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2026-2027学年高中数学人教A版必修二单元测试 第九章 统计
一、选择题
1．已知数据，，…，的中位数为2，方差为3，那么数据，，…，的中位数和方差分别为( )
A.2，3 B.7，6 C.7，12 D.4，12
2．已知数据1,2,3,4,的平均数与中位数相等,从这5个数中任取2个,则这2个数字之积大于5的概率为( )
A. B. C. D.
3．10，12，16，18，20，22，26，28的第分位数是( )
A.22 B.24 C.25 D.26
4．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为.现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研.已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为( )
A.90 B.120 C.180 D.200
5．某网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是( )
A.月收入的最大值为90万元，最小值为10万元
B.这一年的总利润超过400万元
C.这12个月利润的中位数与众数均为30万元
D.11月份的利润最大
6．下列统计量中，能度量样本离散程度的是( )
A.中位数 B.平均数 C.标准差 D.众数
7．某羽毛球俱乐部有A队和B队，其中A队有80名学员，B队有60名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为m的样本，已知从B队中抽取了15名学员，则m的值为( )
A.30 B.25 C.40 D.35
8．样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为( )
A.14 B.16 C.18 D.20
二、多项选择题
9．某校高二年级举行数学竞赛,随机抽取了10名学生的成绩如下（单位:分）:
72,80,85,88,90,95,95,95,98,100
则下列说法正确的是( )
A.这组数据的众数为95 B.这组数据的第70百分位数为95
C.这组数据的平均数为90.8 D.这组数据的方差小于100
10．现有一组样本数据1，3，1，5，5，6，8，2，5，则这组数据的( )
A.众数为5 B.中位数为3
C.极差为7 D.分位数为5
11．学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.5，失球个数的标准差为1.1；乙班每场比赛平均失球数是2.1，失球个数的标准差为0.4，则下列说法正确的是( )
A.平均来说乙班比甲班防守技术好
B.甲班在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
C.乙班很少不失球
D.甲班比乙班技术水平更稳定
三、填空题
12．一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.
已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为______________.
13．一支探险队有男生24人，女生18人，按照性别采用分层随机抽样的方法从该探险队中抽取一个容量为7的样本，则女生被抽取的人数为____________.
14．从小到大依次排列的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则这四个数的和是_____________.
15．已知有从小到大的四个数1，a，b，9，这四个数的中位数和平均数相等，则_____________.
四、解答题
16．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得，，.
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值.
附：相关系数，.
17．某市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核，记考核成绩不小于80分的为优秀，为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了60名学生的考核成绩，如下表：
成绩
人数 5 5 15 25 10
（1）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据表中数据，估计这名学生考核优秀的概率；
（2）用分层抽样的方法，在考核成绩为的学生中任取8人，再从这8人中随机选取4人，记取到考核成绩在的学生为X，求X的分布列.
18．如图所示，从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下，观察图形，回答下列问题.
(1)这一组的频数 频率分别是多少？
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数 众数；
(3)从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率.
19．我国是世界上严重缺水的国家,城市缺水问题较为突出.某市政府为了鼓励居民节约用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民用水标准x（单位：t）,月用水量不超过x的部分按平价收费,超出x的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况,通过抽样,获得了100位居民某年的月均用水量（单位：t）,制定了如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值；
(2)已知该市有100万居民,估计全市居民中月均用水量不低于的人数；
(3)若该市政府希望使90%的居民每月的用水量不超过标准,估计x的值.
20．某中学从该校的学生中随机抽取100名学生，对其进行一周运动时长的调查，根据调查结果绘制了如下的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)根据频率分布直方图，估计该校学生一周运动时长的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和中位数（精确到0.01）.
参考答案
1．答案：C
解析：因为数据，，…，的中位数为2，方差为3，
所以数据，，…，的中位数为，
方差为.
故选：C.
2．答案：B
解析：由数据1,2,3,4,x（）的平均数,
可得,所以,从这5个数中任取2个,结果有:
共10种,这2个数字之积大于5的结果有:
,共5种,
所以所求概率为.
本题选择B选项.
3．答案：D
解析：先将数据按由小到大重新排序10，12，16，18，20，22，26，28，共8个数据，，
6.4不是整数，所以第分位数是第7个数26.
故选：D
4．答案：D
解析：设从核心区抽取的人数为n人，
因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300，
可得，解得，即从核心区抽取的人数为人.
故选：D.
5．答案：C
解析：由折线图可知，1至12月份的收支数据（单位：万元）及对应利润如下表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
收入 40 60 30 30 50 60 80 70 70 80 90 80
支出 20 30 10 20 20 30 20 30 40 50 40 50
利润 20 30 20 10 30 30 60 40 30 30 50 30
对于A，观察收入数据可知，月收入的最大值为90万元（11月），最小值为30万元（3月和4月），故A错误；
对于B，这一年的总利润为：（万元），因为，故 B错误；
对于C，这12个月的利润从小到大顺序排列为：10，20，20，30，30，30，30，30，30，40，50，60，中位数为第6个与第7个数的平均数30，众数为30，故 C正确；
对于D，由利润表可得，7月份利润最大为60万元，故D错误.
6．答案：C
解析：平均数、众数和中位数均刻画了样本数据的集中趋势，
一般地， 对数值型数据集中趋势的描述， 可以用平均数和中位数，
对分类型数据集中趋势的描述，可以用众数，
方差、标准差和极差均是度量样本数据离散程度的数字特征.
7．答案：D
解析：根据分层抽样可得，解得.
故选：D.
8．答案：B
解析：将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40，
则其中位数为16.
故选：B.
9．答案：ABD
解析：将数据按从小到大排列:72,80,85,88,90,95,95,95,98,100
A.众数是出现次数最多的数,95出现了3次,出现次数最多,故众数为95,A正确.
B.第70百分位数位置:,为整数.
第70百分位数,B正确.
C.这组数据的平均数为,C错误.
D.计算方差:偏差平方和
,方差,故D正确.
10．答案：ACD
解析：先将数据从小到大排序为：1，1，2，3，5，5，5，6，8
故众数为5，中位数为5，极差为7，
因为，所以分位数为5，故ACD正确，B错误；
故选：ACD
11．答案：BC
解析：对于A：因为，故平均来说乙班比甲班防守技术差，故A错误；
对于B：甲班失球个数的标准差大，说明防守中的表现不稳定，故B正确；
对于C：乙班失球个数的平均数大，且方差小，说明其失球较为稳定，故乙班很少不失球，故C正确；
对于D：甲班失球个数的标准差大于乙班，说明甲班的技术水平不如乙班稳定，故D错误.
12．答案：120
解析：∵用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.
由B层中每个个体被抽到的概率都为，知道在抽样过程中每个个体被抽到的概率是，
∴总体中的个体数为.
13．答案：3
解析：女生被抽取的人数为.
故答案为：3.
14．答案：20
解析：中位数为，平均数为，
由题意得，则，
∴，
故答案为：20.
15．答案：10
解析：已知四个数升序排列为：1，a，b，9，中位数为中间两个数的算术平均数，即，
平均数为，
已知中位数和平均数相等，故，解得.
16．答案：（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量分别为和
（2）0.97
（3）
解析：（1）由题意可知，，
所以这10棵树木的根部横截面积和材积量的平均值分别为，，
所以估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量分别为和.
（2）因为
，
所以该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数是0.97.
（3）因为树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
所以设（k为常数）.
由（1）知该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量的估计值分别为0.06和0.39，
所以，即，所以.
又因为，所以，
故该林区这种树木的总材积量的估计值为.
17．答案：（1）
（2）答案见解析
解析：（1）设该名学生考核成绩优秀为事件A.
因为60名同学的成绩中，优秀的有35名同学，
所以，
所以可估计这名学生考核优秀的概率为.
（2）用分层抽样方法在考核成绩为的学生中任取8人，
则考核成绩在的学生应抽取3人，考核成绩在的学生应抽取5人.
由题意可得X的取值范围为，
所以，，
，.
所以随机变量X的分布列为
X 1 2 3 4
P
18．答案：(1)频数 频率分别是4，0.1
(2)平均数 众数分别是68.5、75；
(3).
解析：(1)由频率分布直方图的性质知，，解得，
这一组的频率为，频数为.
(2)这次竞赛成绩的平均数为，
这一组的频率最大，人数最多，众数为，
(3)样本中成绩在的有人，分别记作A、B、C、D，
成绩在的有人，分别记作a、b，
从这6人中选2人有、、、、、、、、、、、、、、共15个结果，
其中满足两人在同一分数段有、、、、、、共7个结果，
故他们在同一分数段的概率.
19．答案：(1)
(2)万
(3)
解析：(1)由频率分布直方图,得,
所以.
(2)月均用水量不低于3t的频率为,
所以全市居民中月均用水量不低于3t的人数为万.
(3)月均用水量不超过3t的频率为,
月均用水量不超过3.5t的频率为,
因此,,所以.
20．答案：(1)
(2)平均数为8.76，中位数约为8.77
解析：(1)由频率分布直方图得，解得.
(2)平均数为.
中位数为.

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