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2026-2027学年高中数学人教A版必修二单元测试 第六章 平面向量及其应用
一、选择题
1．化简的结果是( )
A. B. C. D.
2．关于向量，，下列说法正确的是( )
A.若，则 B.若，，则
C.若，则 D.若，则
3．设,.若与的夹角为钝角,则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．已知单位向量，满足，则与夹角的余弦值为( )
A. B.0 C. D.
5．已知向量,,,则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6．已知，，，则向量，的夹角为( )
A. B. C. D.
7．设向量，，则下列正确的是( )
A. B.
C.与的夹角为 D.
8．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，，，则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．下列说法正确的是( )
A.若,则与的长度相等且方向相同或相反
B.向量的长度与向量的长度相等
C.两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同
D.若与同向,且,则
10．已知向量,,则下列说法正确的是( )
A.若,则t的值为
B.若,则t的值为
C.若,则与的夹角为锐角
D.若,则
11．下列有关向量命题，不正确的是( )
A.若，则
B.已知，且，则
C.若，，则
D.若，则且
三、填空题
12．已知向量,,若,则实数m的值为____________.
13．已知向量，满足，，且，则________
14．已知平面向量与与满足,,且在方向上的投影向量为,则__________.
15．已知平面向量，，满足，，，则的最大值是____________.
四、解答题
16．已知平面向量
（1）求的值
（2）计算的值
17．如图,在平行四边形中,E是的中点,F是上一点,且.设,.
（1）用基底分别表示向量,,;
（2）若,用平面向量证明A,B,G三点共线.
18．在中,.
（1）求;
（2）若,且的面积为,求的周长.
19．已知,,与的夹角为
（1）求;
（2）求;
（3）若向量与相互垂直,求实数的值.
20．如图，在中，点D，E在边上，且，设，.
(1)用，表示，；
(2)若，，，求.
参考答案
1．答案：D
解析：
2．答案：C
解析：对于A，只说明向量模长相等，但向量的方向不一定相同，所以不一定等于，A错误；
对于B，若，零向量和任意向量平行，此时、，但与不一定平行，B错误；
对于C，说明与方向相反，方向相反的两个向量是平行向量，即，C正确；
对于D，向量既有大小又有方向，向量不能直接比较大小，只有模长可以比较，D错误.
3．答案：D
解析：由题意可得,
所以.
故选:D
4．答案：A
解析：由，得，
所以，
即，
即，
所以
5．答案：D
解析：,,
,
解得,
又,,即与的夹角为.
故选:D.
6．答案：C
解析：因为，，，
所以，则，
则，
因为，所以，即向量，的夹角为.
7．答案：D
解析：向量，.
对于A：，，所以.故A错误；
对于B：，，所以，所以不成立.故B错误；
对于C：因为，且，
所以.故C错误；
对于D：，，所以，所以.故D正确.
故选：D
8．答案：C
解析：由余弦定理可得：.
故选：C.
9．答案：BC
解析：A:向量的模相等只能说明长度相等,但方向可以任意,不一定相同或相反,错;
B:向量和的长度都等于线段AB的长度,因此相等,对;
C:两个相等的向量具有相同的长度和方向,若起点相同,则终点必然重合,对;
D:由向量的性质知,向量不能比较大小,错.
10．答案：AB
解析：对于A:若,则,解得,故A正确;
对于B:若,则,解得,故B正确;
对于C:当时,与同向,此时与的夹角为,故C错误;
对于D:若,则,即,即,解得,
当时,,,,,显然,
当时,,,,,此时,故D错误.
故选:AB.
11．答案：AB
解析：两个向量相等即方向相同和长度相等，A错，C正确，D正确；
若，且，即，则，或，B错误.
故选：AB.
12．答案：3
解析：因为,
所以,解得.
故答案为：3.
13．答案：
解析：，
，
故，则.
14．答案：2
解析：因为在方向上的投影向量为,即,
所以,则,
故.
15．答案：4
解析：令，由已知，可得，且，
则，因为，所以，
因为，所以，
即，
又因为，所以，
当且仅当，反向共线，，同向共线，
即，，此时，满足，
因此的最大值为4.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）易知,
又,
所以,
（2）易知,
所以.
17．答案：（1）,,
（2）见解析
解析：（1）因为,,所以.
是中点.且在平行四边形中,,
所以.
.,所以.
因此,,.
（2）因为,所以G点在的延长线上,如图:
又因为,,
所以.
,.
由向量共线定理得,与共线,又与公共点为A,
,B,G三点共线.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,则,由已知可得,
可得,因此,.
（2）由三角形的面积公式可得,解得.
由余弦定理可得,,
所以,的周长为.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）;
（2）;
（3）由题意可得,解得.
20．答案：(1)，；
(2)
解析：(1)因为，所以，，
所以；
；
(2)因为，，，
即，，，所以.
，
，所以，
所以.

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