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2026-2027学年高中数学人教A版必修二单元测试 第十章 概率
一、选择题
1．甲、乙两人投篮投中的概率分别为，，已知两人是否投中互不影响，两人各投篮一次，只有一个人投中的概率是( )
A. B. C. D.
2．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为( )
A. B. C. D.
3．某班级进行了一次数学测验,满分为150分.设事件A表示“学生成绩及格（分数分）”,事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”.若,,则( )
A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7
4．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为( )
A.互斥 B.相互对立 C.相互独立 D.相等
5．设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为与，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为( )
A. B. C. D.
6．甲、乙两人独立地破译一份密码,已知甲能破译密码的概率为,乙能破译密码的概率为,则这份密码被成功破译的概率为( )
A. B. C. D.
7．已知甲、乙两人射击的命中率分别是0.4和0.7，现两人同时向同一猎物射击，发现猎物只中一枪，则甲、乙分配猎物的比例应该是( )
A. B. C. D.
8．有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8.在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率是( )
A.0.72 B.0.8 C.0.86 D.0.9
二、多项选择题
9．在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题,抽出的题不再放回.设事件“第1次抽到代数题”,“第2次抽到几何题”,则( )
A. B. C. D.
10．如图所示，已知一个系统由I，II两个部分组成，其中I部分由甲、乙、丙三个部件组成，II部分由丁、戊两个部件组成.当甲、乙都正常工作，或丙正常工作时，I部分正常工作；当丁正常工作或戊正常工作时，II部分正常工作.当I，II部分均正常工作时，整个系统就能正常工作.图中所示数值为每个部件不能正常工作的概率，下列结论正确的是( )
A.甲、乙部件都正常工作的概率为 B.I部分正常工作的概率为
C.II部分正常工作的概率为 D.整个系统正常工作的概率为
11．在一次篮球训练课上，教师为了训练学生投篮，规定：若学生出现连续2次投篮命中，则该学生停止投篮.小明同学参加了本次训练，小明每次投篮的命中率为，且各次投篮是否命中相互独立.则( )
A.小明同学投篮2次就停止投篮的概率为
B.小明同学投篮4次就停止投篮的概率为
C.小明同学投篮3次后没有停止投篮的概率为
D.小明同学投篮总次数的数学期望为
三、填空题
12．如图，图中共有10个交汇点：A，B，C，D，E，F，G，H，P，Q.已知质点甲在P地，质点乙在Q地，若每经过一次移动，两质点都将等可能地随机移动到与之相邻的任意一个交汇点，则同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为____________________.
13．某企业到A大学招聘，小张，小李和小王3位毕业生前去应聘.若小张，小李签约的概率都是，小王签约的概率是，3人签约事件相互独立，那么3人中至少有1人签约该企业的概率是________.
14．“划拳行酒令”起源于汉代，是饮酒时助兴的一种游戏.游戏规则是进行游戏的双方每人都伸出一只手并出若干个手指，同时口中喊出这11个数字，伸出的手指之和等于喊出的数，就视为游戏胜者，游戏随之结束，否则要反复进行，直至分出胜负为止.已知甲、乙、丙三人，甲胜乙的概率是0.6，乙胜丙的概率是0.7，甲胜丙的概率是0.8.先两人玩游戏，胜者和余下一人继续游戏，每人间的胜负是相互独立的.甲、乙先进行游戏，则前三场游戏中，甲胜两场的概率是________________.
15．甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的概率为____________________.
四、解答题
16．棋手甲利用AI辅助进行对弈训练,每局甲胜的概率为,AI胜的概率为,且,每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局,则认定该方最终获胜且训练结束.
（1）求恰好进行了3局比赛,训练就结束的概率（结果用p表示）;
（2）记恰好进行n局比赛甲最终获胜的概率为,比较与的大小.
17．每年的10月1日是国庆节，为庆祝该节日，某学校举办了“知识竞赛”.竞赛共分两轮，即每位参赛选手均须参加两轮比赛，已知在第一轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，选手甲，乙胜出的概率分别为p，q.假设甲，乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.
(1)若，求乙恰好有一轮胜出的概率；
(2)若甲，乙各有一轮胜出的概率为，甲，乙两轮都胜出的概率为.
①求p，q的值；
②求甲，乙两人至少有一人两轮都胜出的概率.
18．设整数，质检员对一批产品进行抽样质检，每次抽检1件产品，至多抽检n次，当且仅当抽到1件次品或n件产品均为正品时，停止抽检.已知每件产品是次品的概率为，各件产品是否为次品相互独立.记X为停止抽检时抽检的产品件数.
(1)当，时，求质检员停止抽检时抽检的产品件数小于3的概率；
(2)当时，质检员停止抽检时抽检的产品件数为3的概率，求p；
(3)当时，记停止抽检时抽检的产品件数大于的概率为，停止抽检时抽检的产品件数大于k的概率为，证明：.
19．在校体育运动会中,甲乙丙三支足球队进行单循环赛(即每两队比赛一场),共赛三场,每场比赛胜者得3分,负者得0分,没有平局.在每场比赛中,甲胜乙的概率为甲胜丙的概率为乙胜丙的概率为
（1）求甲队获第一名且丙队获第二名的概率;
（2）求在该次比赛中甲队至少得3分的概率.
20．“体育强则中国强，国运兴则体育兴”.为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A，B，C，D四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分.假设评定为等级A，B，C的概率分别是，，.
(1)若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；
(2)若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率.
参考答案
1．答案：A
解析：已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，所以甲没投中的概率为，乙没投中的概率为.
由于甲乙两人投篮是否投中互不影响，即事件A与相互独立，可得甲投中乙没投中的概率为.
同理，事件与B相互独立，所以甲没投中乙投中的概率为.
“只有一人投中”包含“甲投中乙没投中”和“甲没投中乙投中”这两个互斥事件，所以只有一人投中的概率.
2．答案：A
解析：用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙 甲 1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
共有36个不同结果，它们发生的可能性相同，其中甲、乙抽到相同主题的结果有，，，，，，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.故选A.
3．答案：C
解析：因为事件A表示“学生成绩及格（分数分）”,事件B表示“学生成绩优秀（分数分）”,
则,即,因为,故.
4．答案：C
解析：抛掷两枚质地均匀的硬币，按顺序共出现（正正）（正反）（反正）（反反）这4种情况，
事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D错误，
由于事件A与事件B能同时发生，所以不为互斥事件，也不为对立事件，故AB错误；
因为事件A是否发生与事件B无关，事件B是否发生也与事件A无关，故事件A和事件B相互独立，故C正确.
故选：C.
5．答案：D
解析：若第一次甲先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为；若第一次乙先投篮，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为.故前4次中甲恰好投篮3次的概率为.故选D.
6．答案：B
解析：记甲、乙能破译密码分别为事件,
由题意可知:,可得,
所以这份密码被成功破译的概率为.
故选:B.
7．答案：A
解析：由题意知只有甲打中猎物的概率为，只有乙打中猎物的概率为，所以甲、乙分配猎物的比例应该是.
8．答案：A
解析：设“种子发芽”为事件A，“幼苗成活”为事件B，则，，所以随机抽取一粒种子，这粒种子能成长为幼苗的概率.
9．答案：AC
解析：对于A,由题意得:,,正确;
对于B,,,错误;
对于C,,正确;
对于D,,错误.
10．答案：BD
解析：设甲、乙、丙、丁、戊不能正常工作分别为事件A，B，C，D，E，则，，，，，所以甲、乙部件都正常工作的概率为，A错误；I部分正常工作的概率为，B正确；II部分正常工作的概率为，C错误；根据上述分析可知，整个系统正常工作的概率为，D正确.
11．答案：ABD
解析：对于A选项，投篮2次就停止，等价于前两次连续命中，而每次投篮独立，
因此，故A选项正确，
对于B选项，投篮4次就停止，等价于第3、4次连续命中，并且前3次未出现连续命中，
因此有以下两种情况：
情况一：第一次命中、第二次未命中，第三次命中、第四次命中，此时概率为，
情况二：第一次未命中，第二次未命中，第三次命中，第四次命中，此时概率为，
故，故B选项正确.
对于C选项，投篮三次未停止等价于前三次均未出现连续命中，因此有以下几种情况：
情况一：第一次命中、第二次未命中、第三次命中，此时概率为，
情况二：第一次命中、第二次未命中、第三次未命中，此时概率为，
情况三：第一次未命中、第二次命中、第三次未命中，此时概率为，
情况四：第一次未命中，第二次未命中，第三次命中，此时概率为，
情况五：第一次未命中、第二次未命中、第三次未命中，此时概率为，
因此，因此C选项错误，
对于D选项，设为上次未命中到停止的期望次数，为上一次命中后到停止的期望次数，
因此若上一次命中，则若这次命中，则投篮停止，否则重新计数，因此，其中，
若上一次未命中，则若这次命中，则再投一次投篮结束，否则保持计数为0，
因此，
故解得，故D选项正确.
12．答案：
解析：由题意可得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点A的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点A，B，G，H的概率相等.
同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点C的概率为，易得同时经过两次移动后，两质点都移动到交汇点C，D，E，F的概率相等.
故同时经过两次移动后，两质点移动到同一个交汇点的概率为.
13．答案：
解析：由事件“3人中至少有1人签约该企业”的对立事件是“3人均未签约”，
由题意可知小张，小李未签约的概率是，小王未签约的概率是，
因为相互独立，所以三人均未签约的概率是，
所以3人中至少有1人签约该企业的概率是.
14．答案：0.192
解析：设甲胜乙为事件A，乙胜丙为事件B，甲胜丙为事件C.设前三场比赛中，甲胜两场为事件D，则.
15．答案：
解析：列举法：假设乙固定按照2，4，6，8的顺序，则甲所有的可能如表所示.
从中找均小于2，4，6，8与有3个数字分别小于2，4，6，8的情况，此时甲得0分或1分，符合上述情况的有表中打√的12种情况.
那么甲的总得分不小于2分也有12种情况，由古典概型概率公式得所求概率为.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由条件,3局比赛结束,则可能是甲连胜三局胜,也可能是AI连胜3局胜,
所以恰好进行了3局比赛,训练就结束的概率;
（2）恰好进行5局比赛,训练结束,甲最终获胜,则甲在最后三局连胜,第2局输,与第一局无关所以,
若恰好进行6局比赛,训练结束,甲最终获胜,则甲最后三局连胜,第3局应该输,且第1,2局不全输,
所以,
所以,即.
17．答案：(1)
(2)①，；②
解析：(1)设事件“第一轮比赛中甲胜出”，事件“第二轮比赛中甲胜出”，
设事件“第一轮比赛中乙胜出”，事件“第二轮比赛中乙胜出”，
由题意得，，，相互独立，且，，，.
记事件“乙恰好有一轮胜出”，则，又，互斥，
所以，当时，
.
因此，当时，乙恰好有一轮胜出的概率为.
(2)①事件“甲，乙各有一轮胜出”，事件“甲，乙两轮都胜出”，
则，
，
则，解得，.
②事件“甲两轮都胜出”，事件“乙两轮都胜出”，
事件“甲，乙两人至少有一人两轮都胜出”，
，，
18．答案：(1)
(2)
(3)见解析
解析：(1)由题意可知，
，
.
(2)依题意得.
即，解得或（舍去），所以.
(3)当时，说明前k次均未抽到次品，则，
说明前次均未抽到次品，则，
因为，所以.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）若甲队获第一名且丙队获第二名,即甲胜乙,甲胜丙,且丙胜乙,
即,
即甲队获第一名且丙队获第二名的概率是;
（2）当甲队恰得3分,即甲队胜了一场,甲胜乙且丙胜甲,或甲胜丙且乙胜甲,
当甲恰得6分,即甲队胜了2场,即,
那么该次比赛中甲队至少得3分的概率.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)设事件A，B，C，D分别表示“被评定为等级A，B，C，D”.
由题意得，事件A，B，C，D两两互斥，所以.
所以.
因此其得分低于4分的概率为；
(2)设事件，，，表示“”第i次被评定为等级A，B，C，D，.
则“两次射击得分之和为8分”为事件，
且事件，，互斥，，，
所以两次射击得分之和为8分的概率.

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