系,以DA所在直线为横轴,
DC所在直线为纵轴,所在直线为竖轴.设正方体棱长为2.
则,
,,
则异面直线AO与DC1所成角的余弦值为.
故答案为：.
14．答案：
解析：设正方体边长为1，
取的中点M，连接、，
因为点M、E分别为、的中点，
所以且，
所以且，四边形为平行四边形，
所以，
连接、，交点记为点N，连接，
因为点M、N分别为、的中点，
所以
所以直线与直线所成的角，即直线与直线所成的角，
即为或其补角，
在中，，
，
，
所以，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
故答案为：.
15．答案：
解析：由弧长公式知，圆锥底面周长为，
若圆锥的底面半径为r，则，即，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：
16．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)理由见解析
解析：(1)
如图延长，连接并延长与交于点G，连接
因为且N是的中点，
所以，且，
所以
所以N为中点，
在中，M，N分别是,的中点，所以
又因为平面，平面，所以平面
(2)
连接，,交于点H，连接
因为平面，平面，而平面平面，
故,
所以
所以
在梯形中，因为，
所以
又
所以
所以
(3)
过点D在平面中作直线，如图
理由如下
因为，平面，平面，
所以平面
又因为平面，平面平面
所以
所以
17．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)
解析：(1)证明：
连接，根据余弦定理，
∴，，∴，
又已知，，平面，
∴平面，∵平面，
∴平面平面；
(2)
由(1)知平面平面，平面平面，
作于（中点）E，则平面，
作于F，连接，因为，，平面，
所以平面，
∴，所以为二面角的平面角，
因为，，，
∴.
所以二面角平面角的正切值为.
(3)记点C到平面的距离为d，
∵，∴，
由(2)知，，所以根据勾股定理可得，
∴.
所以点C到平面的距离为.
18．答案：(1)证明见解析
(2)
解析：(1)如图所示，连接，

因为是菱形且知，则是等边三角形，
且E是的中点，则，
又因为，所以，
因为平面，平面，则，
且，平面，则平面，
且平面，所以平面平面.
(2)由(1)可知：平面，平面，则.
且，可知是二面角的平面角，
在中，，，
故二面角的大小为.
19．答案：(1)证明见解析
(2)
(3)存在,.
解析：(1)取的中点H,连接,,,
在中,分别为和的中点,
所以且长为的一半,
又因为底面为平行四边形,P为的中点,
所以且,所以四边形为平行四边形,可得,
又面,面,所以平面.
(2)取的中点O,连接,由,则,
分别以,所在直线为x轴和y轴,以过O垂直于底面的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,,,,,
设平面的一个法向量为,则,
令,则,,所以为平面的一个法向量,
又,设与平面所成角为,
则,
所以与平面所成角的正弦值为.
(3)因为平面,平面平面,平面,
所以,
设,则,
设平面的一个法向量为,由,
则,
令,则,,所以为平面的一个法向量,
设平面与平面夹角为,由(2)可知平面的法向量,
由题意可得,
令,则,得,所以,
当时,（舍去）,所以当时,,此时,
设,则,
又因为平面的法向量,
则,解得,
所以存在点N,使得平面与平面夹角的余弦值为,此时.
20．答案：(1)2
(2)见解析
(3).
解析：(1)如图，连接交于点N，连接，
平面，平面，平面平面，
，
在梯形中，，，
，
，.
(2)，平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，，
又平面，平面，平面.
(3)取的中点O，连接、，
O为的中点，且，，
且，
四边形为平行四边形，，
，，
又，为等边三角形，为等边三角形，
又，，平面，
为与平面所成的角，
，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.

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