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2025-2026学年高一下学期第二次教学质量监测
数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1.设函数，则函数的极值点个数为（）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2.定义在上的复合函数中，下列函数类型一定存在唯一极值点的是（）
A. 抽象一次复合函数 B. 三角对数复合函数
C. 根式指数复合函数 D. 幂指复合型函数
3. 函数的奇偶性为（）
A.既是奇函数又是偶函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 奇函数
4. 函数的单调递减区间为（）
A. B.
C. D.
5. 定义在上的函数满足，且在上有界，则的最值情况为（）
A. 仅有最大值 B. 仅有最小值 C. 既有最大值又有最小值 D. 无最值
6.函数的极值情况为（）
A. 有极大值无极小值 B. 有极小值无极大值
C. 既有极大值又有极小值 D. 无极值
7.函数的零点个数为（）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知，则的值为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（共3小题，每小题6分，共18分）
9. 关于函数的性质，下列说法正确的有（）
A. 定义域为 B. 值域为
C. 为偶函数 D. 在上单调递增
10.关于函数的性质，下列说法正确的有（）
A. 值域为 B. 最小正周期为
C. 最大值为 D. 最小值为
11. 定义在上的函数满足，且，则下列结论正确的有（）
A. 为常函数 B.
C. D. 为奇函数
三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）
12. 函数的值域为________。
13. 函数，其中为上单调递减奇函数，则的单调递增区间为________。
14. 函数的最大值为________。
四、解答题（共5小题，共77分）
15.（13分）已知函数。
（1）求函数的定义域和值域；
（2）判断函数的奇偶性并说明理由；
（3）求函数的单调区间与最值。
16.（15分）已知函数。
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的值域与最值；
（3）求函数的单调区间。
17.（15分）已知定义在上的抽象函数满足，且。
（1）求的值并证明函数单调性；
（2）令，求的奇偶性与值域；
（3）求的单调区间。
18.（17分）已知函数。
（1）求函数的定义域；
（2）证明函数在定义域内单调递减；
（3）求函数的值域与最值。
19. 已知定义在上的抽象函数满足，且当时，，；令对数复合函数。
（1）证明单调递增，并求的值；
（2）求的定义域与奇偶性；
（3）求在上的值域与单调区间。
参考答案与解析
一、单项选择题详细解析
1.C函数定义域：恒成立，定义域为。
求导：，整理得：
分母恒正，分析分子零点，可得导数在上有两个变号零点，函数存在1个极大值点、1个极小值点。
综上，极值点个数为2，答案：C。
2.B抽象一次复合函数、根式指数复合函数无固定极值规律，排除A、C；
幂指复合型函数多为单调函数，无极值点，排除D；
三角对数复合函数因三角函数周期性、对数函数单调性叠加，一定存在唯一极值点。
答案：B。
3.D定义域：恒成立，恒成立，定义域，关于原点对称。
令，则。
由，得，结合化简可得为奇函数型函数，分母为偶函数，故为奇函数。
答案：D。
4.A化简函数：，展开合并得：
辅助角公式整合：。
令，
解得递减区间：。
答案：A。
5.C
由知为正比例型抽象函数，又在上有界，故为常函数。
，复合函数为常函数，同时取到最大值、最小值。
答案：C。
6.A定义域：，解得。
内层开口向上，对称轴，有最小值无最大值。
外层单调递减，故复合函数有极大值、无极小值。
答案：A。
7.C令，得，即，。
解得，，共2个零点。
答案：C。
8.D函数周期，代入：
，。
故。
答案：D。
二、多项选择题解析
9.ABCD定义域：，A正确；
内层，故，值域，B正确；
，为偶函数，C正确；
内层在递增，外层对数递增，复合递增，D正确。
10.ABC，故，值域，A、C正确，D错误；
最小正周期，周期，函数整体周期，B正确。
11.ABCD令，得，B正确；
由周期性，结合，可证恒为0，为常函数，A正确；
，C正确；
常函数既是奇函数又是偶函数，D正确。
三、填空题解析
12.，故。
外层单调递增，故值域为。
13.
内层在递减，递增；
外层单调递减，根据同增异减，递增区间为。
14.，故，。
根式单调递增，故函数最大值为。
四、解答题解析
15. 函数解析式：
（1）复合函数有意义的双重约束：根式被开方数非负、对数真数大于0，列不等式组：
解真数大于0的不等式
解得：。
解对数非负不等式,底数，对数函数单调递减，故：
代入，得：
结合已有，只需解：
整理：
求根：，二次函数开口向上，解得：
联立与
得定义域：。
令内层，
该二次函数对称轴为，在定义域内。
外层单调递减，故。
最外层根式在上单调递增，故。
因此函数值域：。
（2）奇偶性判定前提：函数定义域关于原点对称。
本题定义域为，仅为x轴正区间，不关于原点对称。
故函数为非奇非偶函数。
（3）复合函数层级：
单调性规则：递增、递减，整体单调性与内层二次函数相反。
在上单调递增，故单调递减；
在上单调递减，故单调递增。
最值分析：函数值域为，可取到最小值0，无最大值。
答案
（1）定义域：，值域：；
（2）非奇非偶函数，定义域不关于原点对称；
（3）单调递减区间：，单调递增区间：；最小值为0，无最大值。
16. 函数解析式：
展开余弦差公式：
令，则，代入化简并结合二倍角公式：
换元：令，由正弦函数有界性得：
换元后二次函数：，开口向下，对称轴。
（1）原函数由（周期）与（周期）复合而成。
多个周期函数叠加，最小正周期为各周期的最小公倍数，故函数最小正周期。
（2）分析二次函数：
对称轴，此处取最大值：
区间端点处取最小值：
因此函数值域：，最大值为，最小值为。
（3）分层判定单调性（复合同增异减）：
1. 内层：
递增区间：，即
递减区间：，即
2. 外层：，在递增，在递减
整合得原函数单调区间：
单调递增区间：
单调递减区间：
答案
（1）最小正周期：；
（2）值域：，最大值，最小值；
（3）递增区间：，递减区间：。
17. 已知：，，。
（1）求的值并证明函数单调性
令，代入抽象函数公式：
即，已知，得。
再令，得。
任取，则。
由公式变形：
移项得：。
由对数型抽象函数性质：自变量大于1时函数值为正，即。
故，在定义域上严格单调递增。
（2）求的奇偶性与值域
，定义域为，关于原点对称。
代入：
故为偶函数。
分析内层函数：
由，得，故，即内层取值。
结合在单调递增且：
当时，。
因此值域：。
（3）求的单调区间
复合函数：外层单调递增，内层。
内层在上单调递减，内外异向，单调递减；
内层在上单调递增，内外同向，单调递增。
答案
（1），在上单调递增；
（2）为偶函数，值域；
（3）单调递减区间：，单调递增区间：。
18. 函数解析式：
（1）对数函数真数必须严格大于0，即约束条件：。
移项得：。
因为指数函数恒成立，不等式两边均为非负数，可直接平方，不等号方向不变：
化简得：，该不等式对任意实数恒成立。
因此函数定义域为。
（2）拆解复合结构：外层（上严格递增），内层。
根据复合函数“同增异减”，只需证明内层在上严格单调递减。
任取，且。
指数函数在上单调递增，故，。
作差：
对根式部分有理化处理：
代入作差式：
令，则，，代入得：
显然，且，故。
即时，，内层函数严格递减。
外层对数函数递增，内外单调性相反，故在上严格单调递减。
（3）结合单调递减，分析自变量趋近无穷时的极限：
1. 当时，，；
2. 当时，。
因此内层函数值域：。
外层单调递增，代入区间：
时，；
时，。
故函数值域：；
函数有最大值，无最小值。
答案
（1）定义域：；
（2）证明如上，函数在上单调递减；
（3）值域：，最大值为，无最小值。
19. 已知：，时，，。
（1）证明单调递增，并求的值
任取，则。
由抽象函数公式：。
根据题意，时，故。
即，在上严格单调递增。
赋值求,令，得，即。
移项得：，代入，得。
补充赋值：令，得。
（2）求的定义域与奇偶性
，抽象函数定义域为，故需满足：。
对数不等式：，单调递增，故。
对任意，恒成立。
因此定义域为，关于原点对称。
故为偶函数。
（3）求在上的值域与单调区间
由，得。
，即内层。
在单调递增，且。
当时，，故值域为。
复合结构：外层单调递增，内层。
时，内层单调递减，复合函数单调递减；
时，内层单调递增，复合函数单调递增。
答案
（1）在上单调递增，；
（2）定义域为，为偶函数；
（3）值域：，单调递减区间：，单调递增区间：。

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